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1、第四章 二次曲面的一般理论,一、平面二次曲线,4.8平面二次曲线,4.8.1 二次曲线方程的化简与分类,1.移轴,2转轴,(为坐标轴的旋转角),3.平面直角一般坐标变换,为转轴公式，其中为坐标轴的旋转角.,或,4.二次曲线方程的化简和分类,定理5.6.1 适当选取坐标系，二次曲线的方程 总可以化成下列三个简化方程中的一个：,定理5.6.2 通过适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：,例1 已知两垂直的直线 与，取 为 轴，为 轴，求坐标变换公式。,例3 化简二次曲线方程并画出它的图形,例2 化简二次曲线方程，并画出它的图形,4.8.2 二次曲线与直线的相关位置,注
2、：1.不全为零；,由二元二次方程 所表示的曲线叫做二次曲线(quadratic curve).,2.方程中系数的规律:下标“1”代表“x”，下标“2”代表“y”，交叉项前有2.,二次曲线的概念,二次曲线的有关记号,例 写出二次曲线的矩阵 A 的几种常用符号,讨论二次曲线,与直线,的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方程（1）然后讨论关于t的方程.,（1）,（2）,二次曲线与直线的相关位置,4.8.3 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线,1.二次曲线的渐近方向,定义满足条件(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向(asymptotic direction)，否则叫做非渐近方向(nona
3、symptotic direction).,定义没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型曲线(elliptic quadratic curve)，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型曲线(parabolic quadratic curve)，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型曲线(hyperbolic quadratic curve).,椭圆型曲线：抛物型曲线:双曲型曲线：,2.二次曲线的中心与渐近线,定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心(central point).,定理5.2.1 点C(x0,y0)是二次曲线(1)的中
4、心，其充要条件是：,推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项.,二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：,如果I20，则(*)有唯一解，即为唯一中心坐标,如果I20，分两种情况：,定义5.2.4 有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线(central conic)，没有中心的二次曲线叫无心二次曲线(noncentral conic)，有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线(line central conic)，无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线(non-central conic).,定义 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的
5、渐近线(asymptotic line).,定理5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分.,4.8.4 二次曲线的切线,定义5.3.1 如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线(tangent)，这个重合的交点叫做切点(tangent point)，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切点.,定义5.3.2 二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)=F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点(singular point)，简称奇点；二次
6、曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点(proper point).,定理5.3.1 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是(x-x0)F1(x0,y0)+(y-y0)F2(x0,y0)=0，(x0,y0)是它的切点.如果(x0,y0)是二次曲线(1)的奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确定，或者说过点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1)的切线.,推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是：,证明：,设M0(x0，y0)是二次曲线（1)上的任一点，则过M0的直线l的方程总可以写成下面的形式：,当(X,Y)
7、0时，必须使判别式,在二次曲线上，上式变为,),因此过二次曲线上的点 的切线方程为,即：,例1 求二次曲线x2-xy+y2+2x-4y-3=0在点(2,1)的切线方程,例2 求二次曲线 通过点(2,1)的切线方程,4.8.5 二次曲线的直径,一.二次曲线的直径 定理5.4.1 二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线.,由条件可得：,证明：设 是二次曲线的一个非渐近方向，即 而 是平行于方向 的弦的中点，过 的弦为,（1）,这说明平行于方向 的弦的中点 的坐标满足方程,反过来，如果点 满足方程（1），那么方程（2）将有绝对值相等而符号相反的两个根，点 就是具有方向 的弦的中点，因此方程（1）为
8、一族平行于某一非渐近方向 的弦的中点轨迹的方程,推论 二次曲线的一族平行弦的斜率为k，那么共轭于这族平行弦直径方程为 F1(x,y)+kF2(x,y)=0,定理5.4.2 中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条，即曲线的中心直线,定义5.4.1 二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个二次曲线的直径(diameter)，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦(conjugate chords)；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径.,例1 求椭圆或双曲线,的直径,解,所以共轭于非渐近方向XY的直径方程是,例2 求抛物线,的直径,解,共轭
9、于非渐近方向XY的直径为,即：,例3 求二次曲线 的共轭于非渐近方向XY的直径,解：,直径方程为,又因为X：Y1,所以直径方程为：x-y+1=0,二.共轭方向与共轭直径,中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向.,二次曲线的与非渐近方向XY共轭的直径方程总可以写成（5.41）的形式，而（5.41）的方向是,我们称这个方向为非渐近方向XY的共轭方向,因此有5.4.3 中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而非中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向是渐近方向,定义5.4.2 中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径(conjuga
10、te diameters).,椭圆的一对共轭直径,双曲线的一对共轭直径,4.8.6 二次曲线的主直径和主方向,我们也可以定义二次曲线的主方向为一对既正交、又共轭的方向.,显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做曲线的顶点,定义5.5.1 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径(principal diameter)，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向(principal direction).,现在我们来求二次曲线 F(x，y)(1)的主方向与主直径如果二次曲线（1）为中心曲线，那么与二次曲线（1）的非渐近方向XY共轭的直
11、径为（5.41）或（5.42）设直径的方向为X Y，则由于两方向共轭，有 X Y:,X：Y成为中心曲线主方向的条件是,其中 满足方程,即：,定理 二次曲线的特征根都是实数.,证 因为特征方程的判别式，,所以二次曲线的特征根都是实数。,定义5.5.2 方程(1)或(2)叫做二次曲线 的特征方程(characteristic direction)，特征方程的根叫做二次曲线的特征根(characteristic root),定理5.5.2 二次曲线的特征根不能全为零。,证明：如果二次曲线的特征根全部为零，由（2）得：,即,与二次曲线的定义矛盾，所以二次曲线的特征根不能全为零。,定理5.5.3 由二次
12、曲线（1）的特征根确定的主方向XY，当 0时，为二次曲线的非渐近主方向(nonasymptotic principal direction)；当0时，为二次曲线的渐近主方向(asymptotic principal direction),证明：,所以由（*）得,因X、Y不全为零，故当 0时，,XY为二次曲线（1）的非渐近主方向；,当0时，,XY为二次曲线 的渐近主方向,定理5.5.4 中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条主直径.,所以这两个主方向也相互垂直，因此非圆的中心二次曲线有且只有一对互相垂直又互相共轭的主直径。,例1 求 的主直径与主方向.,例2 求 的主直径与主方向.
13、,4.8.7 应用不变量化简二次曲线的方程,1不变量与半不变量,二次曲线在任意给定的直角坐标系中的方程为,上式左端变为：,设在直角坐标变换,下,定义,那么这个函数f 叫做二次曲线（1）在直角坐标变换T 下的不变量(invariant)如果个函数f的值只是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲线（1）在直角坐标变换下的半不变量(semi-invariant),定理5.9.2 当二次曲线（1）为线心曲线时，K1是直角坐标变换下的不变量,2应用不变量化简二次曲线的方程,定理 如果二次曲线（1）是中心二次曲线，那么它的简化方程为,其中1，2是二次曲线的特征方程的两个根.,命题 如果二次曲线（1）是无
14、心曲线，那么它的简化方程为,这里根号前的正负号可以任意选取.,定理 如果二次曲线（1）是线心曲线，那么它的简化方程为,5 一对相交直线：；6 抛物线：；7 一对平行直线：；8 一对平行的虚直线：；9 一对重合的直线：,例2 求二次曲线 的简化方程与标准方程,例1 求二次曲线 的简化方程与标准方程,二、二次曲面,4.1 空间直角坐标变换,一、二次曲面一些常见的记号,表示的曲面叫二次曲面,在空间中,由三元二次方程,为了以后讨论的方便，我们引进一些记号：,利用矩阵法可以写成,二、直角坐标变换,从而有：,两个式子都称为点的直角坐标变换公式,六个关系式为正交的条件，则T也是正交矩阵,三、移轴变换,四、转
15、轴变换,解：将原方程变形为,则在新坐标系中，曲面方程变为：,表示一个双曲抛物面,原方程可化为：,解：把所给方程改写为：,做平移变换：,代入上式得：,也知曲面是二次锥面,4.2 利用转轴化简二次曲面方程,利用矩阵法可以写成,一、在转轴变换下二次曲面方程的系数变化情况,二、二次曲面的特征方程、特征根、主方向,上述矩阵中只有对角线的项不为零，其他项均为零,将上述三式统一成矩阵形式为：,定义：,它的根称为二次曲面的特征根,命题1：二次曲面的三个特征根都是实数,命题2：二次曲面的三个特征根不全为零,命题3：二次曲面的两个相异的特征根对应的主方向一定垂直,定理1：对于任意的二次曲面，至少存在三个两两互相垂
16、直的主方向,4.2.3 利用转轴消去二次曲面方程中的交叉项,对于任意的二次曲面的方程，通过空间直角坐标变换总可以把方程化为简单的形式，即标准方程，二次曲面共可以分为十七类，标准方程分别是：,4.3 二次曲面的分类,从而可以化成十七中标准方程之一,化简主要分为下面三种情况：,就可以得到（一）中形式,就可以得到（二）中形式,就可以得到（三）中形式,4.4 二次曲面的不变量,由方程表示的二次曲面经直角坐标变换后，曲面方程这一表现形式虽然发生了变化，但决定曲面几何特征的内在性质并未改变，而后者是用不变量来刻画的，这种不变量用二次曲面方程的系数来表达，并且不因直角坐标变换而发生变化，也叫正交不变量,5.
17、4.1 不变量与半不变量,5.4.2 应用不变量化简二次曲面方程,4.5 二次曲面的中心与渐近方向,一、二次曲面与直线的相关位置,将参数方程代入曲面方程得：,当0时，方程有两个不等实根，故l与S有两个不同实交点,当=0时，方程有两个相等实根，故l与S有两个相重实交点,当0时，方程有一对共轭虚根，故l与S有一对共轭虚交点,二、渐近方向,定义1：满足(X,Y,Z)=0的方向X:Y:Z叫做二次曲面S的渐近方向，否则叫做S的非渐近方向,三、二次曲面的中心,线心曲面，面心曲面和无心曲面都称为非中心二次曲面,定义3：通过中心二次曲面的中心并具有渐近方向的直线称为渐近线，以二次曲面的中心为顶点的渐近方向锥面
18、叫做二次曲面的渐近锥面,4.6 二次曲面的径面,命题1：二次曲面的一族平行弦的中点所成的轨迹在一个平面上,定义1：二次曲面沿非渐近方向X：Y：Z的所有平行弦中点所在平面叫做二次曲面共扼于方向X：Y：Z的径面,推论1：中心二次曲面的任何径面必须通过它的中心；线心二次曲面的任何径面通过它的中心直线；面心二次曲面的径面与它的中心平面重合,定义3：如果二次曲面的径面垂直于它所共扼的方向，那么这个径面就叫做二次曲面的主径面。,命题4：二次曲面至少有一个主径面。,4.7 二次曲面的切线和切平面,4.8 平面二次曲线简介,4.8.1、二次曲线方程的化简和分类,定理4.8.1、平面上的二次曲线方程经过平面直角
19、坐标变换可以化为下面的三个简化方程之一,二次曲线的九种标准形式为,4.8.2、二次曲线与直线的相关位置,4.8.3、二次曲线的中心、主方向与主直径,无心曲线和线心曲线统称非中心二次曲线,定义4.8.3、通过中心曲线的中心并具有渐近方向的直线称为渐近线,定义4.8.5、如果二次曲线的直径垂直于它所共扼的方向，那么这条直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向以及垂直于主直径的方向都叫二次曲线的主方向,命题4.8.3、（1）二次曲线的两个特征根都是实数，而且 至少一个不为零（2）二次曲线的两个不同的特征根对应的主方向相互垂直（3）非零特征根对应非渐近主方向，零特征根对应的渐近 主方向,命题4.8.4、中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条主直径,4.8.4、二次曲线的不变量,命题4.8.5、一般二次曲面被一组平行平面所截，得到的诸截线是属于同一类型的二次曲线,是位于平面z=k上的二次曲线,
