《代数系统的一般性质.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《代数系统的一般性质.ppt（62页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第五章 代数系统,二元运算及其性质 代数系统及其子代数和积代数 代数系统的同态和同构 半群与群 环与域 格与布尔代数,集合上的运算，其运算结果都是在原来的集合R中，具有这种特征的运算是封闭的，简称闭运算。对于集合A，一个从An到B的映射，称为集合A上的一个n元运算。如果BA,则称该n元运算是封闭的.,5.1 二元运算及其性质,定义5.1 设S为集合,函数f:SSS称为S上的一个二元运算,简称为二元运算.f:NNN,f()xy普通的减法不是自然数集合上的二元运算,因为两个自然数相减可能得负数,而负数不属于N.这时也称集合N对减法运算不封闭.,(1)自然数集合N上的乘法是N上的二元运算,但除法不是
2、.(2)整数集合Z上的加法、减法和乘法是Z上的二元运算,而除法不是.(3)非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算,而加法、减法不是.(4)设Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合(n2),即则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算,(5)S为任意集合,则,为S的幂集P(S)上的二元运算,(6)S为集合,是S上的所有函数的集合,则合成运算.是 上的二元运算.,算 符,通常用,*,等符号表示二元运算，称为算符.设f:SSS是S上的二元运算,对任意的x,yS,如x与y的运算结果是z,即 f()z,可利用算符简记为 xy=z,N元运算,定义5.2 设S为集合,n为正整数,则函数 称为S上的一个
3、n元运算,简称为n元运算.例如,求一个数的相反数是实数集R上的一元运算,求一个数的倒数是非零实数集R*上的一元运算,在幂集合P(S)上,如果规定全集为S,那么求集合的绝对补运算可以看作是P(S)上的一元运算.在空间直角坐标系中求某一点(x,y,z)的坐标在x轴上的投影可以看作是实数集R上的三元运算f()x,因为参加运算的是有序的3个实数,而结果也是实数.,使用算符表示n元运算若f()=b,则可记为(a1,a2,an)b前缀表示法：(a)b 一元运算,(a1,a2)b 二元运算,(a1,a2,a3)b 三元运算.如果集合S是有穷集,S上的一元和二元运算也可以用运算表给出.表5,1和5.2是一元和
4、二元运算表的一般形式,例5.2 设S1,2,给出P(S)上的运算和的运算表,其中全集为S.解 所求的运算表如表5.3、表5.4所示.,例5.3 设S=1,2,3,4,定义S上二元运算如下：,xy=(xy)mod 5,x,yS,二元运算的性质,定义5.3 设为S上的二元运算,如果对任意的x,yS都有 xyyx 则称运算在S上是可交换的,或者说.在S上适合交换律.例如,实数集上的加法和乘法都是可交换的,但减法不可交换,在幂集P(S)上的,都是可交换的,但相对补不是可交换的.,定义5,4 设为S上的二元运算,如果对任意的x,y,zS都有(xy)zx(yz),则称运算在S上是可结合的,或者说.在S上适
5、合结合律.普通的加法和乘法在N,Z,Q,R上都是可结合的,在幂集P(S)上也是可结合的.矩阵加法和乘法在Mn(R)上是可结合的,其中矩阵加法还是可交换的,但矩阵乘法不是可交换的.,定义5.5 设为S上的二元运算,如果对任意的xS都有 xx=x则称该运算适合幂等律,也可以说S中的全体元素都是幂等元.例如，幂集P(S)上和适合幂等律,但对称差不适合幂等律（除非P(S)=）,是运算的幂等元.,定义5.6 设和*是S上的两个二元运算,如果对任意的x,y,zS有 x*(yz)=(x*y)(x*z),(yz)*x(y*x)(z*x),则称运算*对是可分配的,也称*对适合分配律.例如,在实数集上普通乘法对加
6、法是可分配的,在n阶实矩阵的集合Mn(R)上矩阵乘法对矩阵加法是可分配的,而在幂集P(S)上和是互相可分配的.,定义5.7 设和*是S上的两个可交换的二元运算,如果对任意的x,yS都有 x*(xy)x,x(x*y)x,则称和*满足吸收律.例如,在幂集P(S)上和是满足吸收律的.,左幺元,右幺元,幺元,定义5.8 设为S上的二元运算,如果存在元素el(或er)S使得对任何xS,都有 el xx(或xer=x)则称el(或er)是S中关于运算的一个左幺元(或右幺元).若eS关于既是左幺元,又是右幺元,则称e为S上关于运算的幺元.,谁是幺元?,自然数集合上的加法运算的幺元是谁?自然数集合上的乘法运算
7、的幺元是谁?在Mn(R)上,矩阵加法的幺元是谁?在Mn(R)上,矩阵乘法的幺元是谁?在幂集P(S)上,运算的幺元是谁?在幂集P(S)上,运算的幺元是谁?R*是非零实数集,任意的a,bR*有ab=a,运算的幺元是谁?,左幺元,右幺元,幺元,定理5.1 设为S上的二元运算,el,er分别为运算的左幺元和右幺元,则有 elere.且e为S上关于运算的唯一的幺元.证明 elel er,el erer 所以,el=er 把eler记作e.假设S中存在幺元e,则有 e=e ee 所以,e是S中关于运算的唯一的幺元,左零元,右零元,零元,定义5.9 设为S上的二元运算,若存在元素l(或r)S使得对任意的xS
8、有 l x l(或x r r)则称l(或r)是S上关于运算的左零元(或右零元)若 S关于运算既是左零元,又是右零元,则称 为S上关于运算的零元.自然数集N上普通乘法的零元是谁?普通加法零元是谁?Mn(R)上矩阵乘法的零元?矩阵加法零元?在幂集P(S)上运算的零元是?运算的零元是?R*是非零实数集,任意的a,bR*有ab=a,运算的零元?,定理5.2 设为S上的二元运算,l,r分别为运算的左零元和右零元,则有 l r 且为S上关于运算的唯一的零元.,定理:设是一个代数系统,且集合A中元素的个数大于1.如果该代数系统中存在幺元e和零元,则e.证明：用反证法，设=e，那么对于任意xA,必有x=e*x
9、=*x=e于是，A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。,左逆元、右逆元、逆元,定义5.10 设为S上的二元运算,eS为运算的幺元.对于任意的xS,如果存在yl S(或yrS)使得 ylxe(或xyre)则称yl(或yr)是x的左(或右)逆元,若yS既是x的左逆元,又是x的右逆元,则称y是x的逆元.自然数集关于加法运算的逆元?整数集关于加法运算的逆元?Mn(R)上矩阵乘法的逆元?在幂集P(S)上运算的逆元?,定理5.3 设为S上可结合的二元运算,e为该运算的幺元.对于xS如果存在左逆元yl和右逆元yr,则有 ylyry,且y是x的唯一的逆元.证明:ylyleyl(xyr)=(ylx
10、)yreyryr.令yl=yr=y,假设yS是x的逆元,则有 yyey(xy)(yx)yeyy.由这个定理可知,对于可结合的二元运算来说,元素x的逆元如果存在则是唯一的.通常把这个唯一的逆元记作.,定义5.11 设为S上的二元运算,如果对任意的x,y,zS满足以下条件(1)若xyx z且x不是零元,则yz,(2)若yxzx且x不是零元,则yz就称运算满足消去律 整数集合上加法,乘法?幂集P(S)上运算?运算满足消去律吗?运算满足消去律吗?,是一个代数系统,*是A上的一个二元运算，那么该运算的有些性质可以从运算表中直接看出。即：,1.运算*具有封闭性，当且仅当运算表中每个元素都 属于A。2.运算
11、*具有可交换性，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。3.运算*具有等幂性，当且仅当运算表的主对角线上每一个元素与它所在行（列）的表头元素相同。4.A关于*有零元，当且仅当该元素所对应的行和列中的元素都与该元素相同。5.A中关于*有幺元，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致。6.设A中有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所在行，b所在列的元素以及b所在行，a所在列的元素都是幺元。,设是字母的有穷集,称为字母表,中的有限个字母组成的序列称为上的串.对任何串,串中字母的个数叫做串的长度,记作|.长度是0的串叫做空串.记作.对任给的自然数k,令k=特别有:,规定*上的二元运算如下:对任
12、意,*,a1a2am,=b1b2bn a1a2am b1b2bn,运算把串接在串的后面,称之为连接运算.它是*上的二元运算.对任意,*有()(),即连接运算满足结合律,但不满是交换律.它的幺元是空串.,*上的一元运算求一个串的反串,记作.对于任意*,a1a2an,有=an a2a1 对任意串*,如果,则称该串是一个回文.例如,1,100001,10101都是0,1*上的回文.,对给定的,*的任何子集都称为上的一个语言,记作L,L*.因为P(*)是*的所有子集的集合,它恰好表示了上所有语言的集合.例如,0,1,那么都是上的语言,其中L3是回文语言,如果对于某个LP(*)有LL,则称L为上的镜象语
13、言,易见回文语言一定是镜象语言,但镜象语言不一定是回文语言,例如,语言01,10是镜象语言但不是回文语言.,5.2 代数系统及其子代数和积代数,定义5.12 非空集合S和S上的k个运算f1,f2,fk(其中fi为ni元运算,i=1,2,k)组成的系统称为一个代数系统,简称代数,记作.例如,都是代数系统,其中为普通加法,为普通乘法,是代数系统,其中和分别表示矩阵加法和矩阵乘法.,也是代数系统,它包含两个二元运算和一个一元运算.是代数系统，其中,代数常数,二元运算的幺元或零元,对系统性质起着重要的作用,称之为系统的特异元素,或代数常数.,子代数系统、子代数,定义5.13 设V=是代数系统,BS且B
14、,如果B对 f1,f2,fk都是封闭的,且B和S含有相同的代数常数,则称是V的子代数系统,简称子代数.例如.是的子代数,因为N对加法封闭,且它们都具有相同的代数常数0.不是的子代数.因为代数常数0不出现在N-0中.,平凡的子代数、真子代数,对任何代数系统V=,其子代数定存在.最大的子代数就是V本身.如果令V中所有的代数常数构成的集合是B,且B对V中所有的运算都是封闭的,那么,B就构成了V的最小的子代数.这种最大与最小的子代数称为V的平凡的子代数如果V的子代数V=满足BS,则称V是V的真子代数.,例5.5 设V=,令,nZ=nz|zZ n为自然数那么,证明，nZ是V的子代数.证明:任取nZ中的两
15、个元素nz1和nz2,nz1,nz2 Z.则有 nz1 nz2=n(z1 z2)nZ,即nZ对运算是封闭的并且0=n0nZ所以,nN是的子代数.当n=1时,nZ就是V本身,当n=0时,0Z=0是V的最小的子代数,而其他的子代数都是V的非平凡的真子代数.,积代数,定义5.14 设V1=,V2=是代数系统,和*为二元运算.V1和V2的积代数V1 V2是含有一个二元运算的代数系统,即V1 V2=,其中S=S1S2,且对任意的,S1S2有=设V1=,V2=,其中和分别表示整数加法和矩阵乘法,那么V1 V2是 V1 V2=.对任意的,如果原来的两个代数系统分别含有代数常数,比如说V1的代数常数为a1,V
16、2的代数常数为a2,就是积代数V1V2中的代数常数例如,V1=,V2=那么积代数V1 V2 的代数常数就是,这时有V1 V2=,3个代数系统的积代数:例如,V=,那么有VVV=并且对任意的,ZZZ有*=,如果V1和V2中的二元运算都是可交换的(可结合的或幂等的),则积代数中相应的二元运算也是可交换的(可结合的或幂等的)如果e1,e2分别为V1和V2的幺元,那么就是积代数V1 V2的幺元.如果x1在V1中的逆元为x1-1,x2在V2中的逆元为 x2-1,那么在积代数V1 V2中,的逆元就是.,5.3 代数系统的同态与同构,定义5.15 设V1=,V2=是代数系统,和*是二元运算,如果存在映射:S
17、1S2满足对任意的x,y S1有(x y)=(x)*(y),则称是V1到V2的同态映射,简称同态,例如,V1=,V2=,其中为普通加法,为模n加法,即x,yZn有 x y=(xy)mod n,这里Zn=0,1,n-1令:ZZn,(x)=(x)mod n,则 是V1到V2的同态.因为对任意x,yZ有(xy)=(xy)mod n=(x)mod n(y)mod n=(x)(y)又比如令:RR,(x)=ex,那么是到的同态,因为对任意x,yR,下式成立,(xy)=exy=exey=(x)(y),同态象、同构,定义5.16 设是V1=到V2=的同态,则称是V1在 下的同态象 定义5.17 设是V1=到V
18、2=的同态,如果是满射的,则称为V1到V2的满同态,记作.如果是单射的,则称为V1到V2的单同态.如果是双射的,则称为V1到V2的同构,记作,例5.6(1)V=,给定az,令 a:zz,a(x)=ax,xz,那么易证,任取z1,z2z有 a(z1z2)=a(z1z2)=az1az2=a(z1)a(z2),所以 a是V到自身的同态,这时也称为V的自同态.,当a=0时,有zZ,0(z)=0,称0为零同态,其同态象为当a=1时,有 zZ,1(z)=z为Z的恒等映射,显然是双射,其同态象就是.这时1是V的自同构同理可证-1也是V的自同构.当a1且a0时,zZ有a(z)=az,易证a是单射的,这时a为V
19、的单自同态,其同态象是是的真子集.,(2)令V1=,V2=,定义:*N如下:()=|,*易证是V1到V2的映射,且满足:1,2*有(1 2)=|1 2|=|1|+|2|=(1)(2),所以,为V1到V2的同态,且是满同态,其同态象就是V2.如果中只含有一个字母,比如说a,那么*=an|nN这时是双射的,就是V1到V2的同构了.,一般的代数系统的同态,定义5.15的同态概念可以推广到一般的代数系统中去.设V1=,V2=是代数系统,其中,*,*都是二元运算如果:S1 S2满足以下条件:x,y S1有(1)(xy)=(x)(y),(2)(x*y)=(x)*(y),则称是V1到V2的同态映射,简称同态
20、,例如,V1=,V2=,其中,为普通的加法和乘法.为模n加法,为模n乘法.即对任意x,yZn有 xy=(xy)modn,令:ZZn,(x)=(x)mod n,那么易证(xy)=(xy)mod n=(x)mod n(y)mod n=(x)(y)(xy)=(xy)mod n=(x)mod n(y)mod n=(x)(y)所以是V1到V2的同态,且是满同态.,具有一元运算的代数系统中的同态,设V1=,V2=是代数系统,其中,*是二元运算,和是一元运算.如果映射:S1 S2满足以下条件(1)x,y S1,有(xy)=(x)*(y),(2)x S1,有(x)=(x),则称 是V1到V2的同态.,例如,V
21、1=,V2=,其中,为普通加法和乘法,-x表示求x的相反数,x-1表示求x的倒数.令:RR(x)=ex,那么有 x,yR,(xy)=e xy=ex ey=(x)(y),xR,(-x)=e-x=(ex)-1=(x)-1,所以,是V1到V2的同态.,具有代数常数的代数系统之间的同态,设V1=,V2=是代数系统,其中,*为二元运算,k1 S1,k2 S2是代数常数.如果:S1 S2满足以下条件:(1)x,y S1,有(xy)=(x)*(y),(2)(k1)=k2,则称是V1到V2的同态.,例如,V1=,V2=其中是普通加法,是模n加法,令:Z Zn,(x)=(x)mod n,则有 x,yZ,(xy)
22、=(xy)mod n=(x)mod n(y)mod n=(x)(y),(0)=(0)mod n=0,所以 是V1到V2的同态.,设V1=,V2=是具有两个二元运算的代数系统,是V1到V2的同态,具有以下性质.(1)若(或*)是可交换的(可结合的或幂等的),则(或*)在(S1)中也是可交换的(可结合的或幂等的).(2)若对*是可分配的,则对*在(S1)中也是可分配的.,(3)若和*是可吸收的,则和*在(S1)中也是可吸收的.(4)若e是S1中关于运算的幺元,是S1中关于运算的零元,那么(e)和()分别是(S1)中关于运算的幺元和零元对于x S1,如果x-1是x的关于运算的逆元,则(x-1)是(x)关于运算的逆元.,
