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1、第一节 大数定律,在前面我们已经提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数。在实践中，人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性。这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景。,第5章 大数定律与中心极限定理,在概率论中，用来阐明大量平均结果稳定性的一系列定理统称为大数定律.由大数定律，大量随机因素的总和，必然导致某种不依赖于个别随机事件的结果.为了证明大数定律，下面给出一个重要有用的不等式.,5.1.1 切比雪夫不等式,我们已经知道，方差是用来描述一个随机变量取值的分散程度的。,设随机变量 X 有数学期望 和方差，则对于任意给定的正数 总有,
2、通常称该不等式为切比雪夫不等式.在实际应用及理论上都很有用。为简便起见，下面就连续型随机变量 讨论其正确性。,因为 时，,设随机变量 的概率密度为,因此，不等式成立。,故有,故，切比雪夫不等式又可表示成下面形式,的情况下，估计随机事件 的概率,上式给出了在随机变量 的分布未知,的一种方法。若在上式中取,则分别有,越小，则概率 越大，表明随机变,越小，表明随机变量 取,量 取值越集中；反之，方差 越大，概率,值较分散。由此，可以更进一步理解方差是,5.1.2 大数定律,定理1（切比雪夫定理的特殊情况）设,随机变量 相互独立，且具有,。作前 个随机变量,描述随机变量与其期望值分散程度的一个量。,的
3、算术平均，记为,相同的有限数学期望和方差：,所以,由切比雪夫不等式可得,一般地，设 为一个随机变,定理1中，是一个随机事件，,等式表明，当 时，这个事件的概率趋,于 1，通常我们称序列 依概率,收敛于。,量序列，是一个常数，若对于任意正数,都有,的算术平均 接近于,数学期望 这种接近是,限增加时，将几乎变成一个常数。,则称随机变量序列 依概率收敛于。,定理 1 表明，当 很大时，随机变量,条件下，个随机变量的算术平均，当 无,通俗地说，在定理 1 的,概率意义下的接近。,例如，在一个闭合容器内有很多气体分子，它们在不断地运动，每个气体分子的运动是随机的。对于单个气体分子而言，我们不能确定其在指
4、定时刻的动能。但是，在一定的温度下，对于容器内的某一部分气体分子的动能的算术平均却几乎是一个常数。这一物理量和大数定理的结论是相吻合的。下面我们给出更一般的切比雪夫定理。,定理2（切比雪夫定理）设随机变量 相互独立，并且具有有限的数,学期望和方差：,算术平均，记为 即,则对于任意正数 恒有,（为常数，）前n个随机变量的,学期望值 附近。即说明算术平均值具有稳,术平均后的 的值，将比较紧密地集中在其数,定理 2 的证明请读者参照定理1自行完成。,定理 2 中要求方差（为常,数，），即 是一致有界的。,一个无穷小量。即当 充分大时，,因此，当 无限增大时，是,的分布的分散程度是很小的。这表明，经过算,定性。,或,定理3（伯努利定理）设在 次独立试,验中事件 发生的次数为，在每次试验,中事件 发生的概率为，则对于任意给定,的正数，恒有,是 相互独立，且服从相同的,显然有 由于 只依赖,于第 次试验，而各次实验是独立的，于,（01）分布，即,由定理 1，得,即,又因为,故有,伯努利定理是切比雪夫定理的特例，它从理论上证明了频率的稳定性。只要试验次数 足够大，事件 出现的频率 与事件 的概率 有较大偏差的可能性很小。因此在实践中，当试验次数较大时，便可以用事件发生的频率来代替事件发生的概率。,
