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1、第三章 导数的应用,第一节 微分中值定理,第二节 函数的性质,第三节 洛必达法则,第二节 函数的性质,一.函数的单调性,二.函数的极值,本节主要内容:,三.函数的最值,四.曲线的凹凸性,五.曲线的渐近线,六.函数的分析作图法,一、函数的单调性,定理（函数单调性的判定法）设y=f(x)在a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，则（1)如果在(a,b)内f(x)0，那么函数y=f(x)在a,b上单调增加；（2)如果在(a,b)内f(x)0，那么函数y=f(x)在a,b上单调减少,（1）求函数单调区间,（2）证明不等式，通常是两项不等式,利用导数性质来判断函数的性质，它包含两个典型的问题：,单调性的
2、应用,例1 讨论函数y=x3的单调性.,y=x3的定义域为(-,+)；,y=3x2，当x(-,0)和(0,+)时，y0,由函数图像可知函数在(-,+)上是单调递增的,当x=0时，y=0,当f(x)在某区间内仅在个别点处的导数为0或不存在，而在其余各点处导数均为正（或负）时，f(x)在该区间仍是单增（或单减）的。,解,例2 讨论函数f(x)=ex-x-1的单调性.,函数的定义域为(-,+)；,当x0时，y0,函数在(0,+)上单调增加,当x0时，y0,函数在(-,0)上单调减少,当x=0时，y=0；,y=ex-1，,x=0为单调区间的分界点,解,当f(x)在定义区间除去有限个点外导数均存在,那么
3、只要用导数为零的点(驻点)和导数不存在的点来划分f(x)的定义域，就能保证在各个部分区间上单调。（单调区间的分界点为驻点和不可导点）,当x0时，y0,函数在(0,+)上单调增加,当x0时，y0,函数在(-,0)上单调减少,当x=0时，y不存在.,函数的定义域为(-,+)；,x=0为单调区间的分界点,解,例3 讨论函数 的单调性.,（1）确定f(x)的定义域；（2）求出函数 在考察范围内的全部驻点和不可导点（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；（3）用这些驻点和不可导点将考察范围划分成若干个子区间；（4）确定f(x)在各部分区间的符号，据判定定理判定出f(x)的单调性,求函数单调区间的步
4、骤：,例4 求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的单调区间.,（2）f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)，无不可导点,令f(x)=0，得 x1=-1,x2=3,（3）它们将定义域划分为三个子区间：(-,-1),(-1,3),(3,+)；,（1）函数的定义域为(-,+)；,(-,-1),-1,(-1,3),3,(3,+),+,0,-,0,+,驻点,驻点,所以(-,-1和3,+)是单调增区间，-1,3是单调减区间,解,令f(x)=0，得,x2=4/5,（3）将定义域分为三个区间(-,0),(0,4/5),(4/5,+)；,（1）函数的定义域为(-,+)；,(-,0),0,(0,4/
5、5),4/5,(4/5,+),+,不存在,-,0,+,不可导点,驻点,所以(-,0和4/5,+)是单调增区间,0,4/5是单调减区间,例5 求函数 的单调区间.,（2）,不可导点为x1=0.,解,例6 证明：当x0时，ex1+x,f(x)=ex-1,所以x 0,+),有f(x)f(0)=0，即ex-1-x0,令f(x)=ex-1-x，则f(x)在0,+)上连续、可导,且,当x0时，y0,函数在0,+)上单调增加,所以当x0时，ex1+x,利用单调性证明不等式,证明,又因为：f(0)=0，,所以：当x0时，y0,函数在0,+)上单调增加,所以x 0,+),有f(x)f(0)，即不等式成立.,例7
6、 证明：,令,则,证明,o,x,y,y=(x),M,m,a,b,设函数 y=(x)在(a b)内图形如下图:,在1处的函数值f(1)比它附近各点的函数值都要小;,而在2处的函数值f(2)比它附近各点的函数值都要大;,但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值,为此,我们引入极值与极值点的概念.,二、函数的极值,定义3.2.1 设函数f(x)在x0的某领域N(x0,)内有定义，都有（1）f(x)f(x0)成立，则称f(x0)为函数f(x)的极小值函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点,注：1、极值是指函数值，而极值点是自变量的值；2、函数的极值概念具有局部性；在小范围内
7、比较，该点的函数值较大或较小，而不是在整个定义域上最大或最小，所以函数的极大值不一定比极小值大；3、函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点。,f(x)的极小值点:,f(x)的极大值点:,定理（极值的必要条件）设函数f(x)在点x0处可导，且在点 x0处取得极值，那么函数 f(x)在点x0处的导数为零，即 f(x0)=0,极值的必要条件,1、可导函数的极值点必是它的驻点.,从而有几何意义:可导函数的图形在极值点处的切线是与 x 轴平行的(罗尔定理).,2、对可导函数来说,驻点不一定是极值点.,即曲线上有水平切线的地方,函数不一定有极值.如,o,x,y,则x=0 为 f(x)=x3 的驻点.
8、,如图：x=0 不是f(x)=x3 的极值点.,说明：,3、对于函数y=|x|,我们已知 x=0 是函数的连续不可导点.但x=0是函数的极小值点.如图.,o,x,y=|x|,实际上,连续不可导点也可能是极值点.因而函数还可能在连续不可导点处取得极值.,定理（极值的第一充分条件）设函数f(x)在点x0某个空心邻域内可导（f(x0)可以不存在），x为该邻域内任意一点，（1）当x0，当xx0时f(x)x0时f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值；（3）当xx0时f(x)的符号相同，则f(x0)不是函数f(x)的极值,极值的充分条件,(是极值点情形),(不是极值点情形),定理（极值的第二充分条
9、件）设函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f(x0)=0，f(x0)0，则（1）当f(x0)0时，函 f(x)在点x0 处取得极小值,注：1、第一充分条件适用于驻点和不可导点，而第二充分条件只能对驻点判定；2、当f(x0)=0时，无法判定 f(x)在点x0处是否有极值,（1）确定函数f(x)的考察范围，（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；,（2）求出函数f(x)的导数 f(x)；求出函数 f(x)的所有驻点及不可导点，即求出f(x)=0的根和 f(x)不存在的点；,（3）列表，利用第一充分条件或第二充分条件，判定上述驻点或不可导点是否为函数的极值点，并求出相应的极值,求极值的方法：,
10、例8 求函数 的极值,（3）列表,（1）函数的定义域为(-,+)；,(-,-2),0,(-2,-4/5),-4/5,(1,+),+,极大值 0,-,0,+,所以f(x)在x=0处取得极大值为0，在x=-4/5 处取得极小值为-8.4,（2）,无不可导点,令f(x)=0，得,0,极小值-8.4,(-4/5，1),+,1,0,无极值,解,例9 求函数 的极值,令f(x)=0，得,（1）函数的定义域为(-,+)；,所以f(x)在x=-1处取得极大值为17，在x=3 处取得极小值为-47,（2）,无不可导点,（3）,因为,解,定义 设函数f(x)在区间I上有定义，x1,x2I，（1）若xI，都有f(x
11、)f(x1)成立，则称f(x1)为函数 f(x)的最大值，x1为函数f(x)的最大值点；（2）若xI，都有f(x)f(x2)成立，则称f(x2)为函数f(x)的最小值，x2为函数f(x)的最小值点 函数的最大值与最小值统称为函数的最值，使函数取得最值的点称为最值点,三、函数的最值,1.最值是一个整体概念，在某一范围内，最值若存在，只能是唯一的；,2.最值点可以是 I 内部的点，也可以是端点；,3.如果最值点不是I 的端点，那么它必定是极值点；极值点不一定是最值点,4.当函数存在唯一的极值点时，函数的极大（小）值就是函数的最大（小）值.,说明：,（2）求出函数 f(x)在内的所有可能极值点：驻点
12、及不可导点，即求出 f(x)=0的根和 f(x)不存在的点；,（3）计算函数f(x)在驻点、不可导点处及端点a，b处的函数值；,（4）比较这些函数值，其中最大者的即为函数的最大值，最小者的即为函数的最小值,（1）确定函数f(x)的考察范围（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；,求最值的方法（一）：,例10 求函数 在区间0,4 上的最值.,（3）计算得f(-1)=32,f(2)=5,又f(0)=25,f(4)=57,（1）考察区间为0,4；,所以f(x)在区间 0,4上的最大值是f(4)=57,最小值是 f(2)=5,（2）,无不可导点,令f(x)=0，得,解,（1）当f(x0)是极大
13、值时，f(x0)就是区间I上的最大值；,（2）当f(x0)是极小值时，f(x0)就是区间I上的最小值.,设函数f(x)在区间I内可导，且只有唯一驻点x0，又x0是f(x)的极值点，则,（,）,（,）,求最值的方法（二）：,xR,有,令 f(x)=0有唯一驻点,假设,例11 证明：xR,有,又,所以函数f(x)在x=1/2 处取得极小值，即最小值,因而xR,有f(x)0即,证明,在实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定可导函数f(x)必存在最大值(或最小值),而且一定在定义区间内部取到.这时,如果f(x)在定义区间内部只有唯一驻点x0,那么,可以断定f(x0)就是最大值(或最小值).(不必讨论
14、f(x0)是否为极值).,求最值的方法（三）：,例12 要做一个容积为V的有盖圆柱形水桶，问半径r与桶高h如何确定，可使所用材料最省？,假设水桶表面积为S，则,容积,要使所用材料最省，就要使水桶表面积最小,解,令S(r)=0,得唯一的驻点,此时h=2r0，所以当半径r为，桶高h为 时，可使所用材料最省,(1)根据题意建立函数关系式y=f(x)；,(2)根据实际问题确定函数的定义域；,(3)求出驻点；若定义域为开区间且驻点只有一个，则该驻点所对应函数值就是所求.如果驻点有多个，且函数既存在最大值也存在最小值，则需比较这几个驻点处的函数值，其中最大值即为所求最大值，其中最小值即为所求最小值.,实际
15、问题求最值,曲线的凹凸性是描述函数性状的一个更深入的概念.,例如：,四、曲线的凹凸性,（1）,（2）,曲线(1)上任意两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)之间的弦上的点位于曲线相应点的下面，即曲线在弦之上；曲线(2)则相反，曲线在弦之下.,几何解释,定义3.2.3 设f(x)在区间a,b上连续 如果对(a,b)内任意两点x1 x2 恒有 那么称f(x)在a,b上的图形是凹的（记为“”）；如果恒有那么称f(x)在a,b上的图形是凸的（记为“”）；,(1)观察切线与曲线的位置关系.,(1)凹曲线位于其任一点切线的上方；凸曲线位于其任一点切线的下方,(2)观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系.
16、,(2)凹切线斜率单调递增；凸切线斜率单调递减,观察与思考,定义 曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点,如果(x0,f(x0)是拐点且f(x0)存在,问f(x0)=？如何找可能的拐点？如何确定曲线yf(x)的拐点？,o,x,y,y=(x),a,A,B,b,c,C,讨论,(1)在拐点(x0,f(x0)处f(x0)=0或f(x0)不存在.(2)只有f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0)才可能是拐点.(3)如果在x0的左右两侧f(x)异号,则(x0,f(x0)是拐点.,(2)拐点是曲线上的点,从而拐点的坐标需用横坐标与纵坐标同时表示,不能仅用横坐标表示.这与驻点及极值点的表示方法不一样.,(1)拐
17、点一定是f(x)=0或不存在的点，但是f(x)=0或不存在的点不一定都是拐点.,结论,注意,定理 设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数.若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的,曲线凹凸性判定定理,若曲线y=f(x)在点x0连续，f(x0)=0或不存在，f(x)在x0两侧异号，则点(x0,f(x0)是曲线的一个拐点,(1)确定函数的定义域；(2)在定义域内求 f(x)=0的点和f(x)不存在的点；(3)用上述点划分定义域，并列表判别函数的凹凸性,拐点的判定：,求曲线凹向区间和拐点的步骤：,f(x)
18、没有为0的点，但是x=4时，f(x)不存在，,例13 讨论曲线 的凹向区间与拐点,x,f(x),f(x),(-,4),4,(4,+),+,-,不存在,拐点(4,2),（1）函数的定义域为(-,+)；,解,定义 若曲线L上的动点P沿着曲线无限地远离原点时,点P与一条定直线C的距离趋于零,则称直线 C为曲线L的渐近线当C垂直于x轴时,称C为曲线L的垂直渐近线;当C垂直于y轴时,称C为曲线L的水平渐近线,五、曲线的渐近线,例如，对于曲线 来说，,（1）水平渐近线,所以直线,都是该曲线的水平渐近线.,又如，曲线,例如，对于曲线y=ln x来说，,所以直线 x=0 是曲线y=ln x,的垂直渐近线,（2
19、）垂直渐近线,所以直线x=1是该曲线的水平渐近线.,又如，曲线,所以，y=2为水平渐近线;,例14 求曲线 的渐近线.,所以，x=1为垂直渐近线.,解,所以，x=0为垂直渐近线;,例15 求曲线 的渐近线.,所以，y=-2为水平渐近线.,解,作函数y=f(x)图象的一般步骤为：（1）确定函数y=f(x)的定义域，分析函数的奇偶性、周期性；（2）求函数的一阶导数，二阶导数，并求出一阶导数、二阶导数为零的点及导数不存在的点；（3）列表求函数的单调区间、极值，确定函数的凹凸区间和拐点；（4）求曲线的渐近线；（5）求曲线上一些特殊点，根据函数的性态，结合描点，作图,六、函数的分析作图法,(1)定义域(-,+)，函数为偶函数；,例16 作函数 的图像,x2=-1,x3=1时，y=0,(3)列表,解,(4)曲线有水平渐近线y=0，无垂直渐近线,(1)定义域(-,+)，函数为奇函数；只需作出 0,+)上的图象,例17 作函数 的图像,(3)列表,x2=0,x3=时，y=0,解,(4)曲线有水平渐近线y=0，无垂直渐近线,
