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1、第三章 效用函数,广西大学数学与信息科学学院运筹管理系,3.1理性行为公理,问题:某公司拟推出一种新产品,经预测该产品在市场看好的情况下,可以获利10万;在市场前景较差时,将亏损1万元。市场看好和较差的概率分别为0.6和0.4,是否推出该新产品?若另有一产品可稳获利2万元,推出哪种产品更好?这是一个随机决策问题。,3.1理性行为公理,在随机决策中,决策系统(,A,F)中的决策方案均是在状态空间背景中加以比较,并按照某种规则,选出决策者最满意的行动方案。在本章中,我们用事态体表示在随机性状态空间中的行动方案,方案的比较表示为事态体的比较,并引入效用的概念,用以衡量事态体(行动方案)的优劣。,3.
2、1理性行为公理,事态体及其关系 1事态体的概念 定义3.1 具有两种或两种以上有限个可能结果的方案(或事情),称为事态体。事态体中各可能结果出现的概率是已知的。事态体即随机性状态空间中的行动方案。,1事态体的概念,设某事态体的n个可能结果为:o1,o2,on各结果出现的概率是相应为:p1,p2,pn 则该事态体记为:T(p1,o1;p2,o2;pn,on)特别当n 2时,称 T为简单事态体,此时 T(p,o1;1p,o2),1事态体的概念,事态体可以用树形图表示如下:,当n 2时:,p,事态体集合的性质,在凸线性组合下,是闭集。即:若T1,T2,则当01时,有 T1(1)T2两个事态体的凸线性
3、组合仍是一个事态体。T(0,o1;0,o2;1,oj;0,on)称T为退化事态体。退化事态体仍属于事态体集合。,2事态体的比较,定义3.2设o1,o2是事态体T的任意两个结果值,根据决策目标和决策者偏好,o1和o2有如下关系:若偏好结果值o1,则称o1优于o2,记作o1o2;反之,称o1劣于o2,记作o1 o2。若对结果值o1,o2无所偏好,则称o1无差异于o2,记作o1 o2。若不偏好结果值o1,则称o1不优于o2,记作 o1o2;反之,称o1不劣于o2,记作o1 o2。,2事态体的比较,定义 3.3 设两个简单事态体 T1,T2具有相同的结果值 o1,o2,即:T1(p1,o1;1p1,o
4、2)T2(p2,o1;1p2,o2)并假定o1o2,则:若p1p2,称事态体T1无差异于T2,记作T1T2。若p1p2,称事态体T1优于T2,记作T1T2;反之,称事态体T1劣于T2,记作T1 T2。,2事态体的比较,定义 3.4 设两个简单事态体 T1,T2仅具有一个相同结果值,另一个结果值不相同,即:T1(p1,o1;1p1,o0)T2(p2,o2;1p2,o0)且o2 o1 o0,若p1p2,则事态体T2优于T1,记作T2T1。若T1T2,则必有p1p2。,3.1理性行为公理,理性行为公理 公理3.l(连通性,可比性)事态体集合上事态体的优劣关系是连通的。即若T1,T2则或者T1T2,或
5、者T2T1,或者T1T2,三者必居其一。表示任意两个事态体都是可以比较其优劣的!,3.1理性行为公理,理性行为公理 公理3.2(传递性)事态体集合上事态体的优劣关系是传递的。即若T1、T2、T3,且T1T2,T2T3,则必有T1T3。表示任意多个事态体的优劣是可以排序的(若有些事态体无差异,可排在同一位置。)满足公理3.1和公理3.2的事态体集合称为全序集。,3.1理性行为公理,理性行为公理 公理3.3(复合保序性,替代性)若T1,T2,Q,且0p1,则T1T2 当且仅当 pT1(1p)Q pT2(1p)Q。表示任意事态体的优劣关系是可以复合的,复合后的事态体保持原有的优劣关系不变。,3.1理
6、性行为公理,理性行为公理 公理3.4(相对有序性,连续性,偏好的有界性)若T1,T2,T3,且T1T2 T3 则存在数 p,q,0pl,0q1,使得:pT1(1p)T3 T2 qT1(1q)T3 表示任意事态体都不是无限优,也不是无限劣。,3.1理性行为公理,事态体的基本性质 性质3.1设事态体 T1(p,o1;1p,o0)T2(x,o2;1x,o0)且 o1o0,o2o0,若o2o1 则存在x=pp使得 T1T2 称x为可调概率值。,3.1理性行为公理,事态体的基本性质 性质3.2(确定当量和无差异概率)设事态体T(x,o1;1x,o2)且o1o2。则对于满足优劣关系o1o o2的任意结果值
7、o,必存在xp(0pl),使得T(p,o1;1p,o2)o称结果值o为事态体T的确定当量,称p为o关于o1与o2的无差异概率。,事态体的基本性质,性质3.3任一事态体无差异于一个简单事态体。设有事态体T(p1,o1;p2,o2;pn,on)则必存在一个简单事态体T(p,o*;1p,o0)T其中:o*maxo1,o2,on o0 mino1,o2,on 且:,这里,qj(j=1,2,n)为oj关于o*与o0的无差异概率。,事态体的基本性质,根据性质3.3比较一般事态体之间的优劣关系,可以转化为比较简单事态体之间的优劣关系(将问题简化)得到事态体之间两两的优劣或无差异关系后,再根据公理3.2(传递
8、性)即可得到所讨论事态体的排序。,3.2 效用函数的定义和构造,设有决策系统(,A,F),在离散情况下,结果值可以表示为决策矩阵:,3.2 效用函数的定义和构造,矩阵O的第i行表示第i个可行方案的n个可能结果值,即事态体Ti(p1,oi1;p2,oi2;pn,oin)(i=1,2,m)决策就是要对这 m个事态体进行排序。由第一节中的性质3.3知,存在简单事态体T,使得Ti(pi,o*;1pi,o0)Ti问题又化为对这m个简单事态体Ti进行排序。,3.2 效用函数的定义和构造,Ti(pi,o*;1pi,o0)Ti注意到这m个简单事态体Ti具有相同的结果值o*、o0,根据定义3.3,其优劣关系可以
9、由比较pi的大小决定。根据性质3.3,qjj是结果值oij关于o*与o0的无差异概率。其中:,问题:如何测定无差异概率?,o*,o0,3.2 效用函数的定义和构造,3.2.1 效用和效用函数的概念效用的概念定义3.5设决策问题的各可行方案有多种可能的结果值o,依据决策者的主观愿望和价值倾向,每个结果值对决策者均有不同的价值和作用。反映结果值o对决策者的价值和作用大小的量值称为效用。,3.2 效用函数的定义和构造,3.2.1 效用和效用函数的概念效用函数的概念定义3.6若在事态体集合上存在实值函数u,有:(1)对任意的T1、T2,T1T2 当且仅当u(T1)u(T2)(2)对任意的T1、T2,且
10、01,有uT1(1)T2=u(T1)(1)u(T2)则称u(T)为定义在上的效用函数。,3.2.1 效用和效用函数的概念,估计效用函数的方法(1)标准效用测定法(概率当量法,VM法)思路:对于给定的结果值,测定其效用值。设有决策系统(,A,F),其结果值集合为:O(o1,o2,on)记:o*maxo1,o2,on o0 mino1,o2,on 对于每一个结果值oj都存在一个概率值pj,使得oj(pj,o*;1pj,o0)pj就可以作为结果值oj的效用值。,3.2.1 效用和效用函数的概念,(1)标准效用测定法(概率当量法,VM法)步骤设 u(o*)=1,u(o0)=0;建立简单事态体(x,o*
11、;1-x,o0),其中x称为可调概率;通过反复提问,不断改变可调概率值x,让决策者权衡比较,直至当x=pj时 oj(pj,o*;1pj,o0)测得结果值oj的效用 u(oj)=pj=pj u(o*)(1pj)u(o0),3.2.1 效用和效用函数的概念,估计效用函数的方法(2)确定当量法(修正的VM法)思路:对于给定的效用值,测定其结果值。步骤设 u(o*)=1,u(o0)=0;对于给定的效用值pj,构造简单事态体(pj,o*;1pj,o0)通过反复提问,不断改变结果值o,让决策者权衡比较,直至当o=oj时 oj(pj,o*;1pj,o0)得效用值pj对应的结果值为oj,即u(oj)=pj。,
12、3.2.2 效用函数的构造,介绍一种实用的效用函数的构造方法。基本思路对于决策问题的结果值集合,先用确定当量法找出一个基准效用值,即效用值等于0.5的结果值,称为确定当量o。其余效用值不再测定,而是按比例用线性内插的方法,用同一个标准计算得到。,3.2.2 效用函数的构造,方法设决策问题结果值集合为:O(o1,o2,on)取o*maxo1,o2,on o0 mino1,o2,on 并令 u(o*)=1,u(o0)=0;构造简单事态体(0.5,o*;0.5,o0),用确定当量法找到该事态体的确定当量o,使得:o(0.5,o*;0.5,o0),3.2.2 效用函数的构造,方法 对结果值进行归一化处
13、理,记归一化的结果值为x(oj),则:x*=x(o*)=1,x0=x(o0)=0,0 x(oj)1,记确定当量o的归一化值为,也记为x0.5,得到经归一化变换后的效用曲线上的三个点:,(0,0),(,0.5),(1,1),u,x,0,1,1,0.5,3.2.2 效用函数的构造,方法 在新区间0,和,1按同样方法插入点(x0.25,0.25)和(x0.75,0.75),保持比例关系,计算得:,效用曲线上新增两个点:,(2,0.25),(22,0.75),u,x,0,1,1,0.5,0.25,2,0.75,22,若认为点数太少,效用曲线不够精确,可继续按同样方法在新产生的区间内插入效用中点,直到产
14、生足够的点为止。若在效用区间0,1中插入2n个分点:,记相应的归一化的结果值为k,有:,3.2.3 效用与风险的关系,在风险型或不确定型决策问题中,决策者选择方案几乎都要承担一定的风险,不同的决策者对风险的态度是有区别的。效用表示了决策者对决策方案各结果值的偏好程度,也反映了不同类型的决策者对风险的不同态度。因此从不同类型的效用函数可以看出决策者对风险的不同态度。,3.2.3 效用与风险的关系,中立型效用函数设有效用函数u=u(x),若对xlx2,有,则称该效用函数为中立型。,其效用曲线是一条直线。,中立型效用函数的效用值和结果值成正比例,因此可以用结果值直接评选方案。,3.2.3 效用与风险
15、的关系,保守型效用函数设有效用函数u=u(x),若对xlx2,有,则称该效用函数为保守型。,其效用曲线是一条上凸曲线,表示效用值随结果值的增加而增加,但增加的速度逐渐由快至慢。反映了决策者随结果值增加越来越谨慎,对风险持厌恶态度。,3.2.3 效用与风险的关系,冒进型效用函数设有效用函数u=u(x),若对xlx2,有,则称该效用函数为冒进型。,其效用曲线是一条下凸曲线,表示效用值随结果值的增加而增加,且增加的速度越来越快。反映了决策者随结果值增加越来越敢于冒险追求高额回报的态度。,3.2.3 效用与风险的关系,中立型效用函数,保守型效用函数,冒进型效用函数,3.2.3 效用与风险的关系,混合型
16、效用函数三种基本效用函数的混合,如:,混合型效用函数,表示当xx0时,即结果值不大时,决策者具有一定冒险精神;当xx0时,即结果值较大时,决策者对风险转而持谨慎态度。,x0,3.3 效用函数表,一、效用函数表的构造实际构造效用函数时,取n=6定出效用曲线上的26(64)个点,效用函数的精度已经足够。书后附表6给出了n=6对于不同的权衡指标值(0.5时,对应的是冒进(下凸)型效用函数,效用函数值无法直接查表。,3.3 效用函数表,一、效用函数表的构造可以证明:0.5的效用曲线u(x)与=1的效用曲线u(x)是关于直线u=x对称的。因此,0.5的效用函数值可以按下面的方法求得:u(x)1 u(1x
17、)具体步骤见教材P62。注:查表时在给定的列若没有对应的x值,则找出与之相邻的两个值x1、x2,查出对应的效用值后用线性内插的方法确定u(x)。,3.3 效用函数表,二、效用函数表的使用例3.1某企业欲投产一种新产品,有三种方案可供选择。已知市场存在三种状态:畅销、一般、滞销,三种方案在不同的市场状态下所获利润额构成以下的决策矩阵:,决策者认为:o4.5(0.5,20;0.5,5),例3.1试求该企业决策者的效用矩阵。,解:o*maxoij20,o0 minoij5u(o*)=1,u(o0)=0将决策矩阵的结果值归一化:,得归一化后的决策矩阵为:,例3.1试求该企业决策者的效用矩阵。,由 o4
18、.5(0.5,20;0.5,5)得:,查P369附表6,0.38 所在列,以x220.5为例:0.490621 x220.5 0.503698而u(0.490621)0.65625,u(0.503698)0.671875用线性内插法:,解得u(x22)0.6675。,例3.1试求该企业决策者的效用矩阵。,同理得:u(x11)0.7300,u(x12)0.6091,u(x13)0.4306,u(x31)0.8742u(x32)0.5596,u(x33)0.2068且u(x21)u(o*)=1,u(x23)u(o0)=0,得决策者的效用矩阵为:,例3.2在上例中,若决策者认为:o11.25(0.5
19、,20;0.5,5)试求该企业决策者的效用矩阵。,解:同上例方法得归一化后的决策矩阵为:,例3.2,由 o11.25(0.5,20;0.5,5)得:,查P369附表6,1-0.65=0.35 所在列,以x320.44为例,u(x32)1u(1x32)1 u(0.56):0.53689 0.56 0.5775而u(0.53689)0.734375,u(0.5775)0.75用线性内插法解得u(0.56)0.7433,因此:u(x32)1 u(0.56)0.2567,例3.2,同理得:u(x11)0.3819,u(x12)0.2598,u(x13)0.1271,u(x22)0.2920u(x31)
20、0.5725,u(x33)0.0251且u(x21)u(o*)=1,u(x23)u(o0)=0,得决策者的效用矩阵为:,3.4 效用函数的曲线拟合,前面讨论了针对特定的结果值,如何测定其效用,我们得到的只是一些离散的效用值,要得到连续的效用函数,则需要用曲线拟合的方法。常见的拟合曲线形式线性函数型 u(x)c1a1(xc2)其中c1、a1、c2为待定参数。前面查表时用内插法确定某些效用值,实际上就相当于效用函数为分段线性函数。,3.4 效用函数的曲线拟合,常见的拟合曲线形式指数函数型,其中ci、ai(i1,2,3)均为待定参数。,双指数函数型,指数加线性函数型,3.4 效用函数的曲线拟合,常见
21、的拟合曲线形式幂函数型,其中c1、a1、c2 为待定参数。不论采用哪种形式的函数,一般都尽可能化为线性函数通过最小二乘法确定待定参数。,对数函数型,3.4 效用函数的曲线拟合,幂函数型效用曲线的拟合幂函数的一般形式yta(0a1)当0a1时,幂函数曲线是上凸的。在区间(0,)上,曲线的曲率是变化的,因此为了取得最佳的曲线拟合效果,一般取幂函数曲线的某一段(待定),作为效用函数的近似曲线。为此,作坐标平移变换:参见教材P66图3.6,幂函数型效用曲线的拟合,幂函数型的效用函数坐标变换后得:Y-ca(Tc)a(0a1)令:,且Tx,则:,其中b、c为待定常数,这就是幂函数型的效用函数表达式。当a取
22、特定值时,可设法用线性回归的方法定出b,c。,幂函数型效用曲线的拟合,线性回归确定参数以a=0.5为例,得到一个待定的线性函数ZABu(x)若已知若干组(xi,ui)可由最小二乘法定出A、B,进而得出拟合的效用函数(过程略)。,移项后两边平方,整理得,Z,A,B,3.4 效用函数的曲线拟合,对数函数型效用曲线的拟合对数函数的一般形式ylnt(0t+)对数函数曲线是上凸的。在区间(0,+)上,曲线的曲率是变化的,因此为了取得最佳的曲线拟合效果,一般取对数函数曲线的某一段(待定),作为效用函数的近似曲线。为此,作坐标平移变换:参见教材P68图3.7,对数函数型效用曲线的拟合,对数函数型的效用函数坐标变换后得:Y-lncln(Tc)令:,且Tx,则:,其中a、b、c为待定常数,这就是对数函数型的效用函数表达式。其中c的值可由u(1)和u()确定,然后用线性回归的方法定出a,b。,X,对数函数型效用曲线的拟合,参数的确定由u(1)1和u()0.5得:,即:,两式相除:,