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1、弹性杆件横截面上的正应力分析,第4章,1、与应力分析相关的截面图形几何性质,2、平面弯曲时梁横截面上的正应力,3、斜弯曲时梁横截面上的正应力,4、弯矩与轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,第4章 弹性杆件横截面上的正应力分析,5、基于最大正应力的强度计算,与应力分析相关的截面图形几何性质,1、横截面面积 常见的横截面有：矩形 A=hb;圆形 A=R;,b,h,R,2、静矩、形心 截面面积对轴的矩称为静矩：图形几何形状的中心称形心：,3、惯性矩、极惯性矩、惯性半径 惯性矩-惯性半径-极惯性矩-,与应力分析相关的截面图形几何性质,4、常见形体的惯性矩、极惯性矩 a、矩形截面的惯性矩 b、圆形截面的
2、惯性矩 C、圆环截面的惯性矩,与应力分析相关的截面图形几何性质,b,h,d,y,z,y,z,d,y,z,D,d,d、圆形截面的极惯性矩 e、圆环截面的极惯性矩 4、形心主惯性矩 图形对形心主轴的惯性矩称形心主惯性矩，,与应力分析相关的截面图形几何性质,例4-1、求图中剖面线部分的惯性矩惯性矩 Iy;Iz;解：由负面积法,Iz=H b/12 h b/12=b(H-h)/12;Iy=b H/12 b h/12=b(H-h)/12;,与应力分析相关的截面图形几何性质,b,h,z,y,H,小鸟,与应力分析相关的截面图形几何性质,与应力分析相关的截面图形几何性质,1、平面弯曲的概念 梁的对称面：梁的横截
3、面具有 对称轴，所有相 同的对称轴组成 的平面。形心主轴平面：所有相同的形 心主轴组成的平 面。平面弯曲：所有外力都作用在梁 的同一主轴平面内，梁的轴线在该平面中 弯曲成曲线。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩作用的情况，如梁的BC段。截面上只有正应力。横向弯曲：梁的横截面上既有剪力也有弯矩，如梁的AB段。因而其上既有正应力也有切应力。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,C,B,l/5,F,A,l/5,M,F,F,Fl/5,F,D,3l/5,FQ,FAy,FDy,+,+,-,x,x,2、纯弯曲时梁的正应力分析 纯弯曲梁的正应力分析需要三个步骤：,平面弯曲时梁横截面上的正应
4、力,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,平面弯曲时梁横截面上的正应力,M,M,中性轴,a、应用平面假设确定应变分布 1）弯曲梁变形后，梁表面的纵向线弯曲，截面上面缩短、下面伸长、中间长度未变化。根据外表面线条可以确定横截面上面受到压应力；下面受到拉应力；而中间没有应力。我们把中间未伸长的一层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴。,2）梁弯曲时的平面假设 梁变形后周边表面的横向线仍然是直线，且垂直于纵向线。我们假定梁的横截面在变形前后仍然保持为平面，只是相对转过一个角度 d。3）沿梁横截面高度方向正应力表达式：,平面弯曲时梁横截面上的正应力,b、应用虎克定理确定横截面上正应力分布 由虎克
5、定律 将上述应变公式带人得：=E 即：正应力与高度坐标成线性关系=-E y/其中 表示该点的曲率半径，它如何表达呢？,平面弯曲时梁横截面上的正应力,c、应用静力方程确定正应力公式 由 由,平面弯曲时梁横截面上的正应力,x,将 带人公式 得正应力公式：正应力与截面上弯矩、中性轴距离成正比；与截面的惯性矩成反比。应力分布如图：,平面弯曲时梁横截面上的正应力,x,d、中性轴在横截面上的位置 中性轴通过横截面的形心，并且垂直于形心主轴。e、最大正应力公式与弯曲截面模量 对于横截面上正应力最大值 其中 Wz=Iz/ymax 称为弯曲截面系数；,平面弯曲时梁横截面上的正应力,max,max,弯曲截面系数:
6、Wz=Iz/ymax;*矩形截面的弯曲截面系数:Wz=b h/6;*圆形截面的弯曲截面系数:Wz=d/32;*圆环截面的弯曲截面系数,平面弯曲时梁横截面上的正应力,f、梁平面弯曲后轴线曲率的计算公式 公式表明梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度成反比。3、弯曲正应力公式的应用与推广 a、梁上最大正应力位置的判定 需要考虑弯矩分布；横截面形状等因素；b、纯弯曲正应力公式可以推广到横向弯曲 纯弯曲正应力公式在横向弯曲也是近似适用的。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,平面弯曲时梁横截面上的正应力,例题4-2 受均布荷载简支梁如图,已知梁的截面为矩形b=20mm;h=30mm;q=10kN/m;
7、l=450mm.试求最大弯矩截面B上1、2两点的正应力。,l/2,h,b,h/4,z,y,2,1,平面弯曲时梁横截面上的正应力,解：1、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置 MZB=q l/8;2、计算正应力 1点的正应力：为拉伸应力 2点的正应力：为压缩正应力,M,h,b,h/4,z,y,2,1,l/2,l/2,x,x,+,+,-,平面弯曲时梁横截面上的正应力,200,150,96.4,z,y,50,1,50,例题4-3 丁字截面简支梁受力如图,已知梁的参数：试求最大弯矩截面上的最大拉应力和最大压应力。,l/2,l/2,平面弯曲时梁横截面上的正应力,M,200,150,96.4,z,y,50,1
8、,50,解：1、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置。MzB=Fp l/4=16 kNm;2、计算最大弯矩截面上最大正应力 最大拉伸正应力：位置在梁的下边缘处 最大压缩正应力：位置在梁的上边缘处。思考：对于脆性材料，极限拉伸应力小于极限压缩应力，设置上下非对称的横截面并且如此放置，是否最大限 度地发挥了材料的强度潜力？,x,MZ,max+,max,Fpl/4,l/2,+,+,-,x,x,斜弯曲时梁横截面上的正应力,1、产生斜弯曲的加载条件 当梁的外力平面与梁的轴线变形平面不共面时，这种弯曲称斜弯曲。如图：,FP2,FP1,变形平面,合力作用平面,y,z,斜弯曲时梁横截面上的正应力,2、叠加法确定斜
9、弯曲时横截面上的正应力 当梁的受到外力作用在竖直平面和水平面同时弯曲，梁横截面上的正应力可以应用叠加法确定。如图：其最大正应力：公式对于非圆形截面梁都是适用的（圆形截面除外）。,y,z,C,y,z,C,max+,max,斜弯曲时梁横截面上的正应力,圆形截面斜弯曲梁的最大正应力：例4-4 图示矩形截面梁已知：b=90mm;h=180mm;Fp1=800N;Fp2=1650N;l=1m;试求梁内最大弯曲正应力及作用位置。,解：1、确定梁截面上的内力分量，梁的内力如图：最大弯矩在固定端处。Mymax=-Fp1l;Mzmax=-Fp2l;2、确定梁根部截面上最大正应力作用点：如图,A 点处是两拉应力相
10、加；B 点处是两压应力相加。3、计算最大正应力:,斜弯曲时梁横截面上的正应力,FP1,FA1,MAy,FQ,My,FP2,FA2,MAz,FQ,Mz,x,x,x,x,x,x,z,z,2FP!l,FP2l,A,A,B,B,y,y,-,-,-,-,max+,max,纵向载荷作用线平行于杆件的轴线，但不重合，这种载荷称为偏心载荷。将载荷向截面形心简化得到两个内力分量：FNx 0;Mz0;其中轴力和弯矩将使梁横截面产生正应力：,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,例4-5 图示开口链环由直径d=12mm的园钢制作而成。试求：1）、链环直段部分横截面上最大
11、拉应力和最大压应力；2）、当链环焊接成闭口状态应力如何？,800N,800N,800N,800N,21mm,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,解：1、计算开口链环直段部分横截面上最大应力，受力如图；横截面上弯矩：横截面上正应力（如图所示）,800N,800N,800N,800N,Mz,c,max+,max,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,课外练习：4-1；4-5；4-9；4-14,2、计算闭口链环直段部分横截面上最大应力，受力如图：横截面上只有拉应力。比较两种形式链环的正应力大小相差近22倍。,400N,800N,800N,800N,400N,c,课堂练习4-1 图示矩形截面
12、柱，已知：外加载荷FP以及横截面尺寸。试求 ABED 截面上四个角点上的正应力。,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,偏心压缩：压力沿轴线方向但与轴线不重合。,解：1、确定截面上的内力分量，在ABDE横截面将柱截开由力的平移定理将力平移到横截面的形心处，内力如图：,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,2、判断最大应力作用位置：在内力作用下A、E 分别是最大压应力和拉应力作用点 3、计算ABDE各点的应力，作图：,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,基于最大正应力的强度计算,1、基于最大正应力的强度条件:max 2、强度计算的主要步骤：,a、计算杆件的约束力；b、作杆件的内力图
13、；c、根据内力、横截面、材料等因素确定可能的危险点；d、应用强度条件进行强度计算：对于塑性材料：max;对于脆性材料：max+;max；,基于最大正应力的强度计算,例4-6 图示圆轴AB段是空心的，已知 D=60mm;d=40mm，尺寸和外力，=120MPa；试分析圆轴强度是否安全。,3kN,5kN,2.93kN,5.07kN,A,C,B,D,300,1000,400,基于最大正应力的强度计算,解：1、作内力图 2、判断可能的危险截面是C、B横截面；3、计算危险截面上的最大正应力：4、对轴进行强度校核：轴的强度是安全的。,2.93kN,5kN,5.07kN,3kN,2.93kN,3kN,-2.
14、07kN,FQ,-0.9kNm,1.17kNm,M,A,C,B,D,+,-,+,+,基于最大正应力的强度计算,2Fp,Fp,600,1400,A,C,B,例4-7 由铸铁制作的悬臂梁尺寸如图，FP=20kN,材料的许用应力试校核梁的强度。,200,150,96.4,z,y,50,1,50,c,基于最大正应力的强度计算,解：1、作内力图 2、判断可能的危险截面是A、B横截面；3、计算危险截面上的最大正应力：4、对梁进行强度校核：梁的强度是安全的。,-20kN,40kN,20kN,20kN,-20kN,Fq,-12kNm,16kNm,M,A,C,B,16kNm,x,MZ,x,MZ,B截面应力分布,
15、A截面应力分布,+,-,+,-,max,max,max,max,基于最大正应力的强度计算,例4-8 图示行车梁由32a热轧工字钢制成，已知起吊时重物与 y 轴之间的夹角=5;=160MPa，试校核梁的强度。,80kN,80kN,40kN,40kN,A,C,B,z,4000,4000,y,基于最大正应力的强度计算,解：1、将重物的力在z、y轴投影：2、作内力图3、查表得32a热轧工字钢的抗弯截面模量 4、计算横截面最大正应力,Fpy,0.5Fpy,0.5Fpy,Fpy,79.69kNm,Fpz,0.5Fpz,Fpz,6.97kNm,+,+,基于最大正应力的强度计算,5、最大应力在梁的中间截面的两
16、点如图：可见 max=217.8MPa=160MPa；梁不安全。讨论：1、两个方向外力作用，正应力如何相加需要作图多练习。2、当重物的力垂直时，梁是安全的。,课外练习：4-10；4-11；,Fpz,Fpy,+,+-,+-,-,最大正应力作用点；,提高梁强度措施的讨论,提高梁强度的措施1、选择合理的横截面形状（增加Wz）；2、在使用相同数量的材料情况下考虑选用变截面梁；（让Wz随着弯矩变化）,P,P/2,P/2,Pl/4,+,提高梁强度措施的讨论,3、改善外力状况,如集中力-分散-分布力,调整约束等；（降低Mz）,M,q,M,Fq,0.2L,ql,ql/2,ql/2,0.33L,M,M,l,l,ql/6,ql/4,+,-,Fq,Fq,+,-,+,+,ql/40,ql/8,+,+,+,-,-,
