塑性力学-屈服条件.ppt

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1、弹塑性力学 教师:王晓红办公室：工北-316电话：82903261电子邮件：,弹塑性力学 第二篇:塑性理论,第二章 屈服条件,物体受力以后产生变形。随着力的增加，到一定程度时，变形由弹性的变成非弹性的，即开始产生永久变形。,由弹性过度到非弹性的条件是什么?也就是说将物体从自然状态开始加载，当应力达到什么程度时开始产生塑性变形，以及，应力如何变化才能使塑性变形继续发展。前者是初始屈服问题，后者是后继屈服问题。,这就是本章要讨论的主要内容。本章着重介绍常用的作为判断延性金属开始塑性屈服的两个条件，即Tresca 条件和Mises条件。然后，再讨论一下变形硬化的问题，即后续屈服的问题。,在分析复杂应

2、力状态的塑性变形规律之前，我们先来观察一下大家所熟知的简单拉伸实验。,1.简单拉伸时的塑性现象,1.1 简单拉伸实验,-假定所用的材料具有弹塑性现象，是各向同性的，对拉伸和压缩具有相同的力学性质，即对于初始材料，先拉或先压，其力学性能是相同的。,从实验结果可以绘出其-曲线,从实验结果可以绘出其-曲线,-如图所示：它是忽略了一些次耍的因素而稍加理想化了的应力-应变曲线图，但反映了常温、静载下，材料在受力过程中应力-应变关系的基本面貌，显示了材料固有力学性能，从这里我们可以看到：,（1）随着荷载的增加，在变形的最初阶段，直到A点以前，应力和应变 成直线关系：,弹性模量,（1）随着荷载的增加，在变形

3、的最初阶段，直到A点以前，应力和应变 成直线关系：,弹性模量,由于超过A点以后，就不再保持上述的比例关系，所以与A点相应的应力叫材料的比例极限。如果在A点以前将荷载逐渐消除，变形即跟着完全消失，所以在OA段内仅有弹性变形。,（2）当荷载继续增加，此时变形的增长比在A点之前稍大，但在未超过B点以前，变形仍是可以恢复的。所以将与B点相应的应力叫做材料的弹性极限。它表示材料不致产生残余变形的最大应力值。,(3)继续加载达到C点时，变形增长得较快。过C点后，在几乎不增加荷载的情况下，变形会继续迅速增加。这时，发生了显著的残余变形，材料达到屈服阶段。与C点相应的应力就称为材料的屈服极限。,像软钢一类材料

4、具有明显的屈服阶段，-e 曲线在这时有一个明显的平缓的部分(下左图所示)。但有些材料(如铝合金）没有明显的屈服阶段(下右图)。在工程上往往以残余变形达0.2%时作为塑性变形的开始，其相应的应力 作为材料的屈服应力.,由于-般材料的比例极限、弹性极限和屈服极限相差不大，为了方便，通常不加区分。我们以后都用，并称为屈服应力。,0.2,-由于材料是各向同性的，如果开始不做拉伸实验，而做压缩实验，则压缩应力-应变曲线将和拉伸时的曲线一样。-初始弹性阶段：这样，我们可以认为材料在应力到达屈服极限，以前（）是弹性的，应力与应变成正比，即服从Hooke 定律，这个阶段称为初始弹性阶段。,-初始屈服点：曲线上

5、和 相应的点是初始弹性阶段的界限，超过此界限以后材料就进入塑性阶段了，所以把它称为初始屈服点。-材料由初始弹性阶段进入塑性的过程就称为初始屈服。,（4）当材料屈服到一定程度时，它的内部结构因为晶体排列的位置在改变后又重新得到调整，使它又重新或得了继续抵抗外载的能力。-应变硬化：在继续加载后，曲线在屈服后继续上升，这就说明材料在屈服以后，必须继续增大应力才能使它产生新的塑性变形。这种现象称为应变硬化或加工硬化，简称为硬化。这个变形阶段称为硬化阶段。,-应变软化：当曲线到达最高点E时，荷载达到最大值，此时，由于颈缩现象的出现，在E点以后荷载开始下降，直至断裂。这种应力降低、应变增加的现象称为应变软

6、化，简称为软化。和E点相应的应力就称为强度极限。,（5）如果将试件拉伸到塑性阶段的某点，例如D点，以后逐渐减小应力，即卸载，则-e 曲线将沿着大致与OA 平行的直线 下降。在全部卸除荷载之后，留下残余变形。表示全应变e，是可以恢复的应变即弹性应变 是不能恢复的应变，即塑性应变，则：即全应变等于弹性应变加上塑性应变。,-若在卸载后重新加载，曲线基本上仍沿 上升至D时又开始产生新的塑性变形，好像又进入了新的屈服，然后顺着原来的DE 线上升，就像未曾卸载一样。,（2-1）,-后继屈服：为了与初始屈服相区别，继续发生新的塑性变形时材料的再度屈服称为继续屈服或后继屈服，相应的屈服点D称为后继屈服点。相应

7、的屈服应力：称为后继屈服应力。,-由于硬化作用，使材料的后继屈服极限比初始屈服极限提高了，即 而且和 不同，不是材料常数，它的大小是和塑性变形的大小和历史有关的。,-这个效应说明对先给出某方向的塑性变形的材料，如再加上反方向的荷载，和先前相比，抵抗变形的能力减小，即一个方向的硬化引起相反方向的软化。这样，即使是初始各向同性的材料，在出现塑性变形以后，就带各向异性。虽然多数情况下为了筒化而不考虑Bauschinger 效应，但对有反复加载的情况必须予以考虑。,（6）Bauschinger效应：如果在完全卸载后施加相反方向的应力，譬如由拉改为压力，则曲线沿 的延长线下降，即开始是成直线关系（弹性变

8、形)，但至一定程度(点)又开始进入屈服，并有反方向应力的屈服极限降低的现象，这种现象称为：Bauschinger(包辛格）效应。,-后继弹性阶段：卸载的过程中，从D到，虽然也是线性关系，应服从Hooke定律，但不能写成全量形式，而应写成增量关系，这是因为全应变中有一部分是塑性应变，并不服从弹性定律。这个变形阶段称为后继弹性阶段，后继屈服点就是它的界限点，且这种界限点的位置是随塑性变形的大小和历史而改变的。,-从这个简单拉伸实验所观察到的现象可以知道，和弹性阶段不同，塑性的变形规律即本构关系应具有以下几个重要的特点：,(1)首先要有一个判断材料是处于弹性阶段还是已进入塑性阶段的判断式，即屈服条件

9、，对简单拉伸或压缩应为状态。这个判别式为：,初始屈服条件：后继屈服条件：,是常数，而 的大小由塑性变形的大小和历史所决定，它们都是取绝对值。,(2)应力和应变之间是非线性关系。,(2)应力和应变之间是非线性关系。,(3)应力和应变之间不存在弹性阶段那样的单值关系，因为加载和卸载是分别服从不同的规律。这一点又决定了它和非线性弹性问题不同。-在单向拉伸或压缩应力状态下，这些关系可表示为：,弹性阶段：（当 时）弹塑性阶段：（当 时）加载（），（非线性关系）卸载（），（线性关系）,因为加载和卸载时服从不同的规律，因此，如不指明变形路径（历史）是不能由应力确定应变（右图）或由应变确定应力（左图）,加载（

10、），（非线性关系）卸载（），（线性关系）,同一应力对应不同的应变,同一应变对应不同的应力,-由此可知，塑性变形的规律远比弹性变形的规律复杂得多，它是一个非线性的、加载与卸载不同的复杂关系，这就决定了塑性力学远比弹性力学复杂。,-所以，在塑性为学中，为了能使复杂的问题得到解决，常常不得不引进一些恰当的假设，使问题得到合理的解决。,-在确定力学模型时，要特别注意使所选取的力学模型必须符合材料的实际情况，只有这样才能使计算结果反映结构或构件中的真实应力及应力状况。-另一方面，要注意所选取的力学模型的数学表达式应该足够简单，以便在求解具体问题时，不出现过大的数学上的困难。,(1)理想弹性力学模型,符合

11、材料的实际情况。数学表达式足够简单。,2.力学模型的要求：徐;p80,弹性变形：应力与应变之间是一种线性关系,应力和应变关系的数学表达式:,在此阶段中，外载荷引起的应力，应变和位移，与加载次序和历史无关。在除去外载后，物体完全恢复到初始状态，而且在物体中没有任何残余应力和残余变形。,(2)理想弹塑性力学模型,弹性变形阶段(OA):应力与应变(线性关系)塑性变形阶段(AB)：材料进入塑性状态后，如不考虑材料的强化性质，则可得到如图所示的理想弹塑性模型。,(徐3-9),A,B,(3)线性强化弹塑性力学模型,E,E1,当考虑材料的强化性质时，可采用线性强化弹塑性力学模型图中有两条直线，OA 和 AB

12、，其解析表达式为：,o,A,B,式中，E 及 E1 分别为线段OA及AB 的斜率,(徐3-10),由于 OA 和 AB是两条直线，也称双线性强化模型。,s,=1,（4）幂强化力学模型,n：强化指数：0 n 1,为了避免解析式在 处的变化，有时可以采用幕强化力学模型,上式所代表的曲线在=0处与轴相切，而且有下列公式：,=A 当 n=1，（a）,=A 当 n=0，（b）,(a)式代表理想弹性模型，若将式中的A用弹性模量E代替，则为胡克定律的表达式。而式(b)的A 用s代替。则为理想塑性(或称刚塑性)力学模型。,通过求解式(a)和(b)则可得=1，即这两条线在=1 处相交,（6）线性强化刚塑性力学模

13、型,（刚塑性力学模型）,（5）理想塑性力学模型,在许多实际工程问题中，弹性应变比塑性应变小得多，因而可以忽略弹性应变，若不考虑强化效应，则称这种模型为刚塑性力学模型。这一模型假设:在应力到达屈服极限之前应变为零。,线段AB 平行于轴，卸载线平行于轴。,卸载线平行于轴。,A,B,A,B,在塑性力学中，刚塑性力学模型具有重要意义。在塑性成形理论中的许多情况下，塑性应变一般都比弹性应变大得多，所以忽略弹性应变而只考虑塑性应变是合理的，对总体的计算结果影响不大。,采用刚塑性力学模型给数学计算带来较大的简化。使许多复杂问题能获得完整的解析表达式。在以上所提及的几种力学模型中，理想弹塑性、幂强化及理想刚塑

14、性力学模型应用最为广泛。,3.初始屈服条件和初始屈服,问题：当应力（或变形)发展到什么程度开始屈服呢?也就是要找出在物体内一点开始出现塑性变形时其应力状态所应满足的条件，称为初始屈服条件，有时简称为屈服条件，又称为塑性条件有了这个条件就不难回答上面的问题。,物体受到荷载作用以后，最初是产生弹性变形，随着荷载的逐渐增加至一定程度，有可能使物体内应力较大的部位开始出现塑性变形，这种由弹性状态进入塑性状态是初始屈服。,（1）初始屈服条件,对简单的应为状态，这个问题容易回答。,-简单拉伸：当拉应力达到材料屈服极限 时开始屈服，所以这个条件可写成,或,-纯剪状态：当剪应力 达到材料剪切屈服极限时开始屈服

15、，即纯剪的屈服条件为：,或,复杂应力状态：（确定材料的屈服界限就不那么简单）例如：薄壁圆管受内压P、拉力F和扭矩T作用，管子平均半径r，壁厚为t，tr。,复杂应力状态：（确定材料的屈服界限就不那么简单）例如：薄壁圆管受内压P、拉力F和扭矩T作用，管子平均半径r，壁厚为t，tr。,显然，对于不同的外力组合，所产生的应力状态不同。如何确定屈服极限？,组合应力,因此，在一般情况下，应力状态是由六个独立的应力分量确定的，显然不能简单地取某一个应力分量作为判断是否开始屈服的标准，何况这六个分量还和坐标轴的选择有关。,对应于不同应力状态的屈服条件：在一定的内力组合下，所产生的应力随着内力的增加而进入塑性状

16、态，于是就可得到这种应力状态的屈服条件。确定这种屈服条件，也要通过实验确定。由于这种内力组合是多种多样的，实验的次数也将很多，不可能一一做到。所以要以实验为基础，从理论上寻求其规律，找出屈服条件的解析式，建立屈服条件的理论。,（2-2）,有一点可以肯定的是屈服条件应该和这六个应力分量有关，还和材料的性质有关，即屈服条件可以写成下面的函数关系,（2）初始屈服函数,或,该函数就称为初始屈服函数,屈服条件是与该点的应力状态即6个应力分量有关的，反映了这6个应力分量对屈服的影响：,它是初始弹性阶段的界限，应力点落在此曲面内的应力状态为初始弹性状态，若应力点落在此曲面上，则为塑性状态。,表示在一个六维应

17、力空间内的超曲面，屈服条件成立。六维应力空间是指6个应力分量x,y,的全体所构成的抽象空间，空间中任一点代表一个确定的应力状态。代表这一空间内的曲面，不同于普通空间内的曲面，称之为超曲面。,进一步讲：,-这个曲面就是由达到初始屈服的各种应力状态点集合而成的，它相当于简单拉伸曲线上的初始屈服点。,-这个曲面就是由达到初始屈服的各种应力状态点集合而成的，它相当于简单拉伸曲线上的初始屈服点。,例：简单拉伸时，屈服应力0，用6维空间来描述，坐标(0,0,0,0,0,0)的点就在屈服面上。受扭转薄壁管的纯剪切屈服应力为0，坐标(0,0,0,0,0,0)的点也是屈服面上的一个点。(以上均为屈服面上的特殊点

18、),显然，用六个应力分量描绘屈服曲面不容易,-若材料不仅是均匀的，而且是各向同性的(即对任一点的任何方向其力学性质都相同)，f 应该和应力的方向无关。因此，f 应该用和坐标轴的选择无关的应为不变量来表示,如用三个主应力来表示为：,或用应力张量的三个不变量来表示为：,（2-3）,（2-4）,（3）如何描绘屈服曲面,实验结果证明，各向均匀应力状态，即球形应力状态（静水压力）只产生弹性的体积变化，而对材料的屈服几乎没有影响，因此，可以认为这个屈服条件和平均应力，亦即和 无关，所以 f 又可以用应力偏张量的不变量来表示。注意：,（2-5）,或用应力偏张量的三个不变量来表示为：,（2-5）,讨论：1屈服

19、条件可化为应力偏量的函数。2 屈服函数可在主应力构成的坐标空间（主应力空间）内来讨论。3 主应力空间是一个三维空间，在这一空间内，屈服函数的几何图像可以直观的绘出，有利于对屈服面的认识。4 由 因应力偏量第二不变量恒为正值，第三不变量 I3 当应力变号时I3也变号，故屈服函数f 必为I3 的偶函数。,-屈服面：在应力空间中，将实验所得各种应力状态下初始屈服时的应力点连起来构成一个空间曲面，即屈服面。,屈服面的定义,-它将应力空间分成两部分：应力点在屈服面内属弹性状态，在屈服面上属弹性状态的极限和塑性状态的开始；在屈服面外则属于塑性状态的继续。,-回顾平面和静力应力线,平面法线上应力点矢量特征,

20、讨论：(a)若应力空间中一点P1已达到屈服状态：其应力矢量OP1在平面上分矢量OS1.过P1点且平行于平面法线ON的直线AB上的任一点P(P1,P1,)，其应力矢量在平面上的分矢量皆为OS1，即应力偏量相同。即当P1点达到屈服状态（屈服面上的一点）时，AB线上各应力点亦同时达到屈服。AB是屈服面上的一条直线。(b)同样过P2点平行于ON的DE线上的各点也随着P2点同时达到屈服。,平面法线上应力点矢量特征,讨论：(c)由此判定，屈服面的几何图形是柱形体，其轴线为ON，其母线垂直于平面。,屈服面是柱形体屈服曲线在面上,(d)既然是柱面，它在任意垂直于ON的平面上的情况是一样的。所以，要研究这个柱面

21、上各点的情况，只要研究柱面在与其垂直的平面上的投影即可。该投影是一个曲线C。,-初始屈服曲线:因此屈服面的形状可用与平面的截线C来表示。截线C称之为“屈服轨迹”，也叫初始屈服曲线。,-初始屈服曲面：这个柱面就是初始屈服曲面.,以上讨论由三方面含义：应力空间中任一条平行于平面法线ON的直线AB上各点的应力偏量分量均相等，只是静水压力分量不同。一点的塑性屈服只取决于应力偏量状态，与静水应力无关。屈服函数在平面上是一条封闭曲线，称之为屈服曲线。,平面法线上应力点矢量特征,屈服面是柱形体屈服曲线在面上,屈服曲线C具有如下性质：,（1）屈服曲线是一条封闭曲线，坐标原点一定被包围在曲线之内。从物理概念上理

22、解：坐标原点是一个无应力状态，材料当然不能在无应力下屈服，所以屈服曲线不可能通过原点。又由于在初始屈服面内是弹性状态所以屈服曲线一定是封闭的，否则将出现不屈服的状态，这是不可能的。,-材料的初始屈服只有一次，所以由O向外作的直线与C只能相交一次，即曲线C是外凸的.如图所示的那种情况是不可能的。,(2)屈服曲线与任一坐标原点出发的向径必相交一次，且仅有一次。材料在一种应力状态下达到屈服，就不可能又在与此应力状态形态一致的另一应力状态达到屈服，即初始屈服只有一次。,（3）如以纸面为平面，三个主应力轴1,2,3在平面上投影为1,2,3，考虑材料是初始各向同性的，因此坐标变换对屈服没有影响。所以曲线C

23、对称于直线LL（1），MM（2），NN（3）。例如应力点(1,2,3)是屈服面上一点，则(1,3,2)也必是屈服面上一点。因此，1保持不变，轨迹C必然和直线LL（1）对称。同理屈服轨迹必和MM（2）及NN（3）对称。,屈服轨迹的特性,(4)考虑到材料的拉伸与压缩屈服极限相等，如果应力点(1,2,3)在屈服面上，则应力点(-1,-2,-3)亦必在屈服面上。因此通过O点作一直线，其两端与曲线C的交点一定与点O对称。联系性质3 则屈服轨迹必和LL，MM，NN的垂直线AB，CD，EF对称。这样，屈服轨迹就有6个对称轴，曲线C由12个相同的弧段组成。因此进行屈服条件的实验研究中，只要确定一个弧段，即30

24、o范围的图形即可。然后利用对称性，就可确定整个屈服曲线，进而得到三维主应力空间中的屈服面。,屈服轨迹的特性,棍据上面的分析可知屈服曲线C可分成形状相同的12 个部分(如图所示)。为此，只要考虑 C 的1/12 即可，而这C的1/12 的具体形状应根据材料实验决定。这时只要采用代表应力状态的矢量OP位于某一选定幅角中的应力组和就足够了。,譬如，决定应力矢量OP的位置的应力Lode角 取为，则根据公式，此时应力Lode 参数为，实验时，采用这样一个取值范围内的应力组合就能够完全确定屈服曲线的具体形状。,4.Tresca(特雷斯卡）和 Mises（米泽斯）屈服条件,对屈服条件的研究已有两个世纪。所谓

25、屈服条件，就是材料进入塑性状态时应力分量之间所必须满足的条件。伽俐略(Galilieo)曾认如材料进人塑性状态是最大主力所引起的。此后圣维南(Saint-Venant)又认为最大主应变能判断材料是否进人塑性状态。这两个假说都被后来的实验所否定，因为在各向等压时，压应力可以远远超过材料的屈服极限s，而材料并未进入塑性状态。这个实验结果与他们所提出的假说是矛盾的。,在此之后的贝尔特拉密（Beltrami)提出，当物体的弹性能达到某一极限值时，材料便进入塑性状态。但这个假说由于将形状改变能和体积变形能混在一起考虑，因而和实验结果也是不符合的。,1864 年法国工程师特雷斯卡（Tresca)在作了一系

26、列金属挤压实验的基础上，发现了在变形的金属表面有很细的痕纹，而这些痕纹的方向很接近最大剪应力的方向，因此他认为金属的塑性变形是由于剪切应力引起金属中晶体滑移而形成的。这就是我们要学的特雷斯卡（Tresca)屈服条件,（1）特雷斯卡（Tresca)屈服条件,(i)Tresca 屈服条件定义：当最大剪应力达到材料所固有的某一极限值 0 时，材料开始进入塑性状态，即开始屈服。所以这个条件就称为最大剪应力条件，又称为Tresca 屈服条件。因此，Tresca 屈服条件可用数学式表示为：max=KK为材料的剪切屈服应力，对不同材料的K值，要由实验确定。,如果主应力次序已知时：则Tresca 屈服条件也可

27、写成：,或,或,（2-6）,（2-7）,单向拉伸时：,纯剪切应力状态时：,例：1o.对简单拉伸，1=0，2=3=0 屈服条件：0=2K 即 2o.对纯剪切，1=-3=0，2=0 屈服条件：0=K 即 K=0于是：纯剪切屈服极限是简单拉伸屈服极限的一半，即,在一般情况下，往往无法事先判明物体内各点的三个主应力大小的顺序，所以通常将该条件写成如下形式：,上式中至少有一个等式成立时，材料才开始塑性变形，否则仍处于弹性阶段。,或者,如果将该条件表示成完整的式子,则上式可改写成一般形式 写成应力偏量不变量的表达式：这个式子太复杂了，在一般情况下都不采用。显然，在不知道主应力大小次序时，该条件使用起来很不

28、方便。,（2-8a）,（2-8b）,（2-8c）,-表示：和平均应力m 和 1 无关。所以在应力空间中，它表示一对平行于 1 和 L 直线（平面法线）的平面。,-表示：和平均应力m 和 2 无关。所以在应力空间中，它表示一对平行于 2 和 L 直线（平面法线）的平面。,-表示：和平均应力m 和 3 无关。所以在应力空间中，它表示一对平行于 3 和 L 直线（平面法线）的平面。,(ii)Tresca屈服条件在主应力空间中的表示：,-由这六个平面组成的屈服曲面是一个以L为轴线的正六棱柱体，其在平面上的投影即屈服曲线为一个正六边形。-故Tresca屈服条件建立了与坐标轴成等倾斜的各边相等的正六棱柱体

29、，称为Treasca六边形.,正六棱柱体在平面上的投影即屈服曲线为一个正六边形，即：屈服轨迹是一个正六边形，外接圆半径为（即 2K 在面上投影）。,例：在平面应力状态下，令3=0则 1-2=2K 1=2K 2=2K屈服轨迹是斜六边形。,应力点处于六边形内部时，材料处于弹性状态。当应力点达到屈服六边形上任一点时,材料开始进入塑性状态。Tresca条件的局限性：屈服轨迹不是光滑曲线，数学上应用困难。没有考虑中间应力影响。,(iii)Tresca屈服条件中的特点及局限性：,（2）米泽斯（Mises)屈服条件,特雷斯卡屈服条件在平面上的投影是一个正六边形，它的六个顶点是由实验得到的，但连接这六个点的直

30、线却是假设的，而且屈服曲线上有角点，给数学处理上带来了困难。因此，在1913年，米泽斯(Mises)提出采用一个圆来连接特雷斯卡正六边形的六个顶点可能更加合理，因为它可以避免由于屈服曲线不光滑而造成的数学上的困难。,(i)米泽斯（Mises)屈服曲线的定义：根据上面的设想，米泽斯（Mises)屈服曲线就是特雷斯卡六边形的外接圆 Mises圆的方程为：,矢量OQ作端点Q的坐标为,讨论：应力状态矢OP作平面上的投影OQ在平面上的位置和大小：,取x,y坐标如图所示，已知应力偏量矢在 轴上的分量：,所以,应力偏斜张量的模为,代入,并加以整理，得屈服函数为：(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2(

31、2K)2,（2-9）,(ii)米泽斯(Mises)屈服函数：(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2(2K)2,如果上式的左侧小于右侧，则认为材料仍处于弹性阶段。如果上式为等式，则认为材料已进入塑性状态。由上式看出：米泽斯条件和特雷斯卡条件一样都不受静水压力的影响，而且也满足应力互换原则。,虽然米泽斯在提出这一条件时，并未认为它是准确的条件，但实验结果证明，对于韧性金属材料，这个条件更接近实际情况。,1924年德国力学家亨奇(H.Hencky)经过反复研究对米泽斯条件进行了物理解释，亨奇认为米泽斯条件相当于弹性形变比能（歪形能）达到一定值时，材料进入塑性状态。若用W、Ws和Wv 分别表示弹

32、性总比能、弹性变形能和体积变化比能，则有：,弹性总比能,体积变化比能,弹性形变比能=弹性总比能-体积变化比能,(iii)米泽斯(Mises)屈服函数的讨论：,弹性形变比能=弹性总比能-体积变化比能,亨奇认为米泽斯条件相当于弹性形变比能（歪形能）达到一定值时，材料进入塑性状态，事实上波兰力学家胡贝尔(M.Huber)早在1904年便曾提出过这一条件，因此这一条件有时称为胡贝如-米泽斯-亨奇屈服条件，简称米泽斯屈服条件。,此后纳戴(A.L.Nadai)对米泽斯屈服提件进行了另 一种解释，他认为当正八面体上的剪应力达到某一定值时，材料便进入塑性状态。,原苏联力学家伊柳辛提出了应力强度i(或称等效应力

33、）的概念。应力强度是表征物体受力程度的一个参数。-伊柳辛认为，当应力强度 i 等于材料单向拉伸的屈服极限s 时，材料便进入塑性状态。伊柳辛的这个提法不仅概念明确，而且将复杂应力状态的 i 和单向拉伸的屈服极限 s 联系起来，因此在使用时是十分方便。根据伊柳辛的提法：i=s,但是亨奇和纳戴(A.L.Nadai)都没能指出这一定值是多大。,由简单拉伸实验 s=2K 有(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2s2,von Mises 屈服条件,-八面体剪应力：,应力强度,乘上,-若用第二应力偏量不变量J2来表示，,-可以看出：因为应力强度 i 和应力偏量第二不变量 J2及八面体剪应力 8 只差一

34、个倍数关系。所以，Mises 条件也可以认为是当应力偏张量第二不变量达到某-定数值或八面体剪应力达到一定数值时开始屈服,则，(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2s2 可表示为：,-由于,由于应力强度可由应力分量表示,（2-10）,(iv)Mises条件的常用形式：,应力强度形式：,应力张量第二不变量形式：,应力张量分量形式：,等倾面上的剪应力形式：（）,弹性形变比能形式：（Hencky）,-平面应力状态下，令3=0，有:12-12+22=s2 是为椭圆方程。(为Tresca斜六边形的外接圆）,（3）Tresca 屈服条件与Mises屈服条件的讨论：,几何上：-按Tresca屈服条件，屈

35、服面是平面正六边形为母线的正六角柱体，屈服曲线为一正六边形。6个角点由实验得到，6边形连接成直线是假设的结果。-按Mises屈服条件，在平面内的屈服曲线就是Tresca六边形的外接圆，屈服面便是Tresca屈服面的外接圆柱。,Tresca条件忽略了中间主应力对材料屈服的影响，有欠缺，而Mises条件克服了这一点不足。,实验证明，Mises条件比Tresca条件更接近于实验结果。,ii Tresca最大剪应力条件是主应力分量的线性函数，对已知主应力方向及主应力间的相对值的一类问题，是比较简便的，而Mises畸变能条件则显然复杂的多。,(4)两种屈服条件的比较：,Tresca 屈服条件：,Mise

36、s 屈服条件：,两个屈服条件中的常数 K 是和材料有关的量.它可以通过简单拉伸或纯剪切等简单试验来加以确定。因为这些屈服条件对各种应力状态都是适用的，当然也适用于简单的应力状态。,（a）单向拉伸时：,此时除1以外其余的主应力分量为零，且 时屈服，将它们代入上述的屈服条件表达式：,Tresca 屈服条件：,Mises 屈服条件：,Tresca 六边形内接于Mises 圆,如作纯剪试验，此时除，其它应力分量都为零。从试验知道，当 达到材料剪切屈服极限 时，即 时开始屈服。,Tresca 屈服条件：,Mises 屈服条件：,（b）纯剪切时：,由 1=-3=s，2=0,Tresca 六边形外切于Mis

37、es 圆,试验表明，对一般的工程材料，）。因此Mises 条件比Tresca 条件更符合实际些。但是，在事先可判明主方向并能确定其三个主应力数值大小次序的情况下，应用Tresca 条件更方便些。,从这里可以看出，根据Tresca条件，材料的剪切屈服极限，应该是拉伸屈服极限 的0.5 倍，而根据Mises 条件，应是0.577 倍,(5)两种屈服条件的差别：,Tresca 屈服条件：可表示为：,由Lode参数 表示，然后代入Mises 屈服条件（徐，95）,现在，简单地说明一下两个条件的差别。设取，则,由Lode参数公式：,（2-11),（2-12a),Tresca 屈服条件：,Mises 屈服

38、条件:,令,（2-11),（2-12a),因为，所以,（2-12b),纯剪状态：，比较式（2-11)和(2-12b)可知，此时两个条件相差为15%。,单向拉伸或压缩状态：，此时两个条件是一致的,事实上Tresca 条件和Mises 条件的差别并不大，如果取处于外接圆和内切圆中间的圆作为屈服曲线，则差别将更减小。,Trresca 条件和 Mises 条件主要是适用于延性金属材料。-虽然在工程上也有将Tresca 条件用于一些只具有粘聚强度的土壤和岩石，以及将Mises条件用于某些岩石和水饱和粘土的情况。-但一般来说，这两个条件用于土壤、混凝土和某些岩石这类非金属材料是不理想的。因为这两个条件都是

39、忽略了平均应力即静水应力对屈服的影响，而实验证实，平均应力对这类非金属时料的屈服起着重要的作用。-为了考虑这种影响，可以修改Trresca 条件和 Mises条件，在本书第12章讨论。,例1 写出平面应力状态的两种屈服条件,解 因为对平面应力状态，3=0（1）Tresca 屈服条件：此时屈服条件公式,则 1-2=2K 1=2K 2=2K屈服轨迹是斜六边形。,解 因为对平面应力状态，3=0（2）Mises 屈服条件：此时屈服条件公式,(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2s2,令3=0，有:12-12+22=s2 是为椭圆方程。(为Tresca斜六边形的外接圆）,例2：试写出圆杆在拉伸和扭

40、转联合作用下 的屈服条件,解 杆内各点的应力为(图b),（1）Mises 屈服条件：将上述各应力分量值代入由应力分量表达的 Mises 屈服条件：,得Mises 屈服条件：,解 杆内各点的应力为(图b),（2）Tresca 屈服条件：将上述各应力分量值代入求解主应力的三次方程：,得三个主应力为：,（2）Tresca 屈服条件：将上述各应力分量值代入求解主应力的三次方程：,得三个主应力为,这里已按123 的次序排列，则最大剪应力为：,Tresca 屈服条件：,s=2K,得Tresca 屈服条件：,在假设的基础上提出的屈服条件是否正确，需要用实验来验证。为了研究屈服条件，已经做了各种各样的实验。,

41、（5）Tresca 屈服条件与Mises屈服条件的实验验证：,由于三向应力状态在实验中较难实现，所以一般以二向应力状态进行实验。-通常采用薄壁圆简试件，所受荷载为轴向拉伸和内压或扭转相组合。下面就介绍早期的两个有名的实验。,（i）Lode 实验,1926 年 W.Lode 做了使薄壁圆管在不同的轴向拉力和内压力的联合作用下获得不同的应力状态的实验，检验了中间主应力对屈服的影响。,Tresca 条件和Misas条件可表示为：,Tresca 条件,Misas条件,如以 为水平坐标轴，为垂直坐标轴，则这些式子所表示的屈服条件的理论曲线分别为一水平直线和一抛物线。,（2-11),（2-12a),Tre

42、sca 条件,Misas条件,如以 为水平坐标轴，为垂直坐标轴，则这些式于所表示的屈服条件的理论曲线分别为一水平直线和一抛物线。,薄壁管受轴向拉力P 和内压力p 联合作用时，设管的平均半径r,壁厚为 t，因为 t/r1，则管内近似地处于均匀应力状态，且忽略次耍的应力分量r，则管内应力：,则,对这样的应力状态，实验过程中应力主方向是保持不变的。实验时，采用不同的轴向拉力P和内压力p 的组合，可得到不同应力状态的 和屈服应力值并将它们在图上标出，如图所示,实验结果表明，Mises条件比较符合实验结果，由于Tresca条件不计中间主应力的影响，而Mises 条件考虑了中间主应力对屈服的影响，实验表明

43、中间主应力对屈服是有影响的。,Tresca 条件,Mises条件,G.I.Tylor 和 H.Quinney 在1931年也用薄壁管，但在轴向拉伸和扭转的联合作用下进行实验。在这个情况下，沿管壁产生平面的应力状态。,P,P,T,T,（ii）Taylor 和 Quinney 实验,若取 x 轴与管轴平行，而y轴沿管的切线方向，则在xy平面内的应力分量为:x-由轴向拉力产生的正应力：y=0 xy-由扭转产生的剪应力：,由例2的结果：,P,P,T,T,得Tresca 屈服条件：,得Mises 屈服条件：,（2-13),（2-14),Mises 屈服条件：,Tresca 屈服条件：,如图所示，给出由上

44、式方程所确定的两个椭圆（理论曲线)，以及用不同的轴向拉力P和扭矩T的组合而获得的实验结果的点。可以看出，实验结果也是和Mises 条件更为接近。,虽然多数金属材料符合Mises 条件，但由于Tresca 条件可表示成主应力的线性函数，在主应力大小次序可以事先判别的情况下，使用是很方便的，何况两者的差别并不很大。所以，究竟采用哪一个条件，应视情况而定。,前面已经指出，在单向拉伸的情况下，当材料进入塑性状态后卸载，此后再重新加载时，拉伸应力和应变的变化仍服从弹性关系，直至应力到达卸载前曾经达到的最高应力点时，材料才再次进入塑性状态，产生新的塑性变形。,5.后继屈服条件及加、卸载准则,（i)后继屈服

45、点或硬化点：这个应力点就是材料在经历了塑性变形后的新的屈服点。由于材料的硬化特性，它比初始屈服点为高。为了和初始屈服点相区别，将它称为后继屈服点或硬化点。,（1）后继屈服条件,和初始屈服点不同，它在应力-应变曲线上的位置不是固定的，而是依赖于塑性变形的过程即塑性变形的大小和历史的。这后继屈服点是材料在经历一定塑性变形后再次加载时，变形规律是按弹性还是按塑性规律变化的区分点，亦即后继弹性状态的界限点(如图所示),和单向应力状态相似，材料在复杂应力状态也有初始屈服和后继屈服的问题。关于初始屈服的问题前面已经讨论过了，这里进一步讨论后继屈服的问题。,(ii)初始屈服面和后继屈服面：在复杂应力状态下，

46、由于会有各种应力状态的组合能达到初始屈服或后继屈服，在应力空间中这些应力点的集合而成的面就称为初始屈服面和后继屈服面，-它们分别相当于单向应力状态应力-应变曲线上的初始屈服点和后继屈服点。,-当代表应力状态的应力点由原点O移至初始屈服面 0 上一点 A 时，材料开始屈服，当荷载的变化使应力点突破初始屈服面而到达邻近的后继屈服面1，的B点，由于加载，材料产生新的塑性变形。,-如果由B点卸载，应力点退回到后继屈服面内而进入后继弹性状态。,-如果再重新加载，当应力点重新达到卸载开始时曾经达到过的后继屈服面 1 上的某点C(C不一定和B重合)时，重新进入塑性状态。,-继续加载，应力点又会突破原来的后继

47、屈服面 1 而到达另一个相邻近的后继屈服面 2（如图所示）。,-如果是理想塑性材料，后继屈服面是和初始屈服面重合的，但对于硬化材料，由于硬化效应，两者是不重合的。,(iii)硬化面或加载面：随着塑性变形的不断发展，后继屈服面是不断变化的，所以又将后继屈服面称为硬化面或加载面，它是后继弹性阶段的界限面。,后继屈服条件或称为硬化条件：确定材料是处于后继弹性状态还是塑性状态的准则就是后继屈服条件或称为硬化条件。表示这个条件的函数关系亦即后继屈服面的方程就称为后继屈服函数或硬化函数，或加载函数。,-由于后继屈服不仅和该瞬时的应力状态有关，而且和塑性变形的大小及其历史(即加载路径)有关，因此后继屈服条件

48、即硬化条件，表示为：,其中K就是反映塑性变形大小及其历史的参数，称为硬化参数。,因此，后继屈服面就是以K为参数的一族曲面,我们的任务就是要确定后继屈服面的形状以及它随塑性变形的发展的变化规律,（2-15),在单向应力状态，虽然屈服以后，加载和卸载时变形规律是不同的，但由于只有一个应力分量不等于零，由这个分量的大小的增减就可以判断是加载还是卸载。对于复杂应力状态，六个独立的应力分量都可增可减，如何判断是加载还是卸载，有必要提出一个准则。,（2）加、卸载准则,由于理想塑性材料是无硬化的，它的后继屈服条件和初始屈服条件是一致的，后继屈服画和初始屈服面重合。由于屈服面是唯一的，则它与加载历史无关，以下

49、列屈服函数表示：,理想塑性材料的加卸载准则,在荷载改变的过程中，应力点如保持在屈服面上，则,此时塑性变形可以任意增长，就称为加载。,当应力点从屈服面移动到屈服面内,则:表示状态从塑性退回到弹性，此时不产生新的塑性变形，称为卸载.,（2-16),理想塑性材料加载和卸载准则，用数学形式表示为：,弹性状态：,加载：,卸载：,为了使加载和卸载的概念更为直观，可以用几何关系来说明,-在应力空间以矢量 表示 即 的各个分量是：,以 为分量的矢量就是函数 的梯度。,（2-17),（2-18),为了使加载和卸载的概念更为直观，可以用几何关系来说明,-在应力空间以矢量 表示 即 的各个分量是：,以 为分量的矢量

50、就是函数 的梯度，且 的方向和屈服面的外法线方向一致的。,设 n为屈服而外法向单位矢量，则上述加、卸载准则可用矢量乘积表示为：,加载：,卸载：,表示两矢量正交，亦即 沿屈服面切向变化,表示两矢量的夹角大于900，亦即分处于屈服面的两侧，即指向屈服面内。由于屈服面不能扩大，所以 不可能指向屈服面外。,以上讨论是假定屈服曲面是正则的，即处处是光滑的。如果屈服面是非正则的，但是由分段光滑面构成的，如像Tresca 条件的屈服面，也只要应力点保持在屈服面上就是加载，返回到屈服面内即为卸载。,（2-19a),（2-19b),对于硬化材料，后继屈服面和初始屈服面不同，它是随塑性变形的大小和历史的发展而不断