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1、常微分方程第二章 初等积分法(4)主讲人:富明慧 教授,一 已知曲线族的等角轨线族,2.6 应用举例,求曲线族:,使,中任意一条曲线与,的所有曲线的夹角 为恒定值。,,称这样的曲线族(2),为已知曲线族(1)的等角轨线族。,1、基本概念已知曲线族:,当,时,称曲线族(2)为(1)的正交轨线族,,,,,2 已知曲线族的微分方程,消去上式中的C,既得相应微分方程:,由,再利用,其中,是由,决定的函数,(4),方程(4)在点,的线素斜率记为,,而把与它相交成,角的线素斜率记为,。,当,时,有,从而等角轨线的微分方程为,3 等角轨线族的微分方程,由三角公式:,得:,当,时,有,,,即所求正交轨线的微分
2、方程为,(6),注意,在方程(4),(5)与(6)中的函数,是相同的。,(5),求解微分方程(5)(或(6),就可以得到(1)的等角轨线族(或正交轨线族)(2)。需要注意的是,在推导方程(4)时,,。,这样,由,可以决定y是x的单值函数。,而,则可决定x是y的函数。然后进行类似推导。,若,将微分方程(4),(5)和(6)改变为对称形式,就不必区分上述两种情形。,应有,等角轨线族不仅在数学本身有用(例如当,它们可以取为坐标系),而且在某些物理与力学问题中也有用,例如静电场中的电力线与等势线就是互相正交的曲线族。作为一个例子,设电力线族的方程为,(K为参数),这是一个抛物线族,时,,从联立方程,(
3、7),中消去,,得到一个对称形式的微分方程,。因此,,与之正交的曲线族的微分方程为,,它的通积分为,。这就是所求的等势线族(同心椭圆族)。,二人口增长模型,用,表示某地区在时间,的人口总数,记,为人口增长率(出生率与死亡率之差)。,由于在,时间内的平均增长率为,,其中,为人口的增量,所以,即,(8),这就是人口总数N所满足的微分方程。马尔萨斯人口模型:假设r为常数,初值问题,(9),的解为,(10),人口是按指数曲线增长的,显然不符合实际。修正模型:,(11),假设,其中正数a和b称为生命系数。一些生态学家测得a的自值为0.029,而b的值则取决于各地区社会经济条件。方程(8)修正为,(12)
4、,这是一个变量分离的方程。初值问题:,(13),的解为,(14),美国和法国曾用这个公式预报过人口的变化,结果与实际十分吻合;而比利时则不甚符合,原因是当时比利时向刚果进行着大量移民。至于我国,见书里P57,即取,1979,,=9.7092乘,,r0=0.0145,则由(11)式可得,利用公式(14)可以对我国大陆地区的人口总数作出估算。,(15),分离变量并积分得方程的通解为,由初始条件得,代入得雪球的体积随时间的变化关系为,食饵(甲)数量 y(t),捕食者(乙)数量 x(t),甲独立生存的增长率,乙使甲的增长率减小,减小量与 x成正比,乙独立生存的死亡率,甲使乙的死亡率减小,减小量与 y成正比,食饵-捕食者模型(Volterra),捕食者掠取食饵能力,食饵供养捕食者能力,作业P62习题 2-6 1(2),2(4),3,5,