测量误差理论及数据处理.ppt

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1、2章测量误差理论与数据处理,2.1 测量误差的基本概念2.2 测量误差的估计和处理 2.3 测量误差的合成与分配2.4 测量数据处理,2.1 测量误差的基本概念,测量的目的:获得被测量的真值。真值:在一定的时间和空间环境条件下，被测量本身所具有的真实数值。测量误差:出现测量结果与实际值（真值）有差异，这种差异称为测量误差 所有测量结果都带有误差测量误差的来源（1）仪器误差：由于测量仪器及其附件的设计、制造、检定等不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等因素而使仪器带有的误差。（2）影响误差：由于各种环境因素（温度、湿度、振动、电源电压、电磁场等）与测量要求的条件不一致而引起的误差。（3）理

2、论误差和方法误差：由于测量原理、近似公式、测量方法不合理而造成的误差。（4）人身误差：由于测量人员感官的分辨能力、反应速度、视觉疲劳、固有习惯、缺乏责任心等原因，而在测量中使用操作不当、现象判断出错或数据读取疏失等而引起的误差。（5）测量对象变化误差：测量过程中由于测量对象变化而使得测量值不准确，如引起动态误差等。,控制测量误差的意义 对很多测量来说，测量工作的价值完全取决于测量的准确程度。研究误差理论的目的,2.1.1 测量误差的定义,测量误差测量结果与被测量真值的差别。,2.1.2 测量误差的分类,测量误差按表示方法分类有绝对误差、相对误差。1 绝对误差 绝对误差又叫绝对真误差，它可以表示

3、为 x=x x0(2-1),一、测量误差按表示方法分类,式中,给出值：在测量中通常就是被测量的测得值。包括仪器的示值，量具或元件的标称值（又叫名义值），近似计算的近似值等等。真值得给出：可由理论给出或由计量学作出规定；用实际值代替。用已修正过的多次测量的算术平均值来代替真值,满足规定准确度要求，用来代替真值使用的量值。在实际测量中，常把用高一等级的计量标准所测得的量值作为实际值,修正值：与绝对误差x大小相等但符号刚好相反的量，称为修正值，一般用C表示。C=-x=x0 x(2-2),式中,在某些较准确的仪器中，常常以表格、曲线或公式的形式给出修正值。修正值通常是在校准仪器时给出。当测量时得到给出

4、值x及修正值C以后，由式(2-2)就可以求出被测量的实际值,【例如2-1】某电压表的量程为10V，通过检定而得出其修正值为-0.02V。如用这只电压表测电路中的电压，其示值为7.5V，于是得被测量电压的实际值为 解：x0=C+x=（-0.02）+7.5=7.48V,绝对误差及修正值是与给出值具有相同的量纲的量。绝对误差的大小和符号分别表示了给出值偏离真值的程度和方向。,2 相对误差,实际测量过程中，常用相对误差来表示仪器测量的准确程度。（1）相对真误差（相对误差）用绝对误差x与被测量的真值的百分比值来表示。用r 表示，r=100%(2-3),相对误差是一个只有大小和符号，而没有量纲的量。示值相

5、对误差（又叫标称相对误差）：用绝对误差x与被测量的给出值 的百分比值来表示；只有在误差较小时用。有时一个仪器的准确程度，可以用误差的绝对形式和相对形式共同表示。,分贝误差相对误差的对数表示 在电子学和声学中常用分贝来表示相对误差，叫分贝误差。例如：测量一个有源或无源网络，它的电压或电流传递函数为A0,测得值为A,绝对误差为A，则由A0dB=20lgA0dB及AdB=A0dB+,推导出分贝误差为：,相对误差是一个只有大小和符号，而没有量纲的量。示值相对误差（又叫标称相对误差）：用绝对误差x与被测量的给出值 的百分比值来表示；只有在误差较小时用。有时一个仪器的准确程度，可以用误差的绝对形式和相对形

6、式共同表示。,是一个只与相对误差有关的量；并且是有符号的。,（3）满度相对误差,分贝误差相对误差的对数表示 在电子学和声学中常用分贝来表示相对误差，叫分贝误差。例如：测量一个有源或无源网络，它的电压或电流传递函数为A0,测得值为A,绝对误差为A，则由A0dB=20lgA0dB及AdB=A0dB+,推导出分贝误差为：,分贝误差相对误差的对数表示 在电子学和声学中常用分贝来表示相对误差，叫分贝误差。例如：测量一个有源或无源网络，它的电压或电流传递函数为A0,测得值为A,绝对误差为A，则由A0dB=20lgA0dB及AdB=A0dB+,推导出分贝误差为：,(2-5),为了计算和划分电表准确度等级的方

7、便，在用（2-3）式求相对误差时，改为取电表量程，即满刻度值作为分母，这就引出了满度相对误差（又叫引用相对误差）的概念：,用绝对误差x与仪器的满刻度值xm比值来表示的误差称为满度相对误差。用r n表示，,(2-6),式中,电子仪器正是按r n之值来进行分级的，例如，0.5级的电子仪器，就表明其r n 0.5%，即表示它的引用相对误差所不超过的百分比，并在其面板上标有0.5的符号。如果该仪器同时有几个量程，则所有量程有r n 0.5%。我国生产的电子仪器精度一般分有七级：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。,用绝对误差x与仪器的满刻度值xm比值来表示的误差称为满度相对误差。用

8、r n表示，,若某仪表的等级是s级，它的满刻度值为，被测量的真值为，那么测量的绝对误差,(2-7),若某仪表的等级是s级，它的满刻度值为，被测量的真值为，那么测量的绝对误差,测量的相对误差,(2-8),由式（2-7）、（2-8）可见，我们在用这类仪表测量时，所选仪表的满刻度值不应比实测量大得太多；在一般情况下应使被测量的数值尽可能在仪表满刻度的三分之二以上。,由P16例3可见，在测量中我们不能片面追求仪表的级别，而应该根据被测量的大小，兼顾仪表的满刻度值和级别，合理的选择仪表。,二、测量误差按性质和特点分类,根据测量误差的性质和特点，测量误差可分为系统误差、随机误差、粗大误差三类。,（一）.系

9、统误差定义：在同一测量条件下，多次测量同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。系统误差一般可以归结为若干个因素的函数。产生的主要原因是 测量设备的缺陷、测量仪器不准、测量仪表的安装、放置或使用方法不正确；环境因素（温度、湿度、电源、周围电磁场等）影响；测量时使用的方法不完善，所依据的理论不严密或测量原理中使用近似计算公式（常称为理论误差或方法误差）；测量人员不良的读数习惯等。,定义、根源和特点定义:在同一测量条件下（指在测量环境、测量人 员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重

10、复测量同一量值时，每次测量误差的绝对值和符号都 以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然 误差，简称随差。随机误差主要由那些对测量值影响较微小，又互不相 关的多种因素共同造成的。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦 和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人 员感官的各种无规律的微小变化等。,（二）.随机误差,一次测量的随机误差没有规律、不可预定、不能控制 也不能用实验的方法加以消除。但是，对于大量的测量，从统计的观点来看，随机误 差表现了它的规律性，即随机误差在多次测量的总体 上服从统计规律。可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值，通过 多次测量取平均值的办法来削弱随

11、机误差对测量结果 的影响。随机误差变化的特点是：有界性；对称性；抵 偿性。很多测量结果的随机误差的分布形式接近于正态分 布，也有部分测量结果的随机误差属于均匀分布或其 他分布。,在测量中，随机误差是不可避免的。在进行测量之前，我们不能预言测量值肯定为多少，只能对它的变化范围进行估计，因而测量值是一个随机变量。多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少随机 误差对测量结果的影响。测量值的取值可以是连续的，也可以是离散的。,测量值为离散值时的数学期望和方差,测量值为离散值时的数学期望,测量数据的数学期望和方差,若测量值X可能的取值数m为有限个或无穷可数个

12、离散值时：当测量次数n时，可以用某取值发生的频率nin代替事件发生的概率Pi(i=1m),这时，测量值X的数学期望为：,式中,若每个测量值只得到一次，或者每次测量结果单独统计，认为n次测量得到n个测量值，而不考虑这些结果中有无相同的情况时：当测量次数n时，可以用测量值出现的频率1n代替事件发生的概率Pi(i=1m),这时，则得到测量值X的数学期望为：,测量值的数学期望就是当测量次数n时，它的各次测量值的算术平均值测量值的数学期望只反映测量值平均的情况,测量值的数学期望就是当测量次数n时，它的各次测量值的算术平均值测量值的数学期望只反映测量值平均的情况,测量值为离散值时的方差,若测量值X可能的取

13、值数m为有限个或无穷可数个离散值时：当测量次数n时，可以用事件发生的频率nin代替第i种取值的概率Pi(i=1m),这时，测量值X的方差为：,若每个测量值只得到一次，或者每次测量结果单独统计，认为n次测量得到n个测量值，而不考虑这些结果中有无相同的情况时：当测量次数n时，可以用测量值出现的频率1n代替概率Pi(i=1m),这时，则得到测量值X的方差：,若测量值X可能的取值数m为有限个或无穷可数个离散值时：当测量次数n时，可以用事件发生的频率nin代替第i种取值的概率Pi(i=1m),这时，测量值X的方差为：,若每个测量值只得到一次，或者每次测量结果单独统计，认为n次测量得到n个测量值，而不考虑

14、这些结果中有无相同的情况时：当测量次数n时，可以用测量值出现的频率1n代替概率Pi(i=1m),这时，则得到测量值X的方差：,测量值的方差是用来描述测量值的离散程度或者说随机误差对测量值的影响的。在式（2-11）中，不采用xi-M(X)来进行平均，而取它的平方来平均。标准偏差：方差的算术平方根 标准偏差同样用来描述测量值的离散程度，越小，测量值越集中。,测量值的方差是用来描述测量值的离散程度或者说随机误差对测量值的影响的。在式（2-11）中，不采用xi-M(X)来进行平均，而取它的平方来平均。标准偏差：方差的算术平方根 标准偏差同样用来描述测量值的离散程度，越小，测量值越集中。,测量值为连续值

15、时的数学期望和方差,设测量值X落在区间,内的概率为,之比的极限存在,当,趋于零时，若,就把它称为测量值X在x点的概率密度，记为,则测量值X的数学期望为：,则测量值X的方差为：,（2-13）,（2-14）,（三）.粗大误差,定义：超出规定条件下预期的误差。也就是说在一定的测量条件下，测量结果明显地偏离了真值。产生粗差的原因有：测量操作疏忽和失误 如测错、读错、记错以及实验条件未达 到预定的要求而匆忙实验等。测量方法不当或错误 测量环境条件的突然变化 如电源电压突然增高或降低，雷电 干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。含有粗差的测量值称为坏值或异常值；粗大误差明显地歪曲了测量结 果，在数

16、据处理时，应剔除掉。,（四）测量误差对测量结果的影响及测量的正确度、精密度和准确度,系差和随差的表达式,对于一个测量误差，在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机 误差，而一般说来，在任何一次测量中，系统误差和随机误差都 是同时存在的。那么各次测得值的绝对误差就等于系统误差和随机误差的代数 和。即在确定条件下，对被测量x的第i次测量的误差可表示为,式中系统误差,在测量条件相同时是不变的，当测量次数n时，,若对n次测量的绝对误差取平均值，则,(2-15a),(2-15b),式(2-15a)说明，对于同时存在系统误差和随机误差的测量数据，只要测量次数足够多（理论上n），各次测量绝对误差的算术平均值就

17、等于测量的系统误差。取平均值后，随机误差的影响可以消除。式(2-15b)说明系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值；当 不存在系统误差时，测量值的数学期望就等于被测量的真值，即,(2-16),系差的表达式,随差的表达式,由于第i次测量的随机误差,由于第i次测量的随机误差,将,及式（2-15b）代入上式，可得,及式（2-15b）代入上式，可得,将,及式（2-15b）代入上式，可得,(2-17a),式(2-17a)说明，某次测量的随机误差等于这次测量的测量值与测量值的数学期望之差。当不存在或修正了系统误差以后，由式（2-16）可将上式变为,(2-17b),测量误差对测量数据的影响,（b）,（c

18、）,3.测量的正确度、精密度和准确度,正确度：表示测量结果中系统误差大小的程度。系统 误差越小，则正确度越高，就有可能使测量结果越 正确，即测量值的数学期望与真值符合的程度越高。所 以就可以用系统误差 来作为衡量测量是否正确的 尺度。精密度：表示测量结果中随机误差大小的程度，也可以 简称为精度。精密度越高，表示随机误差越小。随机 误差的大小可以用测量值的标准偏差 来衡量。越小，测量值越集中；反之，越大，测量值越分散，测量的精度越低。相同的测量叫等精密度测量。随 机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均 值附近。如图2-4所示,准确度：用来反映测量结果中系统误差和随机误差的 综合影响。表

19、示测量结果与真值的一致程度。准确度 越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和 随机误差都小。在一定的测量条件下，总是力求测量 结果尽量接近真值，即力求准确度高。,图2-4 随机误差不同的两组测量数据：（a）随机误差较小（b）随机误差较大,（a）,（b）,测量结果的正确度、精密度和准确度的涵义可用图2-5说明：,图2-5,（c）,（a）,（b）,4.系差、随差和粗大误差之间在一定条件下是可以相互转化在对三种误差进行判别时，也会发现它们之间没有不可 逾越的鸿沟，即三种测量误差的划分也不是绝对严格的，而是具有一定的相对性；但是，这种相对的划分还是必要的，根据这种划分人们对 三种误差的处理方法是

20、不同的：对于含有粗大误差的测 量值予以剔除；对于随机误差的影响用统计平均的方法 来消除或减弱；对系统误差则主要靠在测量过程中采用 一定的技术措施来削弱或对测量值进行必要的修正来减弱 系统误差的影响,误差的其他多种分类,2.2 测量误差的估计和处理,2.2.1 随机误差的影响及统计处理随机误差是在实际相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号均发生变化，而且这种变化没有确定的规律也不能事先确定的误差。随机误差使测量数据产生分散，即偏离它的数学期望。对某一次测量来说，随机误差使测量数据偏离数学期望的大小和方向是没有规律的，但多次测量就会发现随机误差使测量数据的分布服从一定的概率统计规律。可用数

21、理统计的方法研究随机误差对测量数据的影响，并用统计平均的方法来克服或处理这种误差。,测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。,为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？,(一)中心极限定理在误差分析中的应用测量数据的正态分布,随机误差的概率密度函数为：测量数据X的概率密度函数为：随机误差的数学期望和方差为：同样测量数据的数学期望M(X)，方差D(X),（2-18）,（2-19）,随机误差和测量数据的正态分布时概率密度曲线,随机误

22、差和测量数据的分布形状相同，因而它们的标准偏差 相同，只是横坐标相差,标准偏差意义,标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数。标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。,求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量，但在实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？,有限次测量值的算术平均值及其分布,对于某被测量进行一系列独立的等精度的测量，从统计的观点来看，这一系列测量值的分布形状完全是确定的，也就是说只要测量系统、测量条件和被测量不变，那么这一系列测量就具有相同的数学期望和标准偏差，即：,（二）用有限次测量数据估计测量值的数学期望和标准

23、偏差,那么根据概率论中相关的定理就可以求出n次测量值的算术平均值的数学期望和方差：,*,（2-22）,（2-23b）,（2-23a）,算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小 倍。原因是随机误差的抵偿性。,若每个平均值均由n个标准偏差为（X）的数据平均而成，则n越大，平均值的离散程度越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的影响的理论根据。,根据中心极限定理，可以得到一个重要结论：无论被测量总体的分布是什么形状，随着测量次数的增加，测量值算术平均值的分布都越来越趋近于正态分布。,用有限次测量数据估计测量值的数学期望,用n次测量值的算术平均值作为数学期望的估计值，并作为最后的测量结果。

24、即：,算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计值，即,式（2-24a、b、c）称为贝塞尔公式,3.用有限次测量数据估计测量值的方差和标准偏差,式中：,称为残差,（2-24a）,（2-24b）,（2-24c）,算术平均值的标准偏差估计值：,注意：,【例2.5】用温度计重复测量某个不变的温度，得11个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差估计值。,解：平均值 用公式 计算各测量值残差列于上表中标准偏差的估计值：标准偏差的估计值：,测量结果的置信问题,问题的提出：当我们知道了某被测量在一定条件下测量值的分布曲线后，希望知道尚未测得的数据x可能处于区间内的概率有多大，这里c是指定的系数

25、；而当我们测得一个测量值x后,又希望估计被测量的数学期望M（X）可能处于x附近某确定区间 内的概率是多少。即想知道测量的可信度测量结果的置信问题。,置信概率与置信区间,对应的两种概率是相等的,置信概率：置信区间包含估计值的概率称为置信概率。,置信区间：估计值以多大的概率包含在某一数值区间，该数值区间就 称为置信区间。,是完全等价的且,与,对应的两种概率是相等的,对应的两种概率是相等的,与,对应的两种概率是相等的,与,对应的两种概率是相等的,是完全等价的且,与,对应的两种概率是相等的,服从正态分布的测量值在对称区间的置信概率,若某测量值X服从正态分布，它的概率密度为：,则测量值处于M（X）对称区

26、间,内的置信概率为：,则测量值处于M（X）对称区间,令,（2-27）,令,于是可以把积分变量换为Z,即,（2-28）,根据系数c或者说根据置信区间,就可以从表（附录1）中查得相应的置信概率,由P44页例6可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过,的置信概率为99.73%,因而可以认为实际测量值均处于,由P44页例6可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过,的置信概率为99.73%,因而可以认为实际测量值均处于,由P44页例6可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过,由P44页例6可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过,的置信概率为99.73%,因而可以认为实际测量值均处于,由P44页例6可知

27、，对于正态分布的误差或测量值，不超过,的置信概率为99.73%,因而可以认为实际测量值均处于,由P44页例6可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过,根据系数c或者说根据置信区间,就可以从表（附录1）中查得相应的置信概率,区间越宽，置信概率越大,有限次测量情况下的置信问题由正态分布到t分布,它的概率密度为：,（2-30）,式中,称为伽马函数；k=n-1,称为自由度,t分布的图形关于t=0对称，类似于标准正态分布的图形。但它不仅和随机变量t有关，而且和自由度k有关。当n20以后，t分布趋于正态分布。正态分布是t分布的极限分布(当n时，t分布与正态分布完全相同),内的置信概率为：,则M（X）处于,

28、附近对称区间,对于确定的测量次数n，给定了置信概率就可以根据附录找到相 应的系数ta,即找到对应的置信区间；或者反过来。当测量次数不同时，对于同样的置信概率，置信区间是不同的。对于同样的置信概率，当样本不同时，由于平均值和平均值的标准 偏差估计值不同，得到的置信区间也不同。,测量误差的非正态分布,在测量实践中，除正态分布外，常见的非正态分布是均匀分布。服从于均匀分布情况：仪器中的刻度盘回差；最小分辨力引起的误 差；“四舍五入”的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内，而不 知其分布时，一般也可假定均匀分布等。均匀分布的特点：在其分布范围内，测量值或测量误差出现的概率 密度相等，其概率密度为：,概

29、率密度:,数学期望:,标准偏差:,方差:,概率密度:,方差:,标准偏差:,2.2.2 用统计学方法剔除异常数据,大误差出现的概率很小对于误差绝对值较大的测量数据，可以列为可疑数据。根据观察分析得到的物理原因或技术上的原因决定可疑 数据的取舍。产生原因以及防止与消除的方法 可疑数据产生原因 随机误差造成的正常分散性；测量人员的主观原因：操作失误或错误记录；客观外界条件的原因：测量条件意外改变、受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。是产生粗大误差的原因采取各种措施，防止产生粗大误差。,统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定 相应的置信区间，凡超过置信区间的数据就认为是异 常数据（含有粗大

30、误差），并予以剔除。置信区间的确定：在实际测量中常用算术平均值代替真值，用 标准偏差估计值代替标准偏差，则测量值xi在区间 以外的，就将数据xi剔除不用。,2.统计学的方法处理可疑数据,一个可疑数据是否被剔除，与我们给定的置信概率的大小或 者说对应的系数c的大小有关，当置信概率给定得过小时，有 可能把正常测量值当成异常值剔除；当置信概率给定得过大 时，又有可能异常值判别不出。在测量中设法提高测量的精密度，即设法减小测量值的标准偏 差，将有利于对可疑数据的判别。如图P53页2-11所示：,莱特准则：在测量数据为正态分布且测量次数足够多 时，习惯上取3倍 作为判别异常数据的界限。莱特准则的优点：方

31、法简单，使用方便；莱特准则的缺点：它不适用于测量数据为非正态 分布和测量次数较少的情况。实际上用统计学方法剔除异常数据，就必然包含着图 2-11（a）、（b）中的两种误差。只不过随着置信区 间的选择不同，每种误差的轻重程度不同而已。所以 应根据具体情况确定剔除异常数据的置信区间。均匀分布可采用1.73 作为判据。肖维纳准则和格拉布斯准则,小结：当系统误差的影响可以忽略或已经对其进行了 修正的情况下，测量数据的处理可用统计学方法。为了 削弱随机误差的影响，提高测量结果的可靠性，可增加 测量次数。为此可借助于微机来处理数据。见P56页通 用数据处理程序。,若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，

32、应逐个剔除，重新计算，再行判别。若有两个相同数据超出范围时，应逐个剔除。在一组测量数据中，可疑数据应很少。反之，说明系统工作不正常。,注意：,2.2.3 处理系统误差的一般方法,系统误差的特征：在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。多次测量求平均不能减少系差。,对系统误差的处理，一般总是涉及以下几个方面。,设法检验系统误差是否存在；分析可能造成系统误差的原因，并在测量之前尽力消除之；在测量过程中采取某些技术措施，来尽力消除或减弱系统误差的影响；设法估计出残存的系统误差的数值或范围。,系统误差的判别,不变的系统误差（恒值系差）可用前

33、面讲的系统误差的公式来发现恒值误差的存在与否 变化的系统误差（变值系差）残差观察法：适用于系统误差比随机误差明显大的情 况,存在线性变化的变值误差,周情性变值系差,将所测数据及其残差按先后次序列表或作图，观察各数据的残差 值的大小和符号的变化，从而判断是否存在系统误差及其规律。,当随机误差较大时，可采用如下方法：,马利科夫判据：,常用于判别累进性系统误差,当n为偶数时，,当n为奇数时，,若有累进性系统误差，M 值应明显异于零。通常M的绝对值不 小于最大的残差绝对值时，则可认为有累进性系统误差。,阿卑赫梅特判据：检验周期性系差的存在。,若,则可认为测量中存在变值系差,存在变值系差的测量数据原则上

34、应舍弃不用。,测量前尽力消除产生系统误差的来源,要从测量原理和测量方法上尽力做到正确、严格。测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。注意周围环境对测量的影响，特别是温度对电子测量的影响较大，可采取恒温、散热、空气调节等措施。尽量减少或消除测量人员主观原因造成的系统误差。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。,在开始测量以前应尽量发现并消除系统误差来源或设法 防止测量受误差来源的影响，这是消除或减弱系差最好 的方法。,消除或减弱系统误差的典型测量技术,在测量中我们使被测量对指示仪表的作用与某已知的标准量对它的 作用相互平衡，这时被测量就等于已知的标准量，这种方法叫做零示法。这种方法主要

35、是为了消除指示仪表不准而造成的误差例如在作戴维宁定理的实验中用零示法测开路电压,零示法,代替法,代替法：是在测量条件不变的情况下，用一个标准已知量去代 替被测量，并调整标准量使仪器的示值不变，在这种情况下，被测量就等于标准量的数值。例如P64页用代替法测未知电阻,交换法（对照法）,当估计由于某些因素可能使测量结果产上生单一方向的系统误差 时，我们可以进行两次测量。交换法：就是利用交换被测量在误差测量系统中的位置或测量方 向等办法，设法使两次测量中误差源对被测量的作用相反。对照 两次测量值，可以检查出系统误差的存在，对两次测量值取平均 值，将大大削弱系统误差的影响。,微差法,基本思想：当在实际测

36、量中标准量不是连续可调时，这时只要 标准量与被测量的差别较小时，那么它们的作用相互抵消的结 果也会使指示仪表的误差对测量的影响大大减弱。用数学公式说明微差法：设被测量为x,和它相近的标准量为B,被测量与标准量之微差 为A,A的数值可由指示仪表读出。则可推导出：,（2-37）,由式（2-37）可见，在采用微差法进行测量时，测量误差x/x由 两部分组成：B/B为标准量的相对误差，它一般是很小的；是指示仪表的相对误差A/A与相对微差A/x的积。由于相对微差 远小于1，因此指示仪表误差对测量的影响被大大地削弱了。微差法可用于标准量不是连续可调时的情况；同时还有可能在指 示仪表上直接读出被测量的数值（x

37、=A+B），这就使微差法得到了 广泛的应用。,系统误差的修正和系差范围的估计,实际值测量值修正值应尽力找出系统误差的大体范围，即找到系差的上限及下限，然后采取相应措施。,在测量中通常可用系统误差及随机误差的标准偏差来反映 测量结果的正确和精密程度。问题：在实际测量中，误差常常来源于许多方面。例如，用间接法测量电阻消耗的功率时，需测量电阻R、端电压V和电流I三个量中的两个量，如何根据电阻、电压或电流的误差来推算功率的误差呢？引出总误差和分项误差的概念总误差和分项误差：不管某项误差是由若干因素产生的还是由于间接测量产生的，只要某项误差与若干分项有关，这项误差就叫总误差，各分项的误差都叫分项误差或部

38、分误差。,2.3 测量误差的合成与分配,在测量工作中，常常需要从下面正反两个方面考虑总误差和 分项误差的关系：误差合成问题：如何根据各分项误差来确定总误差？误差分配问题：当技术上对某量的总误差限定一定范围以 后，如何确定各分项误差的数值？,测量误差传递公式,设某量y由两个分项x1，x2合成，即,，若在,一、测量误差的合成,附近各阶偏导数存在，则可把y按泰勒级数展开，并且略去高阶项，可得：,式中,同理，当总合y由m个分项合成时，可得：,（2-38）,式（2-38）及式（2-39）称为误差传播或误差传递公式,式（2-38）是求总合绝对误差的公式对式（2-38）作一变换就可以得到求总合相对误差的公式

39、：,（2-39）,看P69-60页例12、13在实际计算误差总合时，常常是知道各分项的绝对误差和相对误差，求总合的绝对误差和相对误差,作为一个技巧性问题，若y=f（x1，x2，xm）的函数关系为和、差关系时，常先求总合的绝对误差，若函数关系为乘、商或乘 方、开方关系时，常先求总合的相对误差（例14）,系统误差的合成,由误差传递公式，很容易求得确定性系统误差的合成值。即把,代入式（2-38）中，并且若测量误差中各随机误差可以,忽略，即可得到：,（2-41）,若,为确定性系统误差，则可由上式直接求出总合的,系统误差,由误差传递公式，很容易求得确定性系统误差的合成值。即把,代入式（2-38）中，并且

40、若测量误差中各随机误差可以,由误差传递公式，很容易求得确定性系统误差的合成值。即把,代入式（2-38）中，并且若测量误差中各随机误差可以,忽略，即可得到：,由误差传递公式，很容易求得确定性系统误差的合成值。即把,代入式（2-38）中，并且若测量误差中各随机误差可以,忽略，即可得到：,由误差传递公式，很容易求得确定性系统误差的合成值。即把,代入式（2-38）中，并且若测量误差中各随机误差可以,（2-41）,忽略，即可得到：,由误差传递公式，很容易求得确定性系统误差的合成值。即把,代入式（2-38）中，并且若测量误差中各随机误差可以,若,为确定性系统误差，则可由上式直接求出总合的,若,随机误差的合

41、成,（2-41）,同理，若各分项的系统误差为零，则可求得总合的随机误差,若x1，x2,xm为相互独立的量，并当测量次数n时，可推导出如下公式：,（2-42a）,上式为各分项方差求总合方差的公式。,比较式（2-41）及式（2-42a）可见，确定性误差是按代数形式总合起来的，而随机误差是按几何形式总合起来的。,不确定度的合成,不确定度的概念,系统不确定度：指不能确切掌握的系统误差可能变化的最大幅度。用符号表示。,随机不确定度：指随机误差随机变化的最大幅度。总误差的不确定度：由系统误差和随机误差构成的测量总误差的变化的最大幅度。所谓误差的变化的最大幅度也不是绝对不能超过的，而是就一定的置信概率而言的

42、。,绝对值合成法,系统不确定度的合成,认为在m个分项中各分项的不确定度有可能同时取正值或同时取 负值，则总合的不确定度为各分项不确定度绝对值的合成，即,（2-43a）,（2-43b）,由例题可知，这种用绝对值合成法求总合不确定度的方法虽然比较 安全，但却偏于保守。因为在分项数目较多时，各分项取同号的概 率很小。所以绝对值合成法通常仅用于估计分项数目较少时的总合 不确定度。,均方根合成法,当系统误差的大小和方向都不能确切掌握时，可以仿照处理随机误差的方法来处理系统误差。如果能知道每个分项的误差分布形状和不确定度j，对系统误差定义一个类似与标准偏差的表征项：,（2-44a）,式中Kj与误差的分布有

43、关：P78页表2-1,表征项u（xj）可以用来描述一切并非由相同条件下多次重复测 量时用统计学方法计算的不确定度的分散性。,A类标准不确定度：用统计方法得到的不确定度。B类标准不确定度：用非统计方法得到的不确定度。,。,对于随机误差，标准偏差或者说数据的分散性，可以通过多次测量取平均值来减小；而对于系统误差造成的数据分散性，则不能因多次测量取平均值而减小。,。,除此之外，完全可以按照处理（x）同样的方法来处理u(xj),由此可得总误差的：,（2-42b）,最后根据总合的分布形状求出总合的不确定度：,（2-44b）,上面的综合方法从理论上说虽然比较严格，但在实际上却有一定的困难。下面介绍两种常用

44、的估计总合不确定度的方法,第一种方法：用几何方法估计总合的不确定度。,（2-45）,由于ky常常可能大于kj，因此此方法估计总合的不确定度可能偏小。,第二种方法：对于不能确切掌握分布形状的分项误差均认为是均匀分布，即取kj=3，而总合的分布介于均匀分布与正态分布之间，即取ky=（3 3），这样可得:,（2-46）,如果系统不确定度虽由若干项组成，但只有一个分项起主要作 用，其它项的影响很小，这时亦可不进行合成，而认为总合不确 定度只由起主要作用的那个分项决定。,同时含有系统误差和随机误差时不确定度的合成,当误差总合中同时含有系统误差和随机误差时，首先应将系统误差中确定部分和不确定部分离开来，确

45、定部分按式（2-41）进行总合。对于同时包含不确定的系统误差和随机误差的情况，可以完全用类似于处理系统不确定度的方法来估计总合不确定度，即,（2-47a）,（2-47b）,式中,式（2-47）称为广义均方根法公式。式（2-47a）的一个特例：当只测量一个量x时，求得总不确定度为：,（2-47c）,式中,同时考虑确定性系统误差：,同理，在总合不确定度合成时，若只有一个分项起主要作用，其它项的影响很小，这时亦可不进行合成，而认为总合不确定度只由起主要作用的那个分项决定。特别是对于式（2-47c）这种一个量的系统不确定度与随机误差影响的合成情况，当,这时就可以用系统误差不确定度,来近似表示测量结果的

46、总不确定度。,来近似表示测量结果的总不确定度。,这时就可以用系统误差不确定度,微小误差准则,代数合成中的微小误差,对于确定性系统误差，可由式,（2-41）,进行代数合成，,若其中第k项为微小误差，可以将其略去，则应满足：,对于确定性系统误差，可由式,当合成值保留一位有效数字时，,当合成值保留一位有效数字时，,当合成值保留两位有效数字时，,（2-48a）,（2-48b）,几何合成中的微小误差,对于随机误差或项数较多的未定系统误差均采用几何合成。对随机误差，由式,若其中第k项为微小误差，可以将其略去，则应满足：,进行几何合成，,当合成值保留一位有效数字时，,当合成值保留两位有效数字时，,（2-48

47、a）,（2-48b）,（2-49a）,（2-49b）,上面分析的是代数合成或几何合成中略去第k项微小误差的准则，也适用于某几项误差的总合可以略去的情况。,二、测量误差的分配,给定总误差后，如何将这个总误差分配给各分项？,等准确度分配：是指分配给各分项的误差彼此相同，即,则由式（2-41）及式（2-42）可以得到分配给各分项的误差为：,（2-50）,（2-51）,等作用分配：是指分配给各分项的误差在数值上虽然不一定相同，但它们对测量误差总合的作用或者说对总合的影响 是相同的,即,则由式（2-41）及式（2-42）可以得到分配给各分项的误差为：,（2-52）,（2-53）,抓住主要误差项进行分配：

48、是指当各分项误差中第k项误差特别大时，按照微小误差准则，若其它项对总合的影响可以忽略，这时就不考虑次要分项的误差 分配问题，只要保证主要项的误差小于总合误差即可，既当,时，就可以只考虑主要项的影响，即,（2-54）,（2-55）,所谓测量的最佳方案，从误差角度看就是要做到：,三、最佳测量方案的选择,选择目的：使测量结果的准确度越高即误差的总合越小越好。,（2-56）,（2-57）,2.4 测量数据处理,数据处理：就是对实际测量取得的测量数据进行计算、分析、整理，有时还要把数据归纳成一定的表达式或画 成表格、曲线等等。数据处理是建立在误差分析的基础上的。,一、有效数字及数字的舍入规则,有效数字,

49、对于误差不大于末位单位数字一半的近似数，则从该近 似数左边第一个非零数字到最末一位数为止的全部数 字，称之为有效数字。,例如：3.142四位有效数字，误差0.0005 8.700四位有效数字，误差0.0005 8.7103二位有效数字，误差0.05103,开头的零不是有效数字。数字中间的0和末尾的0都是有效数字，不能随意添加。尤其注意的是：最右边的一个零也是有效数字，它对应着测量的准确程度。,例如：3.860,不能任意把它改写为3.86（对应的误差0.005）或3.8600（对应的误差0.00005）,测量数据的绝对值比较大（或比较小），而有效数字又 比较少的测量数据，应采用科学计数法，即a1

50、0n，a的位数由有效数字的位数所决定。,数字的舍入规则,（1）当保留n位有效数字，若后面的数字小于第n位单位数 字的0.5就舍掉；（2）当保留n位有效数字，若后面的数字大于第n位单位数 字的0.5，则第n位数字进1；（3）当保留n位有效数字，若后面的数字恰为于第n位单位 数字的0.5，则第n位数字为偶数或零就舍掉后面的数 字，若第n位数字为奇数，则第n位数字加1。,小于5舍去末位不变。大于5进1在末位增1。等于5时，取偶数例：将下列数据舍入到小数第二位。12.434412.43 63.7350163.740.694990.69 25.325025.3217.695517.70 123.1150