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1、两条直线的位置关系(2),一直线系,一般地说，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫直线系方程，直线系方程中除含变量x，y以外，还可以根据具体条件取不同值的变量，简称参数.,1.经过定点的直线系方程：,（1）过定点P(x0,y0)的直线yy0=k(xx0)（k为参数）是一束直线（方程中不包括与y轴平行的那一条）（即x=x0），所以yy0=k(xx0)是经过点P(x0,y0)的直线系方程；,（2）直线y=kx+b,（其中k为参数，b为常数），它表示过定点(0，b)的直线系，但不包括y轴（即x=0）；,（3）经过两条直线交点的直线系方程：l1：A1x+B1y+C1=0(A12+B
2、120)与l2：A2x+B2y+C2=0(A22+B220)交点的直线系为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0，（其中m、n为参数，m2+n20）,当m=1，n=0时，方程即为l1的方程；当m=0，n=1时，方程即为l2的方程.上面的直线系可改写成(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0（其中为参数），但是方程中不包括直线l2，这个参数方程形式在解题中较为常用.,m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0，（其中m、n为参数，m2+n20）,直线系方程：,2.平行直线系：,直线y=kx+b(其中k为常数，b为参数)，如直线y=3x+b表示的是
3、斜率为3的所有直线，这样的直线系方程叫做平行直线系方程。,（1）解:设过两直线交点的直线方程为：,将点（2，1）代入方程，得：,故所求直线方程为：,x+2y4=0,解得:,(1)过点(2,1)(2)和直线3x4y+5=0垂直。,例1:求过两直线x2y+4=0和x+y2=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程。,(1)解2:联立方程组,过两点(2,1)、(0,2)的直线方程为：,即 x+2y4=0为所求.,解得两线的交点:(0,2),（2）解:将（1）中所设的方程变为：,解得所求直线的斜率为：,由已知得：,故所求直线方程为：,4x+3y6=0,解得:,(1)过点(2,1)(2)和直线3x4y+5
4、=0垂直。,例1:求过两直线x2y+4=0和x+y2=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程。,设和直线3x4y+5=0垂直的方程为:,将点(0,2)代入上式解得:m=6,(2)解2:联立方程组,故直线的方程为：4x+3y6=0,4x+3y+m=0,解得两线的交点:(0,2),例2设三条直线：x2y=1，2x+ky=3，3kx+4y=5交于一点，求k的值.,解：解方程组：,解得,即前两条直线的交点为,因为三直线交于一点，所以第三条直线必过此定点，,故,解得k=1或k=,例3.已知直线(a2)y=(3a1)x1.(1)求证无论a为何值，直线总过第一象限;(2)为使这直线不过第二象限，求a的范围.
5、,解：(1)将方程整理得为 a(3xy)+(x+2y1)=0，,由直线系方程知对任意实数a，该直线恒过直线3xy=0与x2y+1=0的交点。,联立3xy=0与x2y+1=0解得,直线恒过第一象限内的定点()；,(2)当a=2时，直线为 x=,此时该直线不过第二象限。,当a2时，直线方程化为：,若直线不过第二象限，则满足,解得a2，,综上得，当a2时，直线不过第二象限,例4.下面三条直线l1：4xy40，l2：mxy0，l3：2x3my40不能构成三角形，求m的取值集合,解：（1）三条直线交于一点时：,由,解得l1和l2的交点A的坐标,由A点在l3上可得,解之m 或m 1,（2）至少两条直线平行
6、或重合时：,l1、l2、l3至少两条直线斜率相等，这三条直线中至少两条直线平行或重合，,当m4时，l1l2；,当m 时，l1l3；,综合（1）、（2）可知，当m1，4时，三条直线不能组成三角形，因此m的取值范围是,例5.P1(x1，y1)是直线 l：f(x，y)=0上一点，P2(x2，y2)是直线 l 外的一点，则方程f(x，y)+f(x1，y1)+f(x2，y2)=0所表达的直线与 l 的关系是（）（A）重合（B）平行（C）垂直（D）位置关系不定,B,练习题：,1过两直线3x+y1=0与x+2y7=0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（）（A）x3y+7=0（B）x3y+13=0（C）
7、2x7=0（D）3xy5=0,B,2过点P(1，4)和Q(a，2a+2)的直线与直线2xy3=0平行，则a的值（）（A）a=1（B）a1（C）a=1（D）a1,B,3直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（）（A）平行（B）垂直（C）相交但不垂直（D）不能确定，与m，n取值有关,C,4经过两条直线2x+y8=0和x2y+1=0的交点，且平行于直线4x3y7=0的直线方程是.,4x3y6=0,5直线ax+4y2=0与直线2x5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a=，c=，m=.,10,12,2,例1求经过下列两直线的交点且斜率为2的直线的方程。l1：3x+4y2=0，l2：2x+y+2=0.,解1：解方程组,又直线的斜率为2，根据点斜式方程得,y2=2(x+2)即2xy+6=0.,得,解2：设直线的方程是,(3x+4y2)+(2x+y+2)=0,即(3+2)x+(4+)y2+2=0.,该直线的斜率,解得=,代入上述方程得2xy+6=0.,对称性问题：,1点对称：,对称性问题：,2轴对称：,1.已知ABC中，B(1,2),BC边上的高线AD方程为x-2y+1=0,角A平分线y=0,求AC,BC边所在直线方程.,
