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1、第四章 结构位移计算,4.1 概述,一 结构的位移,在荷载、温度改变、支座移动等外因作用下，结构上各点各截面发生移动、转动，这些移动和转动统称为结构位移,以上位移统称位移，为广义位移,二 位移计算的目的,1 验算结构的刚度 结构变形不得超过容许值,2 结构设计、制作、养护过程中，常需预先知道结构变形后 的位置，以便采取相应的施工措施,3 位移计算是超静定结构计算的基础 超静定结构计算要同时满足平衡条件和变形连续条件,三 位移计算中的基本假定,材料处于弹性阶段，应力与应变之间成正比（物理线性）,结构变形微小，不影响力的作用（几何线性）可用结构原尺寸计算力的作用与位移,体系所有约束为理想约束，即位
2、移过程中体系约束力不 作功,即本章讨论的是线性变形体系的位移计算问题，体系位移与荷载呈线性关系，位移计算可以应用叠加原理,4.2 刚体体系虚功原理及应用,一 实功与虚功,1 实功,在常力FP作用下，物体沿力的方向发生位移，则常力FP 在位移过程中作的功为:,W=FP,力偶M在物体转动过程中作的功为:,W=M,广义力P：作功的可以是一个集中力、一个力偶、一组集中力、一组集中力偶，统称为广义力P,广义力P由于相应广义位移作功：,W=P,力在其本身引起位移中作的功(real work),力在其它因素引起位移上作的功叫虚功,称虚功是为了强调作功的力与产生位移的原因无关这一 特点,实功恒为正值，虚功可为
3、正也可为负值,虚功中的力、位移两个要素互不相关，它们分别属于同 一体系的两种独立无关的状态,W12=P,力状态,位移状态,二 刚体体系的虚功原理,任意平衡力系作用下的刚体体系，设体系发生任一符合约束条件的无限小的刚体位移，则体系上所有外力在位移上作的虚功总和恒等于零,W12=,1 虚设位移状态，求未知力,应用于实际力状态与虚设位移状态间的虚功原理，称虚位移原理,力状态,位移状态,FX1-FP b/a=,FX=b/aFP,虚设力状态，求未知位移,位移状态,力状态,应用于实际位移状态与虚设力状态间的虚功原理，称虚力原理,二 支座移动时静定结构的位移计算,1 单位荷载法,用虚设单位荷载求结构位移的方
4、法单位荷载应与拟求位移对应,1-b/a C=,=b/aC,计算步骤,位移状态,力状态,虚力状态外力由于实际位移所作虚功，按刚体体系虚功原理,在点沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出单位 荷载作用下的支座反力,式中为支座反力在相应支座位移 上所作虚功，当两者方向一致时为正,例4-1 图示刚架支座发生图示位移，求点位移,解 一 求CX,1 取虚力状态如图，求支座反力,求CX,二 求Cy,2 求Cy,三 求C,4.3 变形体系虚功原理,一 变形体虚功原理,任意平衡力系作用下的变形体系，给其以几何可能的变形和位移，则体系上外力所作虚功恒等于体系内力虚功,W12=Wi12,外力虚功,内力虚功,ds微段
5、 dwi12=FN ds+FQ 0ds+M ds,整根杆 wi12=(FN ds+FQ 0ds+M ds),变形体系 wi12=(FN ds+FQ 0ds+M ds),该式即为结构位移计算的一般公式,二 位移计算的一般公式,在点沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出单位荷 载作用下的支座反力 及结构内力、,虚力状态外力由于实际位移所作虚功，按变形体虚功原理,1 适用范围：静定结构和超静定结构；弹性体系和非弹性体系；各种因素产生的位移计算,2 单位荷载,求某点线位移,求某截面角位移,若求结构上某截面角位移在截面处加一单位力偶,求结构上两点水平(竖向或连线方向)相对线位移,求结构上两点水平(竖向或
6、连线方向)相对线位移，在两点沿水平(竖向或连线方向)加上两个方向相反的单位力,若求结构两个截面的相对角位移在两个截面上加两个方向相反单位力偶,若求桁架中AB杆的角位移，应加一单位力偶，构成这一力偶的两个集中力取 1/d，垂直作用于杆端,求结构两个截面的相对角位移,求AB杆的角位移,式中 虚设单位荷载引起的内力,4.荷载作用下的位移计算,一 计算公式,荷载作用下，微段变形由内力引起，当材料处于弹性工作阶段，其拉伸、剪切应变和弯曲曲率：,式中k考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数，与截面形状有关,实际荷载引起的内力,一 计算公式,梁、刚架,桁架,组合结构,拱,拱轴线与合理轴线较接近或扁平拱计算水平
7、位移时，考虑轴向变形对位移的影响,荷载作用下，结构弹性位移计算公式,例4-2 求图示悬臂梁A端的竖向位移，矩形截面梁,解 一 取虚力状态如图,二 求单位荷载及实际荷载作用下的内力,三 求A端的竖向位移,剪切变形对深梁位移的影响不容忽视，但对一般梁可以忽略不计,当 时,当 时,解 一 取虚力状态如图,二 求,FP,FP,1/2,1/2,-1,三 求结点C 竖向位移,例4-5 计算图示桁架结点C 竖向位移，设各杆EA相同,一 图乘法应用条件与计算公式,梁和刚架在荷载作用下的位移计算式,（1）杆轴为直线；（2）各段EI常数；（3）两个弯矩图中至少有一个是直线图形则可用下述图乘法来代替积分运算，从而简
8、化计算工作,4.图乘法 Graphic Multiplication Method,当结构的各杆段符合下列条件时：,以杆轴为 x 轴，以直线弯矩图的延长线与 x 轴交点O为坐标原点,式中 为微面积对 y轴的面积矩,即为整个 图的面积对 y 轴的面积矩,EI常数,为常数,根据合力矩定理，它应等于 图的面积 乘以其形心c到y轴的距离，即,以杆轴为 x 轴，以直线弯矩图的延长线与 x 轴交点O为坐标原点,EI常数,为常数,由此可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积 乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距，再除以EI。这就是图形相乘法的计算位移的方法，简称为图乘法,根据上面的推证过程，可知在使用图
9、乘法时应注意下列各点：,（2）纵距 只能取自直线图形,（3）与 若在杆件的同侧则乘积取正号，否则取负号,（1）必须符合上述三个条件,常用的几种图形的面积和形心,二次抛物线,A,A,二次抛物线,A,例4-6 用图乘法求例4-2悬臂梁A端的竖向位移,解 一 取虚力状态如图,二 作单位弯矩图及荷载弯矩图,三 求A端的竖向位移,y2,y1,二 图乘分段和叠加,当各杆段的截面不相等时，应分段图乘再进行叠加,当y所属图形不是一段直线而是若干段直线组成时，应分段图乘，再进行叠加,y1,y2,y3,1 图乘分段,例4-7 用图乘法求图示简支梁C点竖向位移,解 一 取虚力状态如图,二 作单位弯矩图及荷载弯矩图,
10、三 求C点竖向位移,竖标不是取自直线弯矩图形,y1,复杂的图形分解成几个简单的图形，然后将分解得简单图形分别与另一图形相乘再叠加,c,d,y2,c,d,y1,y2,2 图乘叠加,均布荷载作用下的任何直杆段AB，其弯矩图均可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加,y0,y0,例4-8 用图乘法求图示梁C点竖向位移,解 一 取虚力状态如图,二 作单位弯矩图及荷载弯矩图,三 求C点竖向位移,例4-9 用图乘法求图示刚架C点竖向位移,解 一 取虚力状态如图,二 作单位弯矩图及荷载弯矩图,三 求C点竖向位移,假定温度沿截面高度按直线规律变化,由于温度变化，微段ds变形为：,按变形体虚功原理,4.6 温度
11、变化时静定结构位移计算,一 计算公式,4.6 温度变化时静定结构位移计算,一 计算公式,一般情况下,各杆均为等截面，t、t0、h沿每一杆为常量,式中 t0杆轴线温度变化值,t杆上下边缘温度变化差值,单位力与温度变化引起的杆件变形方向相同时 取正号,例4-10 图示刚架内侧温度升高100C，求C端竖向位移（各杆截面为矩形，截面高度为h=600mm，=0.00001）,解 一 取虚力状态如图,二 作、图,三 求cy,4.7 线性变形体系的互等定理,一 功的互等定理,在线性变形体系中，第一种状态的外力在第二种状态的位移上所作虚功，等于第二种状态的外力在第一种状态的位移上所作虚功,二 位移互等定理,在线性变形体系中，由第二个单位力引起的第一个单位力作用点沿其作用方向上的相应位移，等于由第一个单位力引起的第二个单位力作用点沿其作用方向上的相应位移,1 这里荷载是广义荷载，位移是相应的广义位移2 12与21不仅数值相等，量纲也相同,在线性变形体系中，支座2由于支座1发生单位位移C1=1所引起的反力，等于支座1由于支座2沿r21方向发生单位位移C2=1所引起的反力,三 反力互等定理,四 反力位移互等定理,在线性变形体系中，由单位力FP1=1引起的支座2的反力r21等于支座2沿r21方向发生相应单位位移C2=1时单位力FP1=1作用点沿其作用方向上的位移，但符号相反,
