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1、第六章 市场风险的测度方法Value-at-Risk（VaR）,主要内容：第一节、引言第二节、VaR的基本概念第三节、独立同分布正态收益率下的VaR第四节、放宽独立同分布正态收益率假设下的VaR,第一节、引言,一、为什么要测度市场风险？（Why a Measure of Market Risk?）1、报道信息 我们一个数据来反映我们面临的风险;2、资源配置 风险资产是一种稀缺资源。企业如何分配这些资源，取决于企业各项投资时所面临的不同风险；3、投资行为的评估 如果不考虑投资所涉及的风险，就不能评估投资者投资效果的好坏。在投资效果评估时，你必须区分确实是好的投资还是纯粹靠运气。二、谁需要市场风险
2、的测度指标？1.Financial Institutions，2.Regulators3.Non-financial Corporations，4.Asset Managers,二、市场投资风险的基本概念,1、投资风险的基本含义 与损失的不确定性联系在一起的。经济学、决策学、统计学、金融保险学中尚无统一的定义。第一种观点(即古典决策理论的观点)认为，风险是事件未来可能结果的不确定性（易变性）。它可以用可能结果概率分布的方差描述。第二种观点认为风险是一种损失机会或损失可能性，可用损失的概率表示。第三种观点（即现代决策理论的观点），将风险定义为损失的不确定性。第四种观点（即统计学家的观点），将风险
3、定义为实际与预期结果的偏差。认为可预测的收入变化，不应当是风险，只有不可预测的收入变化才是真正的风险。,1、投资风险的基本含义,第五种观点（即信息论的观点），认为风险是信息的缺乏程度。风险主要来自未来的不确定性，而不确定性则产生于信息的缺乏，只要对未来有完全的信息，就可清除不确定性，进而清除风险。第六种观点，认为风险是可能的损失，即认为风险是不利结果的程度，它仅从损失量的角度定义风险。从投资的角度讲，风险是是一种客观存在，无所谓好坏。对投资者来讲，投资风险就是资产价格的波动。风险既可能造成损失，也可能带来超额收益。风险是超额收益的来源。对待风险的态度应该是正确认识风险、客观计量风险和科学管理风
4、险，甚至可以开发风险。例如，保险业就是对风险进行开发和经营的行业。,2、证券市场投资风险基本涵义,第一种观点认为，证券投资风险是指由于证券价格的波动，造成投资收益率的不确定性或易变性，这种易变性可用收益率的方差或标准差度量。第二种观点认为，证券投资风险是由于证券价格波动给投资者造成损失的可能性或损失的不确定性。该观点认为只有在价格波动给投资者造成损失时才有风险，不造成损失的任何波动都不应视为风险。对风险的认识是一个逐步发展的过程，对风险定义的不同，将直接影响对风险的计量与控制。,3、风险的特征,(1)风险的客观性。(2)风险的时限性。(3)风险的多面性。(4)风险的可测定性。(5)风险的潜在性
5、。(6)风险的相对性。(7)损失和收益的对立统一性。,二、证券市场投资风险的分类,1、按证券投资风险的来源分类主观风险和客观风险、市场风险与经营风险、偶然事件风险、购买力风险、破产风险、流通风险、违约风险、利率和汇率风险。2、按证券投资风险的性质分类系统风险是指对所有证券资产的收益都会产生影响的因素造成的收益不稳定性。它与市场的整体运动相关联。如市场风险、购买力风险、利率汇率风险和政治风险都是系统风险。（该风险不可通过分散化消除）非系统风险是由个别资产本身的各种因素造成的收益不稳定性。如破产风险、流通风险、违约风险、经营风险均属此类。（投资组合可以分散非系统风险）。,三、常用投资风险计量方法及
6、存在的问题,1、方差计量理论 以证券投资收益率的方差作为风险计量指标，Markowitz年提出了现代证券组合投资的均值方差（MV）理论，它标志着现代证券投资理论的开端，在金融投资领域具有特别重要的意义。Markowitz假定投资风险可视为投资收益的不确定性，这种不确定性可用投资收益率的方差或标准差度量。以此为基础，理性投资者在进行投资时总是追求投资风险和收益之间的最佳平衡，即在一定风险下获取最大收益或一定收益下承受最小风险，因此通过MV分析，并求解单目标下的二次规划模型，可实现投资组合中金融资产的最佳配置。以方差度量风险是有一些严格的假设，这些假设条件主要有：第一，每种证券的收益率都服从正态分
7、布；第二，各种证券收益率之间服从联合正态分布；第三，证券市场为有效市场。第四，投资者是风险厌恶型的。证券市场有效性假设是相当苛刻的条件，即使在相当成熟的股票市场也无法完全满足，即使承认证券市场是有效的，当以方差作为风险的计量指标时，资源配置的有效性也取决于方差方法的优劣。,1、方差计量理论,自以收益率的方差作为风险计量指标以来，一直受到多方面批评，许多学者从不同方面对此问题进行了阐述：（1）方差是用来衡量收益率的不确定性或易变性的，用其反映风险是不恰当的。（2）从效用函数的角度分析，以方差为风险的计量指标，只有在投资者的效用函数为二项式时才成立，而二次效用函数并不是投资者偏好的恰当选择，因此，
8、方差不是风险的最好的测度方法。（3）方差度量风险的另一条件是要求证券投资收益率及其联合分布是正态的。而实际证券市场投资收益率，基本上不服从正态分布的假设，因此，用方差衡量证券投资的风险是不恰当的。（4）从心理学角度，Kahneman Tversky的研究表明，损失和盈利对风险的贡献是不同的。方差计量风险是假定正、负偏差之间对称，但投资者对上下偏差具有明显的不对称看法；所以以风险的方差计量风险有违投资者对风险的真实心理感受。有些风险测度如Sharpe的beta 系数、平均误差平方和(MSE)、平均绝对误差平方和（MSE）、平均绝对误差等，看上去似乎与方差无关，但在数学上等价于方差，因此上述问题对
9、它们同样存在。,2、信息熵风险计量理论,信息熵理论是Shannon(1948)在研究数学通讯理论时的重要发现，是研究信息系统不确定性测度的指标。由于证券投资风险是证券投资收益不确定性的体现，所以信息熵理论在证券投资风险的计量中也得到了应用。,信息熵作为证券投资风险（不确定性）的计量指标具有以下优点：(1)简单明了、概念清晰，将系统不确定性用统一的数量指数反映，使不同系统不确定性之间的比较成为可能。(2)信息熵一般与投资者对证券收益率的预测有关，它具有风险事前计量的特征。信息熵计量风险也存在一些不足之处：(1)熵值法度量的是系统的不确定性，系统的不确定性不等于系统的风险；(2)熵值法没有突出损失
10、与收益之间的差别，这与投资者的心理感受不符；(3)熵值法最明显的不足是它没有考虑损失的大小，而仅考虑各种状态分布的概率；(4)熵值法没有考虑证券投资收益率的变化频率问题。,3、风险下偏矩计量理论,风险的下偏矩计量理论有着方差理论不可比拟的优越性。首先，它仅将损失作为风险的计量因子，反映了投资者对风险的真实心理感受，符合行为科学的原理；其次，从效用函数的角度看，它仅要求投资者是风险厌恶型，即效用函数是凹型的，而不象方差那样要求二次型的效用函数；第三，从资源配置效率看，风险的下偏矩计量方法优于方差方法。总之，下偏矩方法被认为是风险测度的一种较好的方法。不足之处：下偏矩统计量的计算比方差复杂的多。,
11、4、VaR方法,VaR(Value at Risk)是1993年J.P.Morgon,G30集团在考察衍生产品的基础上提出的一种新的风险测度方法。VaR的基本含义是，风险资产在给定的置信区间和持有期间上，在正常市场条件下的最大期望损失。VaR方法的优点：（1）简洁的含义和直观的价值判断；它使得资产组合风险能够具体化为一个可以与收益相配比的数字，从而有利于经营管理目标的实现。（2）从本质上看，VaR 也是一种下方风险测度方法，因此，它比方差、标准差的风险测度更接近于投资者对风险的真实心理感受；（3）VaR考虑了决策者所处的环境及具体情况，使风险决策更具有可操作性。VaR方法的不足：（1）对于资产
12、组合的收益率分布为一般分布时，求解比较困难；（2）置信区间的选择带有任意性，选择不同，风险VaR 的测度值也不同；（3）该方法在一般分布时计算量很大。,第二节 VaR的基本概念,一、VaR的基本含义 一个价值Vt(dollar)的头寸，天的VaR 指在未来 天，Vt以 的概率损失的最大值.例如，你购买10 million Euros.如果1EU=.564USD(USD/EU的汇率为：Mt=.564）,美圆的头寸为：Vt=10 Mil x Mt=$5.64 million.那么，这个头寸的99%，24 hours 的VaR 为$78,711.84，其含义为，投资在欧元上的5.64 million
13、美圆，在未来24小时，其最大损失为$78,711.84，概率为99%。也就是说，在未来24小时，其最大损失超过$78,711.84的概率为1%。,一、VaR的含义,假设欧元汇率的收益率服从正态分布，即：这样，投资在欧元上的价值变化为：=$5.640 mil也服从正态分布。根据 的分布密度，我们可以画出 的分布图(Figure 1 with a daily volatility=.6%)99%VaR 是(负数)这样一个数据，即只有 1%的概率使得我们资产的变化低于这个数值。,二、注意的问题,（1）VaR 的值取决于市场变量统计特征的假设。也就是说，取决于风险管理者对市场变量运动的假设，因此，风险
14、管理者可能得出不同的VaR值。（2）VaR仅为统计意义上的风险指标，它与样本均值、方差、协方差一样，有统计误差。产生这些误差，有很多原因（如小样本），不仅仅是模型的问题。（3）虽然如此，VaR在我们后文讨论的情况中是非常有用。,第三节 独立同分布正态收益率的VaR,假设USD/EU汇率的收益率是独立、正态分布，即：这里，期望（）和标准差（）均为常数。时间单位为1天，即 和 是汇率的日期望收益率和易变性（标准差），而不是年数据。令 是标准正态分布的 分位数，分位数的含义是：如果Z N(0,1)，表示这样的数字，即随机抽样中，Z 的概率正好为下表给出了一些常用的 值。,例如，如果=99%,则=-2
15、.326,说明从一个标准正态分布中，随机抽取一个数值，其值大于-2.326 的概率为99%。也就是说，只有1%的概率，使得从一个标准正态分布中，随机抽取一个数值，其值小于均值的2.326 个标准差。例子：考虑前面欧元的例子。组合价值的变化为：=$5.64 mil 服从于均值为，标准差为 的正态分布。根据上述 的定义，可以计算分布密度为 的分位数为：这个值即为一个分界点，即损失超过 发生的概率为(1-)。,这样，1 day Value at Risk 为：VaR=负号表示VaR测量的是损失而不是收益。将 代入，得：VaR=-(-2.326*5.64 mil*.006)=$78,711.84,一、
16、证券组合的VaR,一、证券组合的VaR,1、两证券组合的情况投资组合的变化为：=这里J t=.007629 由上看出，投资组合价值的变化是服从联合正态分布变量的加权之和，因此，它也服从正态分布。其中，,这样，99%，1天的VaR 为：VaR=$177,331.59也就是说，只有1%的概率，在未来24 小时内，组合的损失大于$177,331.59。,2、一般情况,设有n 个不同的资产，是t时刻投资在第i个资产上的资金量（美圆），是t+1时刻投资在第i个资产上的收益率。假设 服从联合正态分布，那么组合的变化值 也服从正态分布 记 为 的均值，为证券 与证券 收益率的协方差 则：这样，我们可以用同样
17、方法求出，证券组合的VaR。,2、一般情况,考虑一般的情况，证券组合价值的变化为：这里，为组合的总财富（$表示），为总财富在asset i 上分配的比例，为组合的收益率。是组合的收益率期望值和标准差，这样，1 day VaR可以由下式给出：当然，这里涉及大量的统计计算问题，但基本思想与上面讨论的相同。,二、因素模型的简单回顾,1、对于大的证券组合，上述计算的负担是很大的。例如：对于100证券构成的组合，我们需要计算5,150参数，(100 均值收益率+5050方差-协方差矩阵的参数)。随着证券组合的变大，计算量的增加是惊人的。这样，引起的问题之一是：参数估计的质量随着证券数量的增加而下降；解决
18、问题的一种流行方法是应用因素模型来描述资产收益率2、因素模型 因素模型，一般可以写成如下形式：其中，是因素，而且相互独立（为了清楚起见，你可以把这些因素看成诸如超常收益率、GNP growth等）。测度的是收益率 对第k个因素的敏感性。,三、因素模型的简单回顾（2）,3、如果一个证券组合有 100 股票，每只股票都可写成(1)的形式,则 VaR 的计算可以大大简化。一旦整个证券组合的收益取决于这些因素，我们容易找到证券组合价值变化 的分布 如果这些因素服从联合正态分布，我们就可以用前述同样的方法计算Value at Risk.,三、增加VaR（Incremental VaR，边际VaR）,1、
19、意义：从以前的讨论中可以看出，证券组合的总风险，并不是单个证券风险之和。这并不奇怪，它仅仅是分散化原理的再现。但在很多场合下，估计证券组合总风险中单个证券的边际贡献是很重要的。例如，考虑一个金融机构，它提供一组金融服务。这个金融机构有几个服务窗口(the swap desk,the FX desk etc.)，它们相互独立，而且每个服务窗口都经营若干金融资产。为了估计金融机构总的风险，我们将金融机构看成证券组合，计算证券组合一天的VaR。但从内部管理的角度看，金融机构估计每一种业务对企业总风险的边际贡献是非常重要的，其原因主要有：1)有效管理风险的需要；2)（建立规则）对各种业务分配风险资产的
20、需要（头寸的限制）；3)评估各项业务成绩的需要。,2、增加 VaR的引出,如果在证券I上 增加1美圆的投资，考虑证券组合VaR的边际变化是多少。首先，我们知道：因此，有：,2、增加 VaR的引出（2）,再考虑证券组合价值变化的方差的表达式：最后一个等式来自于重新整理。,等式两边同除以，得：我们有：这样：,这里，记：表示由于资产i 的微小增加导致总的VaR的变化，这样，定义资产i 的边际VaR 为：,3、实例,考虑上节的例子：这样，,4、重要提示,将VaR 分解为边际VaR，并不意味着我们取消资产 i,余下资产的VaR等于最初总的VaR减去IVaRi。例如，在上例中，取消日圆业务并不等于将VaR
21、从$177,331.59 降低为(VaR-IvaRJ)=$66,279.14。事实上，从上述例子中我们已经知道，仅投资于欧元（EU）的 VaR$78,711.84!,四、连续复利正态分布收益率的 VaR,1、连续复利正态分布的含义连续正态分布收益率的假设在很多情况下，可以使问题的分析得以简化。回忆以前的例子，在连续正态分布收益率的假设下，记 M t 为美圆对欧元在t时刻的汇率，则：这里是日连续复利收益率（以天为单位！）。正如我们上面分析的，这个假设保证汇率M t+1 是对数正态分布。,2、为什么需要复利正态分布收益率,（1）当分析 时间序列事件时，应用连续复利收益率是很方便的。例如，假设我们有
22、收益率的日均值和日方差，如果改变时间长度，计算一个月收益率的均值和方差（一个月为20个交易日）。在独立同分布的日复利收益率下，20天的收益率为：由于收益率是独立同分布的，20天的连续复利收益率为：,这样，月均收益率和标准差分别为：一般地，如果时间水平为，则收益率和标准差分别为：如果日收益率为正态分布（不是连续复利），有：是从 t+i-1 到t+I的收益率。注意，20-day 的收益率是正态分布随机变量的乘积而不是随机变量的和，因此，如果不使用连续复利收益率，则20-day 收益率的分析将变的十分复杂。,2、为什么需要复利正态分布收益率（2）,(2)当投资的总收益率是两个价格组合而成时，使用连续
23、复利收益率是很方便的。例如，如果你购买了一个Frankfurt市场上的指数基金，那么，在将来你投资的总价值是由欧元的股票价格乘欧元的美圆价格得出(看下面的例子)。(3)对于小的收益率值(例如,以天计算的收益率)，单利收益率可以用复利收益率很好地近似,因为，对于一个很小的 X，我们有：在这种情况下，单利收益率可以假定为服从正态分布的。,3、实例,假设我们在Frankfurt Stock Market投资10 mil 欧元的指数基金，设欧元的日收益率为YM，Frankfurt Stock Market 的收益率为YS,即：St 是Frankfurt index在 t 时刻的价格，这里时间单位为“o
24、ne day”。假设YM and YS 服从正态分布和联合正态分布，其均值和方差分别为：，它们的相关系数为：你的财产明天的价值（以美圆计）为：,根据St+1 和 Mt+1的定义，因为联合正态分布之和仍为正态分布，我们有：这里 因此，投资欧元的总收益率（股票市场的收益率+外汇汇率的收益率）仍然服从正态分布，所以我们可以利用前面所学的技术计算VaR.,记 为Yt+1小于 发生的概率为 的数值，我们可以计算头寸为Vt=10 Mil x Mt时的VaR。应用历史数据，假设 这样，,这意味着有99%的可能性，投资收益率大于：因此，投资在Frankfurt Stock Market Index上的5.64
25、 Million dollar，a 99%1-day VaR 为：,六、含有非线性衍生品组合的 VaR,我们以前的分析，都是假定资产的收益率服从正态分布，但存在一种重要的情况是，当组合中包含衍生证券时，组合的收益率不服从正态分布，因为衍生证券的价值相对于标的资产而言是非线性的。例如，如果一个证券组合包括指数看跌期权(如组合保险),既是假定指数收益率服从正态分布，指数看跌期权的价值则不服从正态分布。这部分我们将应用“Delta Method”method 和“Delta-Gamma Method”method处理这类问题.令 为资产St以价值形式表示的收益(是绝对值而不是百分比).如果,（一）D
26、elta-Method,假设一个衍生证券在t时刻的价格为 其中，为标的资产的价格该衍生证券的delta值为：该衍生证券在t+1 时刻的价格为：那么，该衍生证券在t+1 时刻的收益为：这样，衍生证券的收益也服从正态分布，其均值和均方差分别为：,Example:,考虑一个投资在S&P500 market index上$1 bil的养老基金和由3个月看跌期权保险策略构成的组合 假设S&P500=936，三个月看跌期权（执行价K=930）的价格为 ft=$36。再假定无风险收益率为r=5%，标的物的红利收益率为0，年隐含的收益率波动性为：则根据Black-Shose公式，有：在给定S&P500 ind
27、ex的价值，投资在养老基金上的份额为：NS=1 bil/936=1,068,376 index share(spot market).令Nf=1,068,376.,Example,这样整个头寸的变化量为：可见，服从正态分布，其均值和标准差分别为：将 代入到VaR的计算公式中，a 99%one day VaR 为：,评论（1）,你可能会立刻注意到在计算非线性证券VaR时，Delta-Normal method的不足：（1）根据定义，VaR给出的是小概率下极端的损失值(损失大于$22.147 mil in the next 24 hours的概率，仅有1%)。Delta方法仅仅在股票价格小的变化时
28、才适用。因此，在近似方法(假设价格有小的变化)与VaR(价格有大的变化)定义之间存在不一致性。（2）为了进一步考察近似的程度，我们计算看跌期权的价值，这里收益率为均值-2.326 standard deviations（假设均值为0）这样，日收益率为：是低于均值2.326 standard deviations的股票收益率(这也是用于计算没有期权时99%VaR的分界值）。这时，新的指数值为 S=900（对应于VaR的分界值）。看跌期权的价格为：,评论（2）,总头寸的价值下跌（也就是VaR）为：可见，与$22.147不同，其差异的原因是相对于标的资产，看跌期权的价值是非线性的。换言之，随着股票价
29、格的下跌，看跌期权的Delta变的更负，即它的Gamma（Delta 对标的股票价格变化的敏感性）是正值（此例中)，看跌期权的价值比 增加更快。在这种情况下，估计值超过实际的a 99%one day VaR，但是，同样的非线性也可能会低估a 99%one day VaR。,（二）The Delta-Gamma Method,比delta method 更好的近似方法是应用Taylor expansion 中的高阶项。应用上述例子(Taylor expansion),我们有：这样，有：或：从上述公式，我们立刻可以看出使用高阶项估计衍生证券风险的问题。既是 服从正态分布，也不服从正态分布（实际上，
30、服从自由度为1的Chi-square分布）。,（二）The Delta-Gamma Method,因此，使用正态分布假设的优点在这里消失。一旦出现这种情况，建议使用更符合实际的收益分布。一种方法是计算整个头寸（股票+期权）的标准差，并应用2.33分位数计算VaR.这是一个相对简单的方法，因为，如果 服从正态分布，则所有矩的分析表达式均可以写出：例如（数理统计数中），这里，这样，我们得到:,因此，这里，我们假设,这个结果比用delta method更接近与实际值。注意：如果假定 99%的分位数为 2.326，那么，我们是假定收益率为正态分布，但实际上往往不是正态分布。,非线性VaR(Non-Li
31、near Value-at-Risk),将（2）式重新整理为：这里，如果，,非线性VaR,如果 是 分布的 分位数，这样，更好的估计是：在这种情况下，我们得到：VaR=20.1303,第四节非独立同分布正态收益率假设的情况：厚尾分布,一、非正态分布的情况 在计算大型证券组合 VaR 时涉及大量的计算，应用收益率的简化假设，如独立同分布正态收益率假设，可以使风险管理者很快速计算所需要的风险值。使用这些简化假设时，风险管理者要在VaR的准确性与快速估计方法之间寻求一种平衡。这一部分，我们将分析几种不同的VaR 计算方法，这些方法不依赖于独立同分布正态收益率的假设。1、实例 下图是USD/Euro汇
32、率日收益率的历史分布密度图与在参数估计中假设的正态分布密度图。从图中可以看出，历史分布密度图表现为胖尾细腰的特征，这就是说，USD/Euro汇率日收益率出现大值或小值的概率比具有相同期望收益率和方差的正态分布假设下出现大值或小值的概率大，亦即这些值比正态分布假设下作出的预测更容易发生。,2、说明,这对于基于正态分布收益率计算的VaR 来说，不是一个好消息，因为，厚尾意味着,对应于99%概率的实际分界点要低于使用基于正态分布收益率计算的分界点。实际上（上图）,1%处分界点的值对应于正态分布中-1.4%的值(非标准正态),在实验（历史）分布中对应于-1.54%。,二、应用历史收益率密度计算 VaR
33、,解决上述问题的一种方法是应用收益率本身的历史分布密度。如6.2 中的例子，我们可以找到1.54%的分位点，记为则：此值大于独立同分布正态收益率假设下的VaR(等于$78,711.84).这种方法对估计大型证券组合的VaR也是十分有效的。,6.2节中的例子,一个公司在欧元上的投资额为5.6 million dollars，在日圆上的投资额为7.629 million dollars。为计算99%1 day VaR,我们只需要计算证券组合价值变动 的历史分布中，左边1%对应的分位数即可。也就是说，对于样本中每一个 t值，计算：利用历史收益，我们可以计算对应于左边1%概率的证券组合变化值为200,
34、570,这样，VaR=$200,570。同样，此值比使用正态分布假设下，通过计算均值和标准差，进而计算的VaR 数值大（为$177,331.59）。在此例中，我们得到的VaR 数值比正态分布假设下大13%。,处理非线性衍生证券的全值法,历史分布密度方法也可以用来消除我们6.2节中讨论的非线性问题。再考虑那里讨论的组合保险的例子。为了计算VaR,对样本区间0,t中的每一个，令 为股票S t 的日收益率，我们可以计算明天股票模拟价格的变化为：给定明天股票模拟价格的分布，可以根据 Black and Scholes formula计算明天看跌期权的价格，最后，我们可以计算证券组合价值变化的分布。,实
35、例,使用S&P500，1997年日收益率数据，我们计算 99%one day VaR 为：VaR=$13,155,515.61这个数据比我们以前得到的VaR小的多。但对这个数据的解释要小心。事实上，（1）我们仅仅有 252个日收益观测数值。这意味着 1%最低百分位数是第3个最负的收益率数值，因此，由于我们仅有2 低于该数值的观测值,那么计算的 VaR数值并不可靠，应用统计的术语，它不显著，因为存在很大的标准差。（2）1997 对于美国股票市场是非常好的一年（尽管不如1996年），因此，计算的VaR 反映的是市场没有任何实质性的不好收益率的情况。对于这些问题，使用大样本数据，可以部分地得到解决。
36、,三、可变方差的正态分布收益率,我们可以假定正态分布的参数是变化的，进而放松独立同分布假设，而同时保持“正态收益率”的灵活性。假设USD/EU外汇收益率 M t 服从正态分布，即：这里，随时间变化。在实际中，的确有许多证据证明，这些参数是随时间变化的。如果我们取方差估计量的均值，如：如下图，我们可以看到，方差的估计量随时间大幅变动。下面我们讨论几个模型，这些模型中，收益率仍然服从正态分布，Value-at-Risk的计算，象前面有关章节一样，可以直接计算，唯一需要注意的是将下标t 加入到均值与方差。,1、简单移动平均法,考虑收益率方差变化的最简易方法是应用最新的数据估计标准差，例如不是利用象我
37、们在6.1节中应用最近3年的收益率数据而是应用最近若干天的数据，如 90天的数据（前面部分）。在这种情况下，要在估计的精度与使用时间之间的寻求平衡。使用距现在较长时间的数据可能与明天收益率标准差的估计无关，然而使用较少的数据，却可能降低估计的精度。类似地，两个资产之间的相关系数也是随时间而变化的。如考虑欧元与日圆收益率之间的相关系数的移动平均值：同样，它是随时间而变化的。,2、风险测度（RiskMetrics）:指数加权法,上述移动平均法预测将来的易变性存在的一个问题是，对所有的观测值给予相同的权重，既是看似与预测明天易变性无关的1个月前的数据也给予同样的权重。RiskMetrics(J.P.
38、Morgan)提出了一种给予各观测值不同权重的方法，最近的观测值给予更大的权。特别是，他们提出了下列的平均数：这里，t0 为样本的第一期，对于日数据，取对于月数据，取当样本数量为无穷大时，上述公式变为：,因此，明天收益率方差的预测值为今天收益率方差的预测值与今天实际收益率平方的简单加权平均。RiskMetrics估计的方差值为 比以前我们所使用的0.6%的历史数据大。类似地，RiskMetrics 可以使用同样的程序计算相关系数。事实上，从协方差的计算开始，协方差的估计为：,同样，利用递归的方法：根据RiskMetrics，现在的估计值为：Exercise:Compute the 99%1da
39、y VaR for the previous examples under the current RiskMetrics estimates.Comment on your results.,3、GARCH Models 方法,简单而论，一般的自回归条件异方差模型，包括了RiskMetrics 方法，只要假定方差参数的一个特殊过程即可。最常用的模型是 GARCH(1,1)，模型为：ARCH模型家族非常庞大，你可以参考Bollerslev,Chou and Kroner的文章:“ARCH Modeling in Finance”in the Journal of Econometrics(19
40、92)，这里有这些模型的详细内容和参数估计方法。,四、正态分布的混合（Mixture of Normals）(应用！),计算VaR 另一个常用的方法是假定每一个阶段，收益率都以某种概率服从一种正态分布或服从不同参数的另一个正态分布，这种情况下，收益率的分布称为正态分布的混合“mixture of normals”。不幸的是，这种分布没有好的性质，因此计算VaR时的分界点价值只能进行数值计算。下面，我们讨论两种流行的模型：1、Jumps 模型（跳跃模型）设收益率是服从正态分布，且方差为常数，但是每一阶段（时期），都有可能出现跳跃的情况，但出现的概率是小概率。例如，下列模型是非常流行的：,1、Ju
41、mps 模型（跳跃模型）,其中，即时刻t的收益率总是等于R,它服从正态分布，但每一个时期，都存在一个影响收益率的大冲击（跳跃），其出现的概率为p。这种结构意味着收益率的实际分布具有厚尾性。2、状态转换模型（Regime Switches）Jumps 模型隐含着收益率的时间序列中出现远离均值收益率的极端值。虽然人们认为1987年的股灾是这种情况的一个例证，但这个模型不能解释易变性变化的持续存在。1987股灾之后，市场的不稳定性仍然很大，而简单的Jumps 模型隐含有这样的含义，即在一个jump出现以后，收益率的易变性重新回到“正常水平”。,2、状态转换模型（Regime Switches）,一种替代的方法是假定存在一个易变性状态，下面是另一个流行的模型：假设在时间t，收益率的产生过程为R,称为正常状态，在t+1 时刻，存在一个概率1-p，收益率仍然为“正常状态”，但是，在t+1 时刻，也存在一个概率p，状态变为动荡状态；收益率是由 产生。如果时间t的状态是“动荡”的，存在一个概率1-q，在时间t+1时，状态仍然为“动荡”的，但也存在一个概率q，状态转化为“正常状态”。这种模型与jump model基本类似，只不过跳跃期变长而已。,应用,1、期权如何定价？2、Var如何计算？,
