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1、1,一、基金最佳使用计划,1、问题的提出,某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行 或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。,假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。,2,校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，,每年的奖金额。,请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，,并对,万元，,年给出具体结果：,1）只存款不购国库券；,2）可存款也可购国库券,3）学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。,要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金,数额。,校基金会希望获得最佳的基金使用计划，
2、以提高,3,2、问题分析,定期存款年限越长，存款税后年利率越大。因此，在不影响奖金发放的情况下，应尽可能存年限较长的定期存款，这样才能获得较高的利息。此基金的最佳使用计划是：拿出一部分基金存入一年定期，一年后的本息 全部用于发放第一年的奖金再拿出一部分基金存入二年定期，二年后的本息全部用于发放第二年的奖金 以此类推，且每年发放奖金数额相同最后一年存入银行的款项在发完奖金后仍然为基金总额M。,4,同期国库券年利率明显高于银行存款的年利率，尽可能多购国库券 国库券发行时间不固定，若一味的追求高利率，可能会增加活期存款所占的比重，平均年利率不一定为最优。分析研究在每个年限n种最佳的方案归纳出公式，并
3、针对具体数值M=5000万元，n=10年求出最佳存储方案用问题一、二所归纳出的方案，只需把第三年的奖金增加20%，再分别代入两个最优方案，可求出在两种不同情况下的最佳基金存款方案。,5,3、模型假设,1）每年发放奖学金一次，且均在年末发放。,2）银行发行国库券时间不固定。,3）国库券可在发行当日购买。,4）国库券在没有到期之前，不得进行贴现。,4模型建立,问题一：只存款不购买国库券的情况。,定理1 一定数额的资金H先存定期m年再存定期k,年和先存定期k年再存定期m年，本息和相等。,6,证明：,设Lm、Lk分别为定期m年和k年的年利率,先存定期k年再定期m年的本息和为,先存定期m年再存定期k年的
4、本息和为,定理1得证。,推论1、一定数额的资金H若把存款年限n分成j个存期，,其中，ni0.5,1,2,3,5，则n年后本息和与存期顺序无关。,资金H:,7,定理2、使一定数额的资金H存储n年后本息和最大的存款策略为,当n=1时，存定期1年；,当n=2时，存定期2年；,当n=3时，存定期3年；,当n=4时，先存定期3年，然后再存定期1年；,当n=5时，存定期5年；,当,时，首先存储,个5年定期，,剩余年限存储情况与,时相同。,证明：,下表中用形如(I,j)的形式表示存款策略，,(I,j)表示先存i年定期，再j年定期。,8,表1 银行存款各种存款策略年均利率,9,由上表可得，任何最佳存款策略中不
5、能存在以下的存款策略(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)和（3,3）。,由1,2,3,5四种定期能够组成的策略（5年定期不重复）只能有（1）,（2）,（3）,（3,1）,(5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,3,1)九种，,它们分别对应n=1到9年的最优存款策略，,当,时的最佳存款策略只能是首先重复存,个定期5年，,剩余年限,只能是1、2、3、4,当,=3时，再存3年定期；,当,=4时，先存3年定期，再存1年定期。,定理2得证。,10,定理3 基金M使用n年的情况，首先把M分成n份,其中第,份基金,存款期限为,年，,那么只有当第,份基金,按最优,年后,策略存款,存款,的本
6、息和等于当年的奖学金数,并且第n份基金按最佳存款策略存款n年后的本息和等于,原基金M与当年的奖学金数之和时，每年发放的奖学金才能达到最多。,证明：,当n=1时，即将基金存入银行一年后的所得利息全部用于发放奖学金，此种情况显然成立。,当,时，首先需要证明：,第一份基金,存入银行1年定期，,到期后本息和正好,等于奖学金数额,即,11,下面试用反证法予以证明：,假设,，可分两种情况：,（一）假设,，那么基金,存入银行1年后，,到期本息和小于奖学金数额,为了使每年的奖学金数额尽可能相同，所差资金,只能从其它定期存款中按活期存款提前支取，,这样的,结果比按,存入一年定期（即到期,本息和正好,等于奖学金数
7、额），,其它基金均按定期,的总利息要少。,为使奖学金数额最大，,所以,存款,12,（二）假设,，那么基金,存入银行1年，,到期后本息和大于奖学金数额,剩余资金再按最优存款策略存k年，这种情况所,得利息显然不比在开始时多余部分资金直接最优,存款策略存,年后利息多，,所以,因此,同理可证，为使奖学金数额最大，第i份基金,按最优存款策略存i年后本息和应正好等于奖学金数额。,第n份基金为,存储n年应按最佳策略存款。,13,根据问题条件，第n份基金按最优策略存n年后,所得本息和应为,定理3得证。,5模型的求解,由定理1、2及定理3可得n年的最佳存款方案公式一:,其中,表示把基金M分成n份中的第i份基金，
8、,p为每年的奖学金数额,14,15,根据上公式可用,求得n=10年，M=5000万元时,基金使用的最佳方案：,奖学金,（万元）,16,表2,值及其存i年的最佳存款策略,17,M=5000万元，n=10年基金使用最佳方案（单位：万元）,18,M=5000万元，n=10年基金使用最佳方案（单位：万元）,19,问题二的求解,我们对可购买国库券也可存款这种情况，考虑到国库券发行日期不定，若准备购买它，则一般需要等待一段时间，因为一年内至少发行一次国库券，有可能上半年发行，也有可能下半年发行，所以我们首先把准备购买国库券的资金全部按半年定期存储，如果上半年未发行国券，7月1日取出本息后再存半年定期，如果
9、下半年的某日比如8月1日发行国库券，则取出资金购买国库券，但这部分资金未到期，只能按活期计息。,如果是购买两年国库券，则两年国库券到期，因未到期末，肯定面对继续采取怎样的存储策略的问题，或者存定期，或者存活期，或者等待购买国库券。,20,如果等待购买国库券，因国库券发行时间未定，有可能还要等待将近一年的时间，如果准备存整年定期，那么等到基金使用最后一年的8月1日即可到期，剩下的5个月只能存活期。,根据定理2可得：,推论2 购买国库券时，需要存半年的定期和总共半年的活期。,一定数量的资金存储n年，存期种类相同，任意改变顺序，本息保持不变，再加上以上分析，如果准备购买两年期国库券可以这样想象：先存
10、半年定期，再存1个月的活期，在8月1日购买两年期的国库券，两年后的8月1日取出国库券本息后，再存5个月的活期，即需要存半年的定期和总共半年的活期。,21,单位资金购买两年国库券、存入银行半年定期和半年活期后的本息为：,这种存款策略稍劣于存入银行的三年定期，,其年利率为：,同理，单位资金购买三年期国库券、存入银行半年定期和半年活期后的本息为：,这种存储策略稍优于存入银行的四年定期，其年利率为：,22,单位资金购买五年期国库券、存入银行半年定期和半年活期后的本息为：,这种存储策略稍优于存入银行的六年定期，其年利率为：,在上面的分析中，因购买国库券而带来的总共半年的两次活期存款，其本息是按一次半年活
11、期计算的它与按一次半年活期计算，其本息差别很小，可以忽略不计。,所以，可以不考虑购买两年国库券情况。,23,购买三年期国库券再加半年活期和半年定期共四年的平均年利率2.499%大于先存三年定期再存一年定期存款最大的四年平均年利率2.099%。,所以，增加一项定期四年存款，其年利率为2.499%。,购买五年国库券再加半年活期和半年定期共六年的平均年利率2.852%大于先存五年定期再存一年定期存款最大的六年平均年利率2.255%.,所以，增加一项定期六年存款，其年利率为2.852%,综上分析，可购买国库券的最优银行存款税后利率如下表6-16.,24,当n=1时，基金只能存入银行，使用方案参照问题一
12、。,当n=2时，可购买国库券，但国库券发行日期正好在1月1日的概率非常小，也只能把基金存入二年定期，而不购买国库券。,25,根据以上的推理，可得n年的最优存储方案公式二为：,26,据上公式用,可以求得n=10年，M=5000万元时,基金使用的最优方案：（单位：万元）,每年奖学金：,27,28,问题三求解：,方案一：只存款不购买国库券,因学校要在基金到位后的第3年举行校庆，所以此年奖金应是其他年度的1.2倍，,计算公式只需把公式一、公式二中：,改为,利用matlab 软件求解（程序略）M=5000万元，,n=10年基金使用最佳方案：（单位：万元）,29,M=5000万元，n=10年基金使最佳方案
13、（单位：万元）,30,M=5000万元，n=10年基金使最佳方案（单位：万元）,31,方案二，既可存款又可购买国库券,当n=1,2时不涉及到校庆问题，分配方案参照问题二。,当n=3时，将钱直接存入银行，分配方案参照问题一。,当n=4时，执行方案为购买三年期国库券、一个半年定期与一个半年的活期，策略为：,32,解得：,根据以上的求解，只需将问题二最优方案中第三年的奖学金数乘以1.2即可得到本方案的最佳使用情况。,33,利用Matlab软件求解M=5000万元，n=10年基金使用最优方案：（单位：万元）,每年奖学金：,34,6模型评价,本模型有以下优点：,模型在建立过程中充分考虑到学校基金的特殊性，得出最佳的分配方案。,2、利用Matlab软件编程进行求解，所得结果误差小，数据准确合理。,35,3、利用优化组合法，分组比较，得出一段年限内最大的平均利率。,4、该模型实用性强，对现实有很强的指导意义。,5、购买国库卷时，证明了发行日期对利率的影响很小，可以忽略不计，使问题简化。,
