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1、1,7-1 空间解析几何基本知识,2,第一节,一、空间直角坐标系,二、曲面及其方程的概念,三、几种常见的曲面及其方程,空间解析几何基本知识,第七章,3,面,面,面,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),复习,1.空间直角坐标系,4,2.平面基本方程:,一般式,复习,平面A x+B y+C z=0通过坐标原点；,3.平面一般方程,的几种特殊情况：,截距式,5,平面过x 轴；,平面/x 轴；,平面Cz+D=0平行于xoy 坐标面；,平面过y 轴；,平面/y 轴；,平面By+D=0平行于xoz 坐标面；,平面Ax+D=0平行于yoz 坐标面.,平面过z 轴；,平面/z 轴.,6,4.柱面方程的
2、特征：,只含两个坐标的方程一定是柱面方程，,缺少哪个变量字母，,母线就平行于哪个坐标轴.,二元方程,都是柱面方程,25,7,引例.分析方程,表示怎样的曲面.,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线,故在空间,过此点作,所形成的曲面称为圆柱面.,对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,三、柱面,8,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所,这条定曲线C 叫,(1)定义,形成的曲面称为柱面.,柱面的准线，,直线L 叫柱面的,母线.,动,C,一般的,9,C,10,C,11,C,
3、12,C,13,C,14,C,15,C,16,C,17,C,18,C,19,（2）求柱面方程,设母线/z轴，,准线是xoy面,上的曲线C:F(x,y)=0.,设M(x,y,z)是柱面上的任一点，,则N(x,y)是曲线F(x,y)=0上的点，,则得M(x,y,z)点满足的方程为F(x,y)=0.,所以柱面方程为：,N,M(x,y,z),只含x,y而缺z的方程F(x,y)=0，,在空间直角坐标系,中表示母线平行于z 轴的柱面，,而准线为xoy面上的曲线C.,20,g(y,z)=0是母线/x轴,g(y,z)=0所构成的柱面.,类似地：,准线为yoz面内的曲线,h(x,z)=0是母线/y轴,h(x,z
4、)=0所构成的柱面.,准线为xoz面内的曲线,注意：,柱面方程一定是二元方程，,缺少哪个变量字母，,母线就平行于哪个坐标轴.,21,柱面方程的特征：,只含两个坐标的方程一定是柱面方程，,缺少哪个变量字母，,母线就平行于哪个坐标轴.,二元方程,都是柱面方程,22,抛物柱面,平面,例,问方程,表示什么曲面？,抛物柱面,23,椭圆柱面,抛物柱面,双曲柱面,例如：,母线/x轴,母线/z轴,母线/y轴,24,例1 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,解,斜率为1的直线,25,(1)定义,以一条平面,这条定直线叫旋转曲,3、旋转曲面,曲线绕该平面上的,一条直线旋转一周,所生成的
5、曲面称为,旋转曲面.,面的轴,曲面的母线.,曲线叫旋转,26,27,(1)定义,以一条平面,这条定直线叫旋转曲,3、旋转曲面,曲线绕该平面上的,一条直线旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面.,面的轴,曲面的母线.,曲线叫旋转,28,(1)定义,以一条平面,这条定直线叫旋转曲,3、旋转曲面,曲线绕该平面上的,一条直线旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面.,面的轴,曲面的母线.,曲线叫旋转,29,(1)定义,以一条平面,这条定直线叫旋转曲,3、旋转曲面,曲线绕该平面上的,一条直线旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面.,面的轴,曲面的母线.,曲线叫旋转,30,(1)定义,以一条平面,这条定直线叫旋转
6、曲,3、旋转曲面,曲线绕该平面上的,一条直线旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面.,面的轴,曲面的母线.,曲线叫旋转,31,(1)定义,以一条平面,这条定直线叫旋转曲,3、旋转曲面,曲线绕该平面上的,一条直线旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面.,面的轴,曲面的母线.,曲线叫旋转,32,(1)定义,以一条平面,这条定直线叫旋转曲,3、旋转曲面,曲线绕该平面上的,一条直线旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面.,面的轴,曲面的母线.,曲线叫旋转,33,(1)定义,以一条平面,这条定直线叫旋转曲,3、旋转曲面,曲线绕该平面上的,一条直线旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面.,面的轴,曲面的母线.,曲
7、线叫旋转,34,(1)定义,以一条平面,这条定直线叫旋转曲,3、旋转曲面,曲线绕该平面上的,一条直线旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面.,面的轴,曲面的母线.,曲线叫旋转,35,(1)定义,以一条平面,这条定直线叫旋转曲,3、旋转曲面,曲线绕该平面上的,一条直线旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面.,面的轴,曲面的母线.,曲线叫旋转,36,(1)定义,以一条平面,这条定直线叫旋转曲,3、旋转曲面,曲线绕该平面上的,一条直线旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面.,面的轴,曲面的母线.,曲线叫旋转,37,例如:,38,(2)建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,给定 yoz 面上
8、曲线 C:,设所求曲面上的动点为,则点M一定是曲线上的某点转过来的.,故旋转曲面方程为：,当绕 z 轴旋转时,设,则有,则有,该点转到,39,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,总之：旋转曲面的方程方程：,yoz面上的曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周所成的旋转,曲面的方程：,yoz坐标面上的已知曲线 f(y,z)=0绕y轴旋转一周的,旋转曲面的方程为,40,例3.求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,41,旋转抛物面,42,例4.试建立
9、顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为,的圆锥面方程.,解:在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,43,该曲面叫圆锥面.,方程的特点：,叫标准圆锥面.,三元二次齐次方程.,同理：,中心轴是 y 轴,中心轴是 x 轴.,也是标准圆锥面.,也是标准圆锥面.,是上半圆锥面.,44,旋转抛物面.,旋转双叶双曲面.,如,45,5、其它的二次曲面,三元二次方程,这类曲面通常都可以先经过旋转,然后伸缩变形得到,称为旋转+伸缩型二次曲面.,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0),特征：,46,1.定义：三元二次方程,适当选
10、取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍.,研究二次曲面特性的基本方法:截痕法,伸缩法.,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0),相应地平面被称为一次曲面,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,了解曲面的全貌，即为截痕法.,考察其交线（即截痕）的形状，,然后加以综合，从而,截痕法：,5、其它的二次曲面,47,伸缩法：,48,将旋转椭球面 沿 轴方向伸缩 倍得：,2.椭球面,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,球面,49,50,（2）双叶双曲面,旋转双曲面,沿轴 方向伸缩 倍,51,52,设a,b均大于0,以
11、平行于xOy面的平面z=z0(z00)截椭圆抛物面,所得截线方程为,它表示平面z=z0上一椭圆.以z=0截曲面,截得一点为原点.,53,以平行于xOz面的平面y=y0截曲面,截线方程为,这是平面y=y0上一条抛物线.,以平行于yOz面的平面x=x0截曲面所得截线是平面x=x0上的一条抛物线.,54,55,1.空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,柱面-二元方程,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.,圆锥面的方程,时 叫标准圆锥面.,yoz面上的曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周所成的旋转,曲面的方程：,内容小结,56,2.二次曲面,三元二次方程,椭球面,
12、抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,57,B,B,58,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C，是空间一个椭圆.,一、空间曲线的一般方程,补,59,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,由于,是上半球面,是圆柱面,交线如图,叫维维尼曲线,60,例如:下列方程组各表示怎样的曲线？,所以，空间曲线的方程是不唯一的.,61,三、空间曲线在坐标面上的投影,C,C关于 的投影柱面,C在 上的投影曲线,设曲线,则C关于xoy面的投影柱面方程应为消z后的方程：,所以C在xoy面上的投影曲线的方程为：,62,
13、例3.,解：,代入消元,求交线C,的投影曲线的方程.,由所给的方程相减得：,消去z得关于xoy面的投影柱面的方程为,则交线C在xoy面上的投影曲线的方程为：,在xoy面上,63,总之:,设空间曲线C,消去 z,得投影柱面,xoy 面上的投影曲线方程,与xoy 面方程联立得C 在,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程,64,例4.,求曲线,绕 z 轴旋转的曲面与平面,的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为,所以 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,65,例5 求曲线 在坐标面上的投影.,解,（1）消去变量z后得,在 面上的投影为,66,所以在 面上的投影为线段.,（3）同理在 面上的投影也为线段.,（2）因为曲线在平面 上，,67,例如,所围的立体在 xOy 面上的投影区域为:,上半球面,和锥面,在 xOy 面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xOy 面上的投影曲线所围之域.,68,补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,
