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1、实验四,数学家的生日蛋糕,积分,一、引例：数学家的生日蛋糕,某数学家的学生要送一个特大的蛋糕来庆贺他90岁生日。为了纪念他提出的口腔医学的悬链线模型，学生们要求蛋糕店老板将蛋糕边缘半径作成下列悬链线函数 r=2-(exp(2h)+exp(-2h)/5,0h1(单位：米)。蛋糕的成本取决于蛋糕的重量和表面积（底面除外），问如何计算重量和表面积？,解 设高为H，半径 r,比重为k若蛋糕是单层圆盘的，则蛋糕的重量和表面积分别为：W=kHr2 S=2Hr+r2若蛋糕是双层的，每层高H/2，下层半径r1,上层半径r2，则 W=kH(r12+r22)/2 S=H(r1+r2)+r22如果蛋糕是n层的，每层
2、高H/n，半径分别r1,rn,则,r,H,r1,r2,若蛋糕边缘是曲线r=r(h),0hH，各层半径近似为ri=r(i-1/2)H/n),i=1,n,那么当n，,二、数学理论复习：积分函数f(x)在区间a,b上的积分定义为,其中 a=x0 x1xn=b,xi=xi-xi-1,i(xi-1,xi),i=1,2,n,若在a,b上,F(x)=f(x),则,二重积分定义为,三、数值积分：梯形法和重积分 1、梯形法,在xi-1,xi上f(x)近似为一直线，用弦线代替，则,设f(x)在a,b上大于0，a=x0 x1xn=b,则,a,xi-1,b,xi,通常将a,b区间n等分，h=(b-a)/n,xi=a+
3、ih,称为梯形公式,2、重积分 重积分的数值计算可通过单积分组合计算,我们利用梯形法，先将a,b区间m等分，hx=(b-a)/m,xi=a+ihx,i=0,1,m,再将c(xi),d(xi)区间n等分,hy(i)=(d(xi)-c(xi)/n,yij=c(xi)+jhy(i),则,G(xi),A,a,b,d(x),c(x),其中,M文件dblquad2.m给出二重积分数值计算法。I=dblquad2(f_name,a,b,c_lo,d_hi,m,n)其中f_name为被积函数f(x,y)字符串,其中x为标量,y为向量,c_lo和d_hi是y的下上限;a,b为x的下上限；m,n 为x和y方向的等
4、分数(缺省值100)。,四、使用MATLAB,解 将被积函数及y的上下限函数写为M函数文件，再调用dblquad2即可求解。,例1,trapz 梯形法积分 quad 变步长数值积分int 符号积分 quad8 高精度数值积分dblquad 矩形区域的二重积分,1、梯形积分法 trapz 是最基本的数值积分方法,精度低。z=trapz(x,y),返回积分的近似值，其中x 表示积分区间的离散化向量;y是与x同维数的向量,表示被积函数。,例2,解 clear;x=-1:0.1:1;y=exp(-x.2);trapz(x,y),2、变步长数值积分 z=quad8(fun,a,b,tol)返回积分的近似
5、值，其中 fun表示被积函数的M函数名,a、b 表示积分下上限,tol为精度,缺省值为1e-30。,注1：quad用法与quad8相同，但quad8精 度较高，且对假收敛和假奇异积分 具有一定适应性，而quad较差。,注2：trapz,quad,quad8都不能用于求广义 积分。,3、重积分,矩形区域二重积分.z=dblquad(fun,a,b,c,d)其中fun 表示被积函数 f 的M函数名,a,b表示变量 x 的下上限，c,d表示变量 y 的下上限。,dblquad只能求矩形区域的二重积分，不如上述M函数dblquad2适用面广。,4、符号积分 int(s)符号表达式s 的不定积分；int
6、(s,v)符号表达式s 关于变量v的不定 积分；int(s,a,b)符号表达式s 的定积分,a,b分别 为下上限；int(s,v,a,b)符号表达式s 关于变量v 从 a 到 b的定积分。,例 3(引例)现在来求大蛋糕重量和表面积：解 syms h;r=2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5;vpa(int(pi*r2,h,0,1),5),rn=subs(r,h,1);vpa(int(2*pi*r,h,0,1)+pi*rn2,5),例 4 一半径为5m的球形水罐充满了水，底部有一半径为b=0.1m的小孔漏水，问多少时间以后，水面下降至离底部0.5m?,解 水从孔漏出的速度由下列能量方程决定 g(z+R)=u2/2，u是速度,z表示从球心 测量的水面高度,g为重力加速度。,考虑在时间dt内水面变化dz，漏水的体积为 uAdt=-x2dz其中x为高度z水面的半径,A=b2由于R2=z2+x2得dt=,在顶部z=R水降到0.5m时，z=0.5-R，从而 t=,5m,0.5m,0,
