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1、第五章 静定平面桁架,一、桁架及其组成,桁架全部由仅在两端与铰结点相连的直杆件连接而成的结构，广泛应用于建筑工程和机械工程。,静定平面桁架,输 电,桥梁,建 筑,通讯,静定平面桁架,静定平面桁架,1 桁架,木桁架,钢桁架,钢筋混凝土桁架,静定平面桁架,北京体育馆主体桁架的一片,25.5m,56m,假设1：各杆件都用光滑铰链相连接,桁架模型简化的基本假设,静定平面桁架,1桁架的计算简图,假设2：各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心,静定平面桁架,假设3：所有外力（荷载及支座约束力）都作用在节点上,静定平面桁架,静定平面桁架,各结点是光滑无摩擦的铰结点各杆轴均为直线，且通过铰的几何中心荷载作用在结点
2、上,1桁架的计算简图,桁架各杆之间的连接一般由螺栓或焊接（具体在钢结构中学习），为简化计算，通常作如下假设：,2桁架的组成及分类,这样的桁架称为理想桁架。桁架中每根杆仅在两端铰接，这样的杆称为链杆或二力杆。,静定平面桁架,简单桁架。,桁架分类,由铰结三角形出发，依此增加二元体，最后与基础连接。,2、联合桁架由简单桁架按几何不变体系组成法则所组成的桁架。,静定平面桁架,3、复杂桁架-不属于以上两类桁架之外的其它桁架。其几何 不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加以分析，需用零荷载法等予以判别。,静定平面桁架,1应用条件,二、桁架内力的数解法,（一）结点法,（1）连接两根不共线杆的结点，若该结点
3、上无荷载作用，则此两杆的轴力为零。（二元体上无结点荷载，该两杆不受力）,2特殊杆件,（1）一般应用于简单桁架，且按与简单桁架增加二元体的反向截取结点，可保证每个结点仅有两个未知力。（结点有两个自由度，仅能建立两个平衡方程）（2）原则上，只要截取的结点有不多于两个未知力，均可用结点法。,静定平面桁架,（2）连接三根杆的结点上无荷载，且其中两根杆共线，则另一杆必为零轴力杆,（3）X形连接杆件的受力特点。,（4）K形连接杆件的受力特点。,S1 S2=-S1,S1 S3=S4 S2=S1 S4,静定平面桁架,3相似定理,4计算例题,静定平面桁架,例题1,2）取结点8为研究对象，画出受力图,X=0，N8
4、7+40=0，得：N87=-40 kN（得负值表示受压）,解：1）先找零离力杆。,N67=0，N63=0，N85=0,未知轴力N87以受拉方向画出。,6 7 8 40 kN 3 4 5 40 kN,3m,3m,4m,4m,1 2,静定平面桁架,3）再取结点7为研究对象，画出受力图。,由于sin=0.6，cos=0.8，由（1），（2）两式得：N73=-25 kN（受压），N75=25 kN（受拉）,未知轴力N73，N75以受拉方向画出，已知轴力N87以实际方向画出。,静定平面桁架,4）再取结点3为研究对象，画出受力图。未知轴力N73，N75以受拉方向画出，,已知轴力N37以实际方向画出。,以后
5、截取结点的顺序依次为：5，4，1。可保证每个结点不多于两个未 知力，顺利求出每根杆的轴力。,由于sin=0.6，cos=0.8，由（1），（2）两式得：N34=32 kN（受拉），N31=-24 kN（受压）,静定平面桁架,例题2,找出所有零杆,P,例题3 找出图示结构的零杆。,P 3 4 5 1 2,静定平面桁架,解：图中没有明显的零杆。,由X=0，可知，12杆必为压力，N120,P 3 4 5 1 2,（I）设14杆为拉力，N14 0，取结点1为研究对象，作受力分析，取如图示坐标系。,考虑到14杆和24杆在结点4处构成K形连接，且无荷载作用，则 N14=-N24，即一杆受拉，另一杆受压。,
6、静定平面桁架,再取结点2为研究对象，作受力分析，取如图示坐标系。,综上（I）、（II）所述，14杆只能是零杆。,由X=0，可知，24杆必为拉力，N240,（II）设14杆为压力，N14 0，同理得：N240，为受压杆，这也与K形杆的受力矛盾。,这与K形杆的受力矛盾。,P 3 4 5 1 2,静定平面桁架,原结构去掉零杆后变为下图：,通过此题的过程，我们要学会巧取坐标系，掌握受力图的画法。,静定平面桁架,（二）截面法（截取两个以上结点作为研究对象）,1截面法的应用条件：,2截面单杆的概念,截面所截断的各杆中，未知力的个数不超过3个,（1）截面截得的各杆中，除某一根杆外，其余各杆都交于同一点。则此
7、杆为截面单杆。如图中的a、b、c杆,静定平面桁架,（2）截面截得的各杆中，除某一根杆外，其余各杆都彼此平行（或认为交于无穷远）。则此杆为截面单杆。如图中的a,取Y=0，先求Na y，再由相似定理求Na,Y a X,3计算例题,静定平面桁架,例题1 求指定杆1，2，3的轴力,P 1 2 3,d,4d,解：,作II截面，取右半为研究对象,得：N1=P（拉力）,MA=0，,静定平面桁架,Y=0，N2=-P（压力）,MB=0，,得：N3=-P（压力）,A,II,II,1,2,3,作IIII截面，取右半为研究对象，,静定平面桁架,例题2 求Nb,b,3d,3d,A B P P,解：直接结点法不能求解。必
8、须用截面法，这就需要找截面单杆。,为此，作截面II，取内部为研究对象。如图，Nb为截面单杆。,静定平面桁架,MA=0，Nb的力臂不易求出。,得：,（压力）,MA=0，,Nbx Nby Nb,B,为此，把Nb沿其作用线延长至B点，然后分解，先求Nb y,静定平面桁架,例题3,解：直接结点法不能求解。必须用截面法，这就需要找截面单杆,I,I,Y=0，易得：N1=0，,为此，作截面II，取右半部为研究对象。如图，N1为截面单杆。,从而，N2=0，,Na=0，,N3=0,A,B,求支反力,静定平面桁架,为求Nb，取结点B为研究对象，,（拉力）,X=0，,B,A,静定平面桁架,（三）结点法和截面法的联合
9、应用,2技巧（1）结点法和截面法的联合应用，不分先后，简单、快捷求出内力为前提。（2）巧取隔离体，即巧作截面，避免求解联立方程。（3）尽力避免求未知力臂，可把所求力沿其作用线延长至恰当位置后分解，先求分力，再用相似定理求该力。（4）结点法求解时，选恰当的坐标系，尽力避免求联立方程。（5）有零杆的结构，先去掉零杆。,在例题3中，先用截面法求出部分杆的轴力后，再用结点法求出b杆的轴力。在一道题中，结点法和截面法都得到了应用。求解桁架，不必拘泥与那种方法，只要能快速求出杆件的轴力，就是行之有效的。,1基本理论 隔离体（研究对象），平衡力系,2、弦杆,M2=0 N16+（2PP/2）4=0 N1=P,
10、M5=0 N46（2PP/2）4=0 N4=P,N1=P,N4=P,P/2,P/2,P,P,P,4m,4m,4m,4m,3m,3m,1,2,6,5,4,1,2,3,4,5,6,3、斜杆结点6为K型结点。N6=N5再由Y=0 得：Y5Y6+2PP P/2=0 Y6=P/4 N6=N5=5P/12,4、竖杆取结点7为分离体。,7,由Y=0 得：Y5+Y3+P+N2=0N2=P/2,求指定杆的轴力。,解:1、先求出反力。,由于对称：N3=N5,（四）对称性的利用对称结构在反对称荷载作用下，对称的杆件的轴力必等值反号对称结构在正对称荷载作用下，对称的杆件的轴力必等值同号,E 点无荷载,红色杆不受力,红
11、色的杆不受力,静定平面桁架,例题 求指定杆的轴力,1 F 2 d A 3 B H P 2P P d,2d 4d 2d,解：1）支反力,VA=VB=2P，HA=0,2）由对称性，结点E的两根斜杆轴力相同。取结点E为研究对象,Y=0，2N1 y=2P，得：N1 y=P，,N1 x=P,用相似定理得：,静定平面桁架,3）作II截面，取右半为研究对象,F 1 2 3 B C D,ME=0，得：NCD=7P（拉力）,X=0，N1 x+N3+NCD=0，得：N3=-8P（压力）,H,静定平面桁架,4）作IIII截面，取右半为研究对象，把N2在B点分解,MF=0，得：N2 y2d+2P2d=NCDd，得：N
12、2 y=3P/2,II II,2,静定平面桁架,三、组合结构的计算,1组合结构的特点及计算过程,由链杆及梁式杆构成,先计算链杆的轴力，后计算梁式杆的内力,截面法时，避免截断梁式杆（受弯杆）,静定平面桁架,静定平面桁架,例题1,A B,2m,10KN/m,2m,2m,2m,2m,G,C,F,D,E,解:(1)求支座反力,YA=YB=40KN,2计算例题,求链杆的轴力和受弯杆件的弯矩图,(2)求桁架杆内力,A B,YA,2m,10KN/m,2m,2m,2m,2m,G,F,E,YB,D,C,YA=YB=40KN,Y=0 YC+10440=0 YC=0,取截面左：,NDE2+1042404=0 NDE
13、=40 kN,MC=0,X=0 XC+NDE=0 XC=40 kN,结点：,A B,YA,2m,10KN/m,2m,2m,2m,2m,G,F,E,YB,D,C,Y=0 NDG+NADy=0 NDG=40kN,X=0 NADx=40kN,NAD=(40/2)22=402kNNADy=(40/2)2=40 kN,求梁式杆弯矩:,A B,VA,2m,10KN/m,2m,2m,2m,2m,G,F,E,VB,D,C,NDG=40kN,NAD=402kN,NDE=40kN,静定平面桁架,A B,G,F,C,40KN,402kN,-40KN,20KNm,20KNm,A B,2m,10KN/m,2m,2m,2
14、m,2m,G,C,F,D,E,静定平面桁架,例题2 5kN/m 10 kN,G,2m 2m 2m 2m 2m 2m,2m D E A B 2m C,MB=0，,解：1）支座反力,Y=0，得：YB=22.5 kN（向上）,得：YA=27.5 kN（向上）,2）取结点A、B、C为研究对象，,NBE VBNBC B,G,D E A B C,VA NAD A NAC,3）取结点D为研究对象，,X=0，得：VDG=-25 kN,同样，取结点E为研究对象，得：VEH=25 kN,90 90 40 40,50 50,5kN/m 10 kN,G,2m 2m 2m 2m 2m 2m,2m D E A B 2m
15、C,-38.9-3.5 3.5-31.8 27.5 22.5,静定平面桁架,例题3,A a,E a B,2a a a 2a,MD=0，得：,q C D,解：1）取整体为研究对象，,静定平面桁架,2）作II截面，取左半为研究对象，,MC=0，得：,，即,-（2）,C D F E B,静定平面桁架,3）取结点B为研究对象，,X=0，知，N1=N2 Y=0，得：YB+2N1 y=0，,-（3）,取整体为研究对象，Y=0，得：YD=,（向下）,C D F E B,由（1）、（2）、（3）式得：,即，,静定平面桁架,4）由结点E的平衡，,C D F E B,2qa2 3 qa2,-4.5qa,MF=2q
16、a2（上侧受拉）,静定平面桁架,四、约束代替法,图1 所示结构，支座反力有4个，难以求解。几何构造分析也不易用刚片法则判断。,P1 P2 B C A 图1,2约束代替法的思路,1约束代替法所解决的问题 复杂结构，几何构造分析不易用刚片法则判断，从而没有清楚的求解途径。,静定平面桁架,P1 P2 B C A 图1,1）去掉约束以约束力代替，再补充链杆使结构仍是静定的。,2）按叠加法，图2所示结构内力可如下两种情况（图3、图4）的叠加,把支座A处的约束反力用力X代替，假定把B、C结点补充链杆。如图2 则，图2结构就是简单桁架，看作P1、P2、X三个荷载作用，易于求解。,X,静定平面桁架,P1 P2
17、,图4,B C图3,3）为了使叠加的结果与原结构受力相同，只需保证叠加后，链杆BC的轴力为零。,X,静定平面桁架,3计算例题,E F G P H,3 d,例题1,C,A B D 3 d,解：1）拆除支座A的约束，以约束力X代替,2）增添BF杆。则体系变为易于判断的几何不变体系，如下图。,静定平面桁架,3）计算体系仅在X及仅在P作用下的结构内力,B X F,易用结点法算得：,B F P,5）已知支座A的反力，就可计算其它支座的反力，从而可计算结构各杆的内力。,易用结点法算得：,静定平面桁架,例题2,q A C F a E G a B 2a a a 2a,解：1）拆除支座B的约束，以约束力X代替,
18、2）增添EG杆。则体系变为易于判断的几何不变体系，如图。,静定平面桁架,3）计算体系仅在X及仅在q作用下的结构内力,q,A F E G X,，,A E G,B,C,2a a a 2a,a,a,静定平面桁架,3）取结点B为研究对象，,由X=0，知，N1=N2 由Y=0，得：VB+2N1 y=0，,4）由结点E的平衡，,q A C a a B 2a a a 2a,E,F,G,H,静定平面桁架,2qa2 3 qa2,-4.5qa,静定平面桁架,题553：代替法的做法。,P,P X1 X2,静定平面桁架,例题2 求指定杆的轴力，N1，N2，N3,P 2 P,1 3,6d,d,d,解：1）求支座反力，,
19、MO=0，得：,即,取整体为研究对象，,O,C,D,E,F,MO1=0，得：,O1,由对称性得：HF=HC=P,P B 2 P,1 3,6d,d,d,2）作图示截面，,ME=0，得：,即,取右半为研究对象，,C,E,F,D,Y=0，得：,3）取结点B为研究对象，,静定平面桁架,4）取结点A为研究对象，,P B 2 P,1 3,6d,d,d,C,E,F,D,静定平面桁架,例题3,2qa,G 1.5a,A 1 B,1.5a,2 3 q F,1.5a C D E,3a 3a,解：1）支座反力 VC=VE=4qa,得：YB=qa,2）取AB为研究对象，,MA=0,静定平面桁架,3）取DEB为研究对象，
20、,得：XB=,2qa,G,A 1 B,2 3 q F,MD=0，,C D E,4）取结点B、F、G为研究对象，解得：,（压力）,（压力）,2qa,G,A 1 B,C D E,-qa/4 0.28qa 4.5qa2,2 3 q F,静定平面桁架,例题4,E F,1 2a D,2 3 aA G H B,C P2,4a,P1,解：1）VA=VB=,由对称性VAC=VBC，,-（1）,2）作I-I截面，取内部，,Y=0，得：,静定平面桁架,3）作II-II截面，取内部，MC=0,II II,4）考虑结点D的平衡，,A C B,E F,G H,D,由对称性N2=N3，得：,1,2,3,静定平面桁架,5）取结点I为研究对象，由对称性，VI E=VI F,I,5）（P1+2P2）a 2P2 P2a/2 1.414P2,
