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1、,第五章 定积分及其应用,第一节 定积分及其计算,第二节 定积分在几何上的应用,第三节 定积分在物理上的应用,第一节 定积分及其计算,一.定积分的概念与性质,二.微积分基本公式,本节主要内容:,三.定积分的积分法,四.反常积分,一.积分的概念与性质,(一)定积分问题举例,1.曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积 A.,显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.,播幻灯片 75放,解决步骤:,1)分割,2)取近似,3)求
2、和,4)取极限,解决步骤:,1)分割,在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2)取近似,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3)求和,4)取极限,令,则曲边梯形面积,2.变速直线运动的路程,解决步骤:,1)分割,2)取近似,3)求和,4)取极限,解决步骤:,1)分割,将它分成,在每个小段上物体经,2)近似,得,n 个小段,过的路程为,2.变速直线运动的路程,3)求和,4)取极限,上述两个问题的共性:,(二)定积分的概念,定义5.1.1 设函数 f(x)在区间a,b上有定义,分
3、割:任取分点 把区间 a,b 分割成 n个小区间 xi-1,xi,第i个小区间的长度为，记 近似:在每个小区间xi-1,xi上任取一点 i(i=1,2 n)求和：作和式,取极限：当0时,若极限 存在(这 个极限值与区间 a,b 的分法及点 i 的取法无关)，则称函数 f(x)在a,b 上可积,并称这个极限为函数 f(x)在区间a,b上的定积分，记作,即,说明：,1.闭区间上的连续函数是可积的;闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的,2.定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数f(x)和积分区间a,b，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有,3.在定积分的定义中,有ab,为了今后计算方便，
4、我们规定:,(三)定积分的几何意义,:介于曲线f(x),x轴及两条直线x=a,x=b之 间的各部分面积的代数和,设A为曲边梯形面积,则,各部分面积的代数和,例1 利用定积分的几何意义,证明,梯形是单位圆位于x轴上方的半圆.,因为单位圆的面积，所以半圆的面积为/2.,思考,(四)定积分的性质,性质1,性质2,性质3(积分区间的可加性):对任意的点c，有,性质4 如果被积函数 f(x)=C(C为常数)，则,性质5(积分的保序性):如果在区间a,b上,恒有 f(x)g(x),则,例2 比较定积分 与 的大小.,性质6(积分估值定理)如果函数 f(x)在区间 a,b上有最大值 M 和最小值 m,则,M
5、(ba),y=f(x),f(x)dx,m(ba),则 f(x)在-1,1上的最小值为m=1/e,最大值为M=1，由定积分的估值性质，,例3 估计定积分 的值.,设,比较 x=0 及区间端点 x=1 的函数值，有,性质7(积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点x，使下式成立:,exit,性质8(对称区间上奇偶函数的积分性质)设f(x)在对称区间-a,a上连续，如果f(x)为奇函数，则;如果f(x)为偶函数，则.,例如,exit,二.微积分基本公式,在变速直线运动中,已知位置函数 s(t)与,速度函数,之间有关系:,考虑时间间隔,实际问题,变速直线运
6、动中路程为,另一方面这段路程可表示为,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.,(一)积分上限函数,定理5.1.1 如果函数 f(x)在区间 a,b上连续,则变上限积分函数 在a,b上可导，且它的导数是 f(x),即,例4 计算,例5 计算,例6 计算,说明：,1.解决了原函数的存在性问题:a,b 上的连续函数一定存在原函数,且(x)是f(x)的一个原函数这一基本结论.,为寻找定积分的计算方法提供了理论依据,(二)微积分基本公式(牛顿莱布尼兹公式),定理5.1.2 设 f(x)在 a,b 上连续,且 F(x)是 f(x)原函数,则,例7 计算,例8 计算,例9 计算,例10 设 求,例1
7、1 计算,练一练,三.定积分的积分法,(一)定积分的换元积分法,定理5.1.2 设函数 f(x)在区间 a,b上连续,并且 满足下列条件:(1)x=(t),其值域含于a,b,且 a=(),b=();(2)(t)在区间,或,上有连续的导数(t);则有,说明：,例12 计算,法一 设t=cosx,则dt=-sinxdx,法二,例13 计算,例14 计算,设,则x=t2-1,dx=2tdt,例15 计算,例16 计算,例17 计算,原式,例18 设f(x)在区间-a,a上连续,证明:(1)如果f(x)为奇函数,则;(2)如果f(x)为偶函数,则,例19 设函数f(x)在0,1上连续,证明:,设,例2
8、0 求下列定积分:,(1),例21 求定积分:,奇函数,原式,偶函数,单位圆的面积,练一练,(二)分部积分法,定理5.1.4 设函数u=u(x)和v=v(x)在区间a,b上有 连续的导数,则有:,例22 求,例23 求,例24 求,令 则,例25 求,例26 求,例 27 证明,解得In 的递推公式,继续使用递推公式知道 I1 和 I0,得,例28 求,例29 求,定义5.1.2 设函数 f(x)在区间 a,+)上连续,取ba，若极限 存在,则称此极限为函 数 f(x)在a,+)上的广义积分,记作，即 此时也称广义积分 收敛;如果上述极限 不存在,就称 发散.,类似可定义:,只要有一个极限不存
9、在,就称,发散.,引入记号,则有类似 N L 公式的计算表达式:,例30 求,例31 讨论 的敛散性.,例32 求,例33 求,(二)无界函数的广义积分瑕积分,定义5.1.3 设函数 f(x)在区间(a,b上连续且.取 Aa,如果极限 存在,则称此极限为函数 f(x)在(a,b 上的广义积分,记作 即 此时也称广义积分 收敛,否则就称广义积分 发散.A 称为瑕点.,类似可定义:,（1）x=b 为 f(x)的无穷间断点时:,（2）无穷间断点x=c位于区间(a,b)内:,若瑕点,的计算表达式:,则也有类似牛 莱公式的,若 b 为瑕点,则,若 a 为瑕点,则,若 a,b 都为瑕点,则,则,当上式右边
10、两个广义积分都收敛,称广义积分收敛.,例34 求,所以广义积分发散.,例35 讨论 的敛散性.,内容小结:,1.定积分的概念与性质,2.微积分基本公式,8个性质,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,3,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,13,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,23,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,33,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,43,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,5
11、3,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,63,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,73,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,83,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,93,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,103,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,113,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,123,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,133,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,143,
