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1、第5讲 基于偏好的需求,我们已从效用最大化出发推导了消费者个人需求，但这只是一种理论抽象。现实中的需求实实在在，看得见、摸得着。当消费者想要某件物品，并且有能力购买的时候，就形成了对这件物品的需求。比如，你只需观察家庭主妇在超市或商场购买的东西，很快就知道了她的需求是什么。我们把现实中这种看得见、摸得着的需求叫可观察的需求,把从效用最大化推导的需求叫基于偏好的需求。研究基于偏好的需求的目的是要解释现实需求如何决定，但若基于偏好的需求与可观察的需求之间差别很大，尤其是两种需求在性能上差别很大的话，那么研究基于偏好的需求就失去了意义。因此，有必要对基于偏好的需求的性质进行一番研究，看看它是否符合现
2、实需求的特点。本讲正是出于这一目的而安排的，我们将主要讨论价格和收入的变动对于基于偏好的需求的影响。,需求的连续性需求的可微性替代效应与收入效应,一、需求的决定及其连续性,需求的决定是需求分析的基础，上一讲其实就是在讲述需求决定的理论和方法。不过，上一讲属于理论性的。这里，我们将给出具体的应用事例以加深对需求决定理论的理解。然而对于需求的研究，仅仅停留在需求决定上是远不够的。消费者需求由各种商品的价格及消费者收入共同决定，当这些因素发生变化时，需求自然跟着变化。因此，我们还必须研究需求变动的规律，即要考察需求如何随价格和收入的变化而变化。研究需求变动规律的基本方法是去分析需求的连续性，即要搞清
3、楚当价格和收入变化不大时，需求变动是否也不大。由于一般情况下，马歇尔需求是一个集合，因此，需求的连续性问题应该放在集值映射理论的框架下进行讨论。这就是说，消费者需求本身就是一种集值映射D:X，称其为需求集映：(p,r)(D(p,r)=x(p,r):(y(p,r)(y x)其中 为消费集合 X 上的偏好关系。实际应用中，人们更喜欢采用需求映射来研究需求问题。通过需求映射，可以更细致地分析价格和收入的变动对消费者需求的影响。,(一)需求的决定,根据消费最优化理论，当各种商品的价格以及消费者收入既定时，消费者的需求是预算集合中最好的消费方案。要确定需求，只需根据消费者偏好选择出所有这些最好的方案来。
4、可见，确定消费者需求的步骤为：第一，确定消费集合；第二，确定偏好关系或效用函数；第三，在既定的价格和收入下确定预算集合；第四，从预算集合中选出所有那些效用最大的方案。当价格和收入发生变动时，按照如上方式确定的需求就成为一个集值映射需求集映 D:X。进一步，在假设HC、HP和HU下，需求集映成为需求映射；再结合边界最差假设，需求将在消费集合内部实现，从而可以直接通过边际方程来决定需求映射 x=(p,r)：,下面，我们通过两个具体事例来说明需求系统的确定。,例1.移动通讯需求,信息技术的发展让移动通讯业在全球迅速兴盛起来，尤其在中国，手机的使用已经比较普遍，移动通讯需求相当旺盛，移动通讯业的竞争也
5、迅速展开。我们来分析一下移动通讯的需求情况。假定市场上有两家公司A和B(比如联通公司和移动公司)在提供移动通讯业务，这两家公司提供的服务相同，但话费可能不同。用 p1表示公司A的话费(元/分种)，p2表示公司B的话费(元/分种)。用 x1表示消费者使用公司A的网络通话的时间(分钟)，x2表示消费者使用公司B的网络通话的时间(分钟)；用 r 表示消费者准备用于支付话费的收入。于是，消费集合为 X=R+=xR:x 0。向量 x=(x1,x2)表示消费者选择使用网络A通话 x1分钟，使用网络B通话 x2分钟。消费者对移动通讯消费方案的评价是按照通话总时间多少来确定的：(x1,x2)(y1,y2)(x
6、1+x2 y1+y2)即消费者认为，移动通话总时间越多越好。通话向量 x=(x1,x2)的话费为 px=p1x1+p2 x2，于是预算集合为：(p,r)=xX:px r下面来找出(p,r)中所有最好的通话向量，即确定移动通讯需求。,r/p1,移动通讯需求的确定,我们通过图示来直观地说明移动通讯需求的确定。,可见，在两家公司提供的服务相同的情况下，话费价格低的公司必然完全占领市场。小灵通公司正是看到了移动通讯市场的这一特点，果断采取降价策略而在中国移动通讯市场上一举获得成功。,r/p2,x1,x1,x1,x2,x2,x2,r/p2,r/p2,r/p1,r/p1,px=r,D(p,r),D(p,r
7、),D(p,r),(1)p1 p2的情形,(2)p1 p2的情形,(3)p1=p2的情形,通话时间越多越好,通话时间越多越好,o,o,o,(p,r),(p,r),(p,r),通话时间越多越好,例2.线性支出系统,消费者为了生存，需要保证每种商品的一个最低消费。假设共有 种商品,消费者对商品 i 的最低消费量为 i(i=1,2,)，于是向量=(1,2,)代表消费者的基本需要向量。当消费者的收入用于应付生活必需的支出后还有剩余时，为了得到更大的满足，需要进行更多的消费。那么，消费者如何把他的剩余收入用于增加各种商品的消费呢？这个问题是比较实际的，现实中常常会碰到类似的问题。下面，我们应用消费最优化
8、理论来分析这一问题。在这个问题中，消费集合可表示为 X=xR:x，价格收入空间可写成：=(p,r)R R:(p 0)(r p)=(p,r)R R:(p 0)(r p)假定消费者具有Cobb-Douglass形式的效用函数：这种效用函数表示的消费者偏好是连续的、无满足的、内部严格凸的，并且满足假设 HU 和边界最差假设。因此，消费者均衡必然在消费集合内部实现。偏好的内部严格凸性还保证了消费者均衡的唯一性，从而需求映射是确定的。,其中 1+2+=1，i 0(i=1,2,)。下面，我们就采用这种对数形式的效用函数 u(x)。消费者的需求向量完全由边际方程确定，并且边际方程的解是唯一的。因此，边际方程
9、确定了需求映射 x=(p,r)(p,r)。,(1)效用函数的变形,上述效用函数使用起来不是很方便，因此需要选择一个表达同一偏好、使用起来方便的。这种把一个效用函数变成为另一个等价的效用函数的做法，就是效用函数变形。可以证明：就是v(x)的一个变形，其中 i=i/(1+2+)(i=1,2,)。另外，由于均衡在消费集合内部实现，因此不必考虑消费集合边界上的方案，从而效用函数w(x)还可以进一步变形成为更简单的形式：,边际方程,其中,(2)需求映射的求解,解的意义：p 是消费者必需的最小支出，pi i 是消费者要花费在商品 i 上的最小支出。上式说明,消费者把剩余收入 r p 按照比例 i 用于增加
10、商品 i 的消费量。在这个需求系统中,pi x i=pi i+i(r p)。这表明：消费者在商品i上的支出是各种商品的价格和收入的线性函数。鉴于此,人们把这个需求系统叫做线性支出系统，它在计量经济学中有重要应用。,(二)需求的连续性,消费者需求是消费者的预算集合中最好的商品向量。这样,需求的连续性将以预算的连续性为基础。没有预算的连续性，就很难保证当价格和收入变化很小时，需求的变化也很小。可喜的是，消费预算确实具有连续性。也就是说，用集映的观点看，消费预算也是一种集值映射:X，而且这个集映是连续的。定理(预算集映的连续性)设消费集合X 是商品空间R 的下有界非空闭凸子集，则预算集映:X 是连续
11、的闭对应。证明：X 的非空闭性保证了预算集映 为闭对应,加上X 的下有界性就保证了 上半连续；再加上 X 的凸性,便保证了 下半连续。定理(需求集映的上半连续性)设消费集合X 是 R 的下有界非空闭凸子集，偏好关系 连续。则需求集映 D:X 是上半连续的闭集值集映，并且还是对应。我们不能祈求需求集映的下半连续性，比如，前面的移动通讯需求就是上半连续但非下半连续的需求集映。推论(需求映射的连续性)在假设HC和HP下，消费者的需求映射:X 是连续的。,y,效用梯度：海森矩阵：切 平 面：切 空 间：显然，切平面是指无差异曲面的切面，而切空间是指切平面平移到原点位置时的平面，它是一个向量子空间。,二
12、、需求的可微性,当需求集映成为需求映射的时候，可通过运用微积分工具更加细致地分析价格和收入变动对需求的影响。但这种做法需要需求映射的可微性。中级微观虽然就是这么做的，但却没有说明其依据。事实上，需求映射的可微性不但与效用函数的严格拟凹性关系密切，而且对效用函数有更高的要求，这就需要进一步探讨效用函数的性质。我们将在假设HC、HP和HU下讨论，在此先介绍海森矩阵、切平面及切空间的概念。设效用函数为 u:X R，x X。,u(x),x,o,T(x),(x),无差异曲面,切面,切空间,(一)拟凹性、切平面与海森矩阵,效用函数的拟凹性蕴含着以下两个重要事实：拟凹性与切平面：切点是切平面上效用最大的点，
13、即(yT(x)(u(y)u(x)。拟凹性与海森矩阵：海森矩阵在切空间上半负定,即(y(x)(y u(x)y 0)。这里，符号T表示矩阵的转置运算。,u(x),T(x),y,x,无差异曲面,z,(z x)u(x)0,切点是效用函数在切平面上的最大值点这一事实表明,任何一点处的无差异曲面都在该点处的切平面的上方。海森矩阵为什么会在切空间上半负定呢？实际上，这是切点是效用函数在切平面上的最大值点这一事实的必然结果，也就是说,如果把效用函数的定义域限定在切平面上，那么效用函数在切点处取最大值的二阶必要条件就是海森矩阵在切空间上半负定。可见，以上两个事实说的是同一回事：切点是效用函数在切平面上的最大值点
14、。,T,(二)效用函数的强拟凹性,虽然效用函数的严格拟凹性保证了需求映射的存在，但却不足以保证需求映射可微。为了用微分法研究需求变动规律，需求映射就必须是可微的，这意味着对效用函数提出了更高的要求。事实上，保证需求映射可微的条件是效用函数的强拟凹性。,定义 设效用函数 u 严格拟凹并且在消费集合X 内部二阶可微。u 叫做在点 xX 处强拟凹,是指 u(x)0 且对任何 y(x),y 0,都有y u(x)y 0。如果 u 在 X 内部的每个点处都是强拟凹的,则称 u 是强拟凹的效用函数。,直观地说，效用函数的强拟凹性就是把海森矩阵在切空间上的半负定性加强为在切空间上负定，这相当于把效用函数在切平
15、面上达到极值的必要条件加强为充分条件。另外，强拟凹性是关于偏好的性质，与二阶可微效用函数的具体选择无关，即下述命题：,命题 若 u 和 v 是两个等价的二阶可微效用函数，则u 强拟凹当且仅当 v 强拟凹。本命题的证明留作作业。有了这个命题，在表达同一偏好的所有二阶可微效用函数中，如果有一个强拟凹，则全部都强拟凹。,T,1.强拟凹性与加边海森矩阵,效用函数 u 在点 x 处的加边海森矩阵 H(x)是指：,命题 设消费集合 X 是商品空间 R 的凸子集，效用函数 u:X R严格拟凹且在 X 内部二阶可微，x X。则 u 在 x 处强拟凹的充分必要条件是 u 在 x 处的加边海森矩阵 H(x)非奇异
16、。,下面考察需求的微分变动规律。假定：(1)消费集合 X 满足假设HC；(2)效用函数 u 在 X 内部二阶可微、无最大值、并且强拟凹；(3)均衡在 X 的内部实现：(p,r)(p,r)X)。这样，需求(p,r)由边际方程确定。把 x=(p,r)代入边际方程即得到边际等式,其中=(p,r)为拉格朗日乘数(p,r)。,2.基本矩阵方程,假定价格 p和收入 r 都发生了微小变化d p1,d p2,d p,d r，引起需求发生了变化d x1,d x2,d x。这些变化之间的关系可通过在边际等式两边求微分加以确定：,这依然是恒等式组，并且可用矩阵表示如下：,其中,用 E 表示 阶单位方阵，则上式又可改
17、写成：,此式称为需求的基本矩阵等式或基本矩阵方程。,基本矩阵方程表明，需求函数的可微性取决于矩阵 的可逆性，而这一点正由效用函数的强拟凹性所保证。,于是,此式称为斯勒茨基矩阵方程。,令，则。,x=(p,r)X。则矩阵 非奇异，并且需求函数 在点(p,r)附近连续可微(h=1,2,)。,(三)需求函数的可微性,命题 设消费集合X 是商品空间R 的下有界非空闭凸子集，效用函数 u:X R 无最大值、在 X 内部二阶可微、强拟凹,(p,r),需求函数的可微性表明，当价格和收入变化微小时，需求变化也很微小，并且需求的微小变动基本上与价格和收入的微小变动呈线性关系。这种线性关系可通过需求的基本矩阵方程来
18、求解如下：,三、替代效应与收入效应,现实中常常会遇到这样的情况，某种商品的价格并未变化，消费者收入也未变化，然而该种商品的需求量却变化了。这是为什么呢？其实，这种需求变动来自于其他商品价格的变化而引起的商品之间的替代效应。当一种商品的价格发生变化时，替代效应的存在不但会使其他商品的需求量发生变动，而且还会使该商品自己的需求量也发生变化。另外，当收入发生变化时，商品的需求量明显要受到影响。这种因收入变动而引起的需求量的变动，则是收入效应。前面得到的斯勒茨基矩阵方程，为我们研究替代效应和收入效应提供了方便、有效的工具。该方程中涉及的矩阵 S=Z=(shk)叫做斯勒茨基矩阵(Slutskys mat
19、rix),其元素 shk 叫做斯勒茨基系数。斯勒茨基矩阵方程也可写成方程组的形式：,此方程组称为斯勒茨基方程。,(一)价格与收入变动的效应,商品价格与收入的变化所引起的商品需求量的变动，称为价格与收入变动的总效应。事实上，任何一种商品的价格变动都会产生两种影响：一种是使其他商品的相对价格发生变化，另一种是使消费者的实际收入水平发生变化。这两种变化都会改变消费者对商品的需求量，而名义收入变动对需求的影响则不言而喻。即使名义收入不变，商品价格变动也会改变消费者的实际收入水平，而实际收入水平的变动必然会引起需求量的变动。因此，商品价格和(名义)收入的变动的第一个效应就是引起消费者实际收入水平变动。我
20、们把这种由价格和收入变动引起实际收入水平变动，进而由实际收入水平变动引起的商品需求量的变动，称为价格和收入变动的收入效应。除了收入效应外，价格变动还有替代效应。这就是说，当价格变动时，给消费者进行收入补偿以保证实际收入水平不变，这种在实际收入水平不变的情况下由价格变动所引起的商品需求量的变动就叫做替代效应，它完全是由于商品之间的相互替代所致。价格与收入变动的总效应等于替代效应与收入效应之总和：总效应=替代效应+收入效应,(二)总效应分析,根据斯勒茨基方程，d x=(S z x)d p+z dr，其中 x 为行向量，而 d x,z,p,d p 都为列向量。这说明：,因此，价格与收入变动的总效应为
21、：d x=S dp+(dr x dp)。,当价格上升d p时，消费者实际收入将减少 x d p，但由于名义收入也有一个变化 d r，因此实际收入变动为 d r x d p。当 d r x d p=0 时，实际收入水平不变，需求变动量为 d x=S d p。可见，S d p 就是替代效应，即在实际收入水平不变的情况下价格变动引起的需求量变动。鉴于这个原因，斯勒茨基矩阵 S 也叫做替代效应系数矩阵，简称为替代矩阵，并把斯勒茨基系 shk 数称作替代效应系数。再注意,x/r 表示收入增加一单位所引起的需求增加量,而实际收入变动为d r x d p,从而二者之积表示了实际收入水平变动引起的需求变动量，
22、即(dr x dp)x/r 正是收入效应。,xr,总效应 替代效应+收入效应,1.替代效应系数,根据 xh/pk=shk zh xk，zh=xh/r(h,k=1,2,)可知，,表示商品 k 的价格上升一单位而直接引起的商品 h 的需求增加量。但是，这个增加量是与消费者实际收入的下降相伴随的。表示在各种商品的价格都不变的情况下，收入 r 增加一个单位而引起的商品 h 的需求增加量。因此，这就是实际收入增加一单位而直接引起的商品 h 的需求增加量收入效应系数。,商品 k 的价格上升一单位直接引起商品 h 的需求量增加 xh/pk 个单位，但与之伴随的是消费者实际收入减少 xk个单位。然而，在保证实
23、际收入不变的情况下，减少的这 xk个单位的收入得到了完全补偿，从而引起商品h的需求量还要增加 xk xh/r个单位。这样，在实际收入水平不变的情况下，商品 k 的价格上升一单位所带来的商品 h 的需求量的增加量总共为 xh/pk+xk xh/r，这就是替代效应系数的含义：h 对 k 的替代效应系数 shk 表示在实际收入水平不变的条件下，商品 k 的价格上升一单位所引起的商品 h 的需求增加量。,2.价格变动的收入效应,在研究收入效应时，人们更加关注价格变动的收入效应。也就是说，假定消费者的名义收入不变,即dr=0，而商品价格发生了变动d p,从而导致消费者的实际收入发生了变动 xd p。由实
24、际收入水平的这一变动所引起的商品需求量的变动为(x d p)x/r,这就是价格变动的收入效应。具体来说，商品 h 对于价格变动 dp 的收入效应为(x1dp1+x2dp2+x dp)xh/r。当只有商品 k 的价格发生变动而其余商品的价格都未变时，商品 h 对于商品 k 的价格变动的收入效应就为 xk xh/r d pk。可见，系数 xkxh/r代表着商品 k 的价格上升一单位而其余商品价格以及名义收入都未变的情况下，因实际收入减少而引起的商品 h 的需求减少量。鉴于这个原因，我们把 hk=xk xh/r=zh xk 称为商品 h 对于商品 k 的价格变动的收入效应系数。换句话说,hk是指在除
25、商品 k 外的其余商品的价格都不变,并且名义收入也不变的情况下，商品 k 的价格上升一单位引起实际收入水平下降，进而由实际收入水平下降所引起的商品 h 的需求增加量(为负值)。,(三)替代矩阵的性质,定理 在假设HC、HP和HU成立且效用函数 u 强拟凹的情况下,替代矩阵S 必然是对称的半负定矩阵，S p=0 且(x/r)p=1。本定理的证明比较繁杂，这里略去。定理所述的替代矩阵的这种性质相当重要，通常称为斯勒茨基性质，它是衡量一种映射能否成为需求映射的关键条件之一。斯勒茨基性质：需求映射具有对称、半负定的替代矩阵。注意，不能保证替代矩阵的负定性，因为的确存在奇异的替代矩阵，这种矩阵肯定不是负
26、定的，充其量是半负定的，请看下例。例(奇异的替代矩阵)消费集合，效用函数,其中0 1。需求函数为：x1=r/p1,x2=(1-)r/p2。计算偏导数：,计算替代效应系数 shk=xh/pk+xk xh/r：,计算替代矩阵S的行列式：|S|=s11 s22 s12 s21=0。可见，S是奇异的。,T,替代效应的对称性：商品 h 对商品 k 的替代效应系数等于商品 k 对商品 h 的替代效应系数，即 需求的反向变动性：。这就是说，如果一种商品涨价而其余商品的价格不变，那么即使收入的变化恰好弥补了涨价引起的实际收入下降，消费者也不会增加对该商品的消费，而是更可能要减少其消费。原因在于，对于正常商品h
27、来说，xh/r 0。实际支出水平不变：S p=0，即。这就是说，在保证实际收入水平不变的条件下，商品 h 的价格上涨一个(微分)单位引起每一种商品 k 的需求量增加skh(=shk)个单位，从而消费者在每种商品 k 上的消费支出都增加 shk pk 个单位，实际总支出增加 个单位，即实际总支出水平不变。,上面的定理保证了替代效应具有如下几个特点：,1.替代效应的特点,我们再来讨论一下商品之间的替代性与互补性问题。初、中级微观经济学中，商品之间的替代性与互补性是通过一种商品的需求对另一种商品的价格的导数正负来判断的：导数为正替代；导数为负互补。其实，这种判别方法不够准确，因为商品价格的变动必然导
28、致消费者实际收入的变动，从而一种商品价格变动对另一种商品需求量的影响包括了替代效应和收入效应两个方面。这样一来，即使两种商品互为替代品，也可能会因为一种商品的价格上升所导致的实际收入下降而使另一种商品的需求量有所下降。由此可见，只有在实际收入水平不变的条件下，通过观察一种商品的价格变动对一种商品需求量的影响，才能准确判别这两种商品究竟是替代还是互补。也就是说，当 shk 0 时，商品 h 与 k 互为替代品；当 shk 0 时，商品 h 与 k 为互补品；当 shk=0 时，商品 h 与 k 互相独立。注意，shh 0 且 shk pk=0(h=1,2,)，因此 shk pk 0。这说明，消费
29、活动中商品之间的替代现象比互补现象更为普遍。,2.替代现象的普遍性,k=1,k h,k=1,(四)实际收入水平不变的意义,替代效应分析的前提是实际收入水平不变，即dr=x dp。这是一个微分表达式，它的真实含义是什么呢？为了分析这个问题，我们来看一看在 dr=x dp 的条件下间接效用函数 的各个偏导数情况。,这就得到了如下的恒等式，称为罗伊恒等式(Roys identity)：,解释：当商品h的价格上涨一个(微分)单位时，消费者实际收入减少 xh个单位，效用增加/ph(0)；给消费者补贴以使实际收入水平不变,则效用增加 xh/r；于是,在实际收入不变的条件下,商品h的价格上涨一单位引起的效用
30、变化为/ph+xh/r。罗伊恒等式指出此值为零,因而实际收入水平不变就保证了效用水平不变。这就是实际收入水平不变的意义：d r=x d p 意味着价格与收入的变化不改变消费者的效用水平(即生活水平)。,替代效应,罗伊恒等式图示,p+dp,p,(p+dp,r+dr),(p,r),x,x+dx,实际收入不变：dr=x dp,商品X的价格下降,X,Y,补偿预算线,商品Y的价格不变名义收入也不变,由于/r 0，因此(dr=x dp)(d=0)。这就进一步严格证明了条件“实际收入不变”与“效用水平不变”等同。罗伊恒等式的意义正在于此。,收入效应,四、需求弹性,尽管替代效应与收入效应反映了价格与收入变化对
31、消费需求的影响，但这却与商品、价格及收入的量纲有关。为了消除量纲的影响，人们引入了弹性分析，中级微观经济学对此已有过讨论。这里来研究需求弹性同替代效应和收入效应之间的关系。需求弹性分为价格弹性、交叉弹性和收入弹性三种。价格弹性和交叉弹性可统一表示为：Ehh(x)是价格弹性，Ehk(x)为交叉弹性(h k)。,习惯上总用eh(x)=Ehh(x)表示商品h的需求价格弹性，这是因为需求法则的存在。这里也加以区分：称 Ehh(x)为价格弹性,称 eh(x)为需求价格弹性。商品 h 的收入弹性 Ehr(x)是商品 h 的需求量变动幅度与消费者收入变动幅度之比，即,(一)需求弹性、替代效应与收入效应,(二
32、)各种弹性之间的关系,这是一个重要的事实，它说明一种商品的需求价格弹性等于该商品的各种交叉弹性与收入弹性之和：,由此可知：,由此可见，需求价格弹性是各种交叉弹性与收入弹性的综合反映，是最重要的弹性。这就是在研究需求弹性的时候人们主要关注需求价格弹性的原因所在。,1.无差异曲线是否受商品价格和消费者收入的影响？2.证明：如果 是消费者的效用函数，那么函数 也是消费者的效用函数，即v(x)是与u(x)等价 的效用函数，其中。3.从消费者角度解释拉格朗日乘数的意义。4.证明：若 u 和 v 是两个等价的二阶可微效用函数，则 u 强拟凹 当 且仅当 v 强拟凹。5.推导需求基本矩阵方程。6.解释 pz=1 的经济含义，其中 z=x/r 需求映射 x=(p,r)对于收入 r 的偏导数向量。,第四次作业(10月30日之前提交),
