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1、,二次函数复习（1）,温州育英实验学校,形如yax2bxc（a、b、c是常数，a0）的函数叫做x的二次函数。如：yx2，y2x24x3，y1005x2，y=2x25x3。,1.什么叫二次函数?,例如，1、二次函数 y=-x2+58x-112 的二次项系数为，一次项系数为，常数项。2、二次涵数y=x2的二次项系,一次项系数，常数项。,a=-1,b=58,c=-112,a=,b=0,c=0,下列函数中,哪些是二次函数?,做一做:,是,不是,是,是,不是,2.特殊的二次函数y=ax2(a0)的图象特点和函数性质,画一画：请画出y=x2的图象,(1)是一条抛物线；(2)对称轴是y轴；(3)顶点在原点；
2、(4)开口方向:a0时,开口向上；a0时,开口向下.,二次函数 y=ax2(a0)的图象特点：,（1）a0时，y轴左侧，函数值y随x的增大而小；y轴右侧，函数值y随x的增大而增大。a0时，ymin=0 a0，ymax=0,二次函数 y=ax2(a0)的函数性质：,3.一般二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象特点和函数性质,y=ax+bx+c,=a（x2+x）+c,=ax2+x+c,=a(x+)2+,(1)是一条抛物线；(2)对称轴是:x=-(3)顶点坐标是:(-,)(4)开口方向:a0时,开口向上；a0时,开口向下.,二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象特点：,（1）a0时，对
3、称轴左侧(x-)，函数值y随x的增大而增大。a-)，函数值y随x的增大而减小。（2）a0时，ymin=a0时，ymax=,二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的函数性质：,解：,因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，2）。,例 求抛物线的对称轴和顶点坐标。,1.说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴：,做一做:,2。自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大，何时y随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值？,3:填空：(1)抛物线yx23x2与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标是_；(2)抛物线y2x25x3与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标是_,(0,2),(1,
4、0)和(2,0),(0,-3),(1,0)和（3/2，0）,时，图象将发生的变化.,4、二次函数y=ax,y=a(x+m)2,y=a(x+m)2+k,1、顶点坐标？,（0，0）,（m，0）,（m，k）,2、对称轴？,y轴（直线x=0）,（直线x=m）,（直线x=m）,3、平移问题？,一般地，函数y=ax的图象先向右（当m0）平移|m|个单位可得y=a(x+m)2的图象；若再向上（当k0）或向下（当k0）平移|k|个单位可得到y=a(x+m)2+k的图象。,填空：1、由抛物线y=2x向 平移 个单位,再向 平移 个单位可得到y=2(x+1)2 3。2、函数y=3(x-2)2+的图象。可以由抛物线
5、 向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到的。,做一做:,5、由点的坐标求函数解析式：,1、已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，3），（2，8）。（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标。,答案:(1)y=-x2-2x(2)对称轴:x=-1 顶点坐标(-1,1),驶向胜利的彼岸,2、请写出如图所示的抛物线的解析式：,（0，1）,（2，4）,x,y,O,在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为,6、根据函数性质判定函数图象之间的位置关系,答案:B,这节课你有什么收获和体会？,二次函数的三种解析式,二次函数的三种解析式,1.一般式
6、y=ax2+bx+c(a0）,2.双根式y=a(x-x1)(x-x2),3.顶点式y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c(a0）一般式,a,b同号,a,b异号,C0,C0,C=0 经过原点,顶点坐标,对 称 轴,与y轴正半轴相交,与y轴负半轴相交,对称轴在y轴的左侧,对称轴在y轴的右侧,与x轴交点的求法：令y=0,得到ax2+bx+c=0,与x轴交点情况：,当b2-4ac0时有两个交点,当b2-4ac=0时有一个交点,当b2-4ac0时没有交点,顶点在y轴上,顶点在x轴上,顶点在原点b=c=0,与y轴交点的求法：令x=0,得到y=c 即（0，c）,与y轴始终有一个交点（0，c）,如果y=
7、ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0);那么AB=|x1-x2|=,双根式y=a(x-x1)(x-x2),对称轴,二次函数图象与x轴的交点为 A(x1,0),B(x2,0);,AB=|x1-x2|,顶点横坐标=,P,A,B,x1x20,点A,点B在原点同侧,x1x20,点A,点B在原点两侧,顶点式 y=a(x-h)2+k,顶点坐标(h,k),对称轴 x=h,当a0,x=h时,y有最小值为k,xh表示在对称轴的左侧,当k=0时顶点在x轴上,当a0,x=h时,y有最大值为k,xh表示在对称轴的右侧,当h=0时,顶点在y轴上；,h,-h,k,-k,(h,k),若a0,h0
8、,k0,把y=ax2的图象向右平移h个单位得到,向左平移h个单位得到,向上平移k个单位得到,向下平移k个单位得到,向右平移h个单位并向上平移k个单位得到,y=a(x+h)2,y=ax2+k,y=ax2-k,y=a(x-h)2+k,y=a(x-h)2,(1)图象过A(0，1)、B（1，2）、C（2，-1）三点,一:已知抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件,求函数的解析式.,（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,图象过A(0，1)、B（1，2）、C（2，-1）三点,y=-2x2+3x+1,解：A(1，0)，对称轴为x=2,抛物线与x轴另一个交点C应为（3，0）,设其解析式为y=a(x
9、-1)(x-3),B（0，-3）,-3=a（0-1）（0-3）,a=-1,y=-(x-1)(x-3),（2）图象经过A（1，0）、B（0，-3），且对称轴是直线x=2,1,A,B,-3,C,3,（3）图象顶点是（-2，3），且经过点（-1，5）,解：图象顶点是（-2，3）,设其解析式为y=a（x+2）2+3,经过点（-1，5）,5=a（-1+2）2+3,a=2,y=2（x+2）2+3,（4）图象和x轴交于（-2，0）、（4，0）两点且顶点为（1，-9/2）,解：由于题中告诉了图象与x轴的交点坐标，又告诉了顶点坐标，所以既可以用双根式又可以用顶点式来设其解析式,设双根式为：y=a(x+2)(x-
10、4),-9/2=a(1+2)(1-4),顶点为（1，-9/2）,a=-1/2,y=-1/2(x+2)(x-4),（5）图象顶点是M（1，16）且与x轴交于两点，已知两交点相距8个单位。,解：顶点M坐标为（1，16），对称轴为x=1，又交点A、B关于直线x=1对称，AB=8,A（-3，0）、B（5，0）,此函数解析式可设为 y=a（x-1）2+16 或y=a（x+3）（x-5）,1,16,A,B,-3,5,二:求满足下列条件的抛物线的解析式,(1)经过点A（2，4），B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2,解：B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2,抛物线与x轴的另一个交点坐标为C（-3，0
11、）或C（1，0）,设抛物线的解析式为y=a（x-x1）（x-x2）,当抛物线经过B、C三点时，解析式为y=a（x+1）（x+3）,又抛物线经过A（2，4）,4=a（2+1）（2+3）,当抛物线经过B、C 三点时，解析式为y=a（x+1）（x-1）,B,-1,-3,1,C,C,a=,y=（x+1）（x+3）,(2)交x轴于A（x1，0），B（x2，0），顶点为P（1，-4），且x12+x22=10,解：=1,=2,x12+x22=10,x1=-1;x2=3,A（-1，0），B（3，0）,抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）,又抛物线的顶点为P（1，-4）,-4=a（1+1）（1-3）,a=
12、1,y=（x+1）（x-3）,1,-4,A,B,-1,3,P,三:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴x=_,顶点坐标:_,当x=_时,y有最_值是_,函数值y0时,对应x的取值范围是_,函数值y0时,对应x的取值范围是_,函数值y=0时,对应x的取值范围是_,当x_时,y随x的增大而增大.,-1,(-1,-2),-1,小,-2,-3x1,x1,-3或1,-1,四:已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论a+b+c0 abc0 b=2a。其中正确的结论的个数是（）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个,m,n,D,课堂小结：,1.抛物线的三种解析式？,3.各种解析式对称轴、顶点坐标求法？,2.如何选择这三种解析式求抛物线的解析式？,4.二次函数的最值的求法？,5.抛物线的平移规律？,6.抛物线与x轴两交点距离的求法？,
