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1、复合函数,1、复合函数的定义,定义：如果y是u的函数，记为y=f(u),u 又是x的函数，记为u=g(x),如果g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函y=fg(x),这时y叫x的复合函数，其中u叫中间变量，y=f(u)叫外层函数，u=g(x)叫内层函数.即：x u y,2、复合函数的定义域,若复合函数y=fg(x)，外函数y=f(u)，内函数u=g(x)：(1)f(x)的定义域就是g(x)的值域.若f(x)的定义域为D，则y=fg(x)的定义域是使 有意义的x的取值集合。(2)y=fg(x)的定义域为D，则g(x)在D上的取值范围(g(x)的值域)即为f(x)的定
2、义域.,3、复合函数的性质,引理1：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。引理2：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。,引理3：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区
3、间(a,b)上是减函数。引理4：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是减函数。,复合函数的单调性,规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。“同增异减”,例题1、求 的单调区间.,复合函数的单调性小结：,复合函数y=fg(x)的单调性可按下列步骤判断：(1)将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。(2)确定函数的定义域；(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；,(4)若两个函数在对应的区间上的单调 性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为增函数；(5)若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为减函数。复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。,
