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1、6.建筑管理中的数学方法,建筑管理中的数学方法,多目标决策法层次分析方法数据包络分析,多目标决策法,在决策理论和方法的研究初期，为了便于研究，人们假设决策的目标是单一的，如运筹学中的线性规划，其目标函数常常是利润最大或成本最低当代的决策不仅仅是如何提高效率之类的技术问题，而是必须在决策过程中更多地考虑诸如经济、政治、社会以及生态环境等多方面因素，因此，决策者将不得不做出某种妥协，以在众多冲突性目标之间寻求平衡多目标决策的特征从“最优解”到“满意解”因为多目标决策中的多个目标之间通常是相互冲突的从“唯一解”到“一组解”多目标决策可以为决策者提供一组有效解及其相关信息。这正符合现代管理科学的一条著
2、名原则：为了达到预定目标，下级给上级提出的策略（行动方案）必须至少有两个，而且必须说明各个方案的优劣和得失，供上级考虑和选择。世界著名的哈佛企业管理百科全书中明确指出，只会提出一个方案的下级是不称职的，必须坚决撤换,多目标决策与多目标规划,多目标决策的构成要素,有n个评价指标fj，（1jn）有m个决策方案Ai，（1im）有一个决策矩阵D（xi，j）mn，（1im，1jn）。其中元素xi，j表示第i个方案、第j个指标fj的指标值。决策矩阵是一个具有m行n列的矩阵对于多目标决策问题，其可行域X只有m个离散点，而非连续的,指标的标准化处理,在多目标决策中，如果各个评价指标的单位不同、量纲不同和数量级
3、不同，就必须进行预处理，即对所有评价指标进行标准化处理，将其转化成无量纲、无数量级差别的标准分，然后才能进行决策所有的评价指标从经济上可以分为两大类：效益指标如：利润、产值、功能、效率等，这些指标都是越大越好成本指标如：成本、能耗、物耗、人工、投资等，这些指标都是越小越好在以下的标准化处理中，假定原决策矩阵为D（xij）mn，经过标准化处理后得到的矩阵为R（rij）mn,指标的标准化处理方法,向量归一化特点：0rij1（1im，1jn）对于每一个指标fj，矩阵R中列向量的模为1，因为：,（1jn）,指标的标准化处理方法,线性比例变换令：最大值 最小值对于效益指标：对于成本指标：特点：0rij1
4、（1im，1jn）计算方便保留了相对排序关系,指标的标准化处理方法,极差变换对于效益指标：对于成本指标：特点：0rij1（1im，1jn）对于每一个指标总是有最优值为1和最劣值为0,线性加权和法,在标准化决策矩阵R（rij）mn的基础上，对n个标准化的指标构造如下线性加权和评价函数：其中，wj为n个指标的权重系数：wj0，j=1，2，n，最后，按如下原则选择满意方案A*：,i=1，2，m,层次分析法（AHP）,问题的提出在生产实践中，有一类决策问题可以分成若干层次。如：某企业在年终时要确定如何合理使用一笔留成利润经过讨论认为，判定使用留成利润是否合理的准则有：调动职工劳动积极性提高企业技术水平
5、改善职工物质文化生活水平使用留成利润可选择的方案或措施有：发奖金扩建集体福利设施办职工业余学校建图书馆、俱乐部引进新设备,企业留成利润使用层次分析模型,合理使用企业留成利润,C1调动职工劳动积极性,C2提供企业技术水平,C3改善职工物质文化生活水平,P3办职工业余学校,P2扩建集体福利设施,P1发奖金,P4建图书馆、俱乐部,P5引进新设备,目标层A,准则层C,措施层P,层次分析法的基本原理,对于这类具有层次结构的决策问题，可采用层次分析法确定可选择方案的优先顺序层次分析法AHP（Analytic Hierarchy Process）是美国运筹学家在20世纪70年代提出来的，它是将半定性、半定量
6、的问题转化为定量计算的一种有效方法AHP基本原理首先将复杂的决策系统层次化，然后通过逐层比较各种关联因素的重要性程度建立模型判断矩阵，最后通过一套定量计算方法为决策提供依据,层次分析法的基本步骤,建立层次结构模型在深入分析所研究的问题后，将问题中所包含的因素划分为不同层次，如目标层、指标层和措施层等，并画出层次结构图表示层次的递阶结构和相邻两层因素的从属关系构造判断矩阵判断矩阵表示相对上一层次某一因素时，本层次各因素之间的两两相对重要性程度设A层因素ak与下一层次B中的因素B1，B2，Bn有联系，则可以构造如下判断矩阵：,层次分析法的基本步骤,其中，bij表示相对于上一层次因素ak时，因素Bi
7、对Bj的相对重要性，其值可以用数字19及其倒数表示，这些数字称为判断矩阵标度。判断矩阵标度首先由Saaty给出,ak B1 BnB1 b11 b1n Bn bn1 bnn,判断矩阵标度及其含义,标度的选择,选择标度为19是基于以下事实和科学依据：人们的习惯行为人们在估计事物质的区别性时，常用5种判断来表示，即相等、较强、强、很强、绝对强。当需要更高精度时，还可以在相邻判断之间作出比较。这样就会有9个数字心理学研究成果心理学家认为，人们在同时比较若干个对象时，能够区别差异的极限为72个对象，这样它们之间的差异正好可用9个数字表示Saaty研究成果Saaty还将19的标度方法同另外的26种标度方法
8、进行比较，结果表明，19标度方法能够较好地将思维判断数量化,判断矩阵的一致性,如果判断矩阵A满足 ajiajk=aik i，j，k=1，2，n则称A为一致性的判断矩阵。显然，如果决策者给出的判断矩阵A是一致的，则意味着决策者对各个因素所做的两两比较是可以传递的，即决策者在两两成对比较时，其判断思维是一致的然而，由于人的判断思维难以保持绝对一致，所以，通过两两成对比较得到的判断矩阵A不一定满足矩阵的一致性条件通过数学证明可知，n阶正互反矩阵A=（aij）nn是一致矩阵的充要条件，是其最大特征根max=n层次分析法计算的根本问题是求判断矩阵的最大特征根及对应的特征向量。其计算方法分为精确计算和近似
9、计算。以下介绍两种近似计算方法：方根法和积法,最大特征根的计算方根法,设判断矩阵为B=（bij）nn，则采用方根法进行层次分析法计算的步骤如下：计算判断矩阵每一行元素的乘积计算Mi的n次方根对向量 进行规范化则 即为所求的特征向量判断矩阵的最大特征根为其中（BW）i表示向量BW的第i个元素,i=1，2，n,i=1，2，n,最大特征根的计算和积法,设判断矩阵为B=（bij）nn，则采用和积法进行层次分析法计算的步骤如下：将判断矩阵每一列规范化将规范化后的判断矩阵按行相加对向量 进行规范化则 即为所求的特征向量判断矩阵的最大特征根为其中（BW）i表示向量BW的第i个元素,i，j=1，2，n,i=1
10、，2，n,层次分析法的基本步骤,层次单排序及其一致性检验判断矩阵的特征向量W经过归一化处理后，即为各因素关于目标的相对重要性的排序权值利用判断矩阵的最大特征根，可以求出一致性指标CI CI=（maxn）/（n1）根据Saaty给出的平均随机一致性指标RI令CR=CI/RI，称为一致性比率。当CR0.1时，可认为判断矩阵具有满意的一致性；否则需要调整判断矩阵，使之具有满意的一致性,层次分析法的基本步骤,层次总排序计算某一层次各因素相对上一层次所有因素的相对重要性的排序权值称为层次总排序。设上一层次A包含m个因素，其层次总排序的权值分别为a1，a2，am；下一层次B包含n个因素，它们对于因素Aj的
11、层次单排序权值分别为b1j，b2j，bnj，则B层次总排序权值可按下表计算,层次分析法的基本步骤,层次总排序的一致性检验当CR0.10时，可以认为层次总排序结果具有满意的一致性；否则，需要重新调整判断矩阵的元素值,数据包络分析,问题的提出在管理实践中，经常需要评价若干相同类型部门（或单位、方案）的相对有效性如：某专业银行需要对其下属的若干个分行进行效率评价。评价的输入指标和输出指标如下：输入指标银行职工工作时间（包括加班时间）、银行各项开支费用、银行使用面积、银行使用的计算机数量输出指标A类业务（一般的存、取款业务）交易额、B类业务（国内贷款业务）交易额、C类业务（国外业务）交易额通过采集一段
12、时间各分行各项指标以后，可以采用数据包络分析方法评价某一特定分行相对于其他分行的有效性,数据包络分析方法的起源,著名运筹学家、美国得克萨斯大学教授ACharnes和WWCooper等于1978年在欧洲运筹学杂志发表了一篇重要论文：Measuring the efficiency of decision making units。在该篇论文中，作者正式提出了数据包络分析DEA（Data Envelopment Analysis）方法，该方法可有效地解决具有多个输入、输出的部门之间相对有效性评价问题。因此，DEA方法从它诞生之日起，即为管理学界和运筹学界所瞩目，近年来应用领域日益扩大,DEA的基本
13、模型C2R模型,具有多个输入、输出的n个部门之间相对有效性评价问题可用下图表示,x11 x1j x1n xm1 xmj xmny11 y1j y1n ys1 ysj ysn,v1,vm,输入指标,u1,us,输出指标,其中，n个决策单元DMU（Decision Making Unit）可表示n个部门或n个单位或n个方案。每个决策单元有m个输入和s个输出，m个输入的权重分别为v1，v2，vm；s个输出的权重分别为u1，u2，us。xij表示第j个决策单元对第i种类型输入的投入量；ykj表示第j个决策单元对第k种类型输出的产出量,1 j n,决策单元,DEA的基本模型C2R模型,由于在生产过程中，
14、各种输入和输出的地位和作用不同，所以在评价某一决策单元DMUj相对于其他决策单元的相对有效性时，必须对每个决策单元DMU的输入和输出进行综合，即将每个决策单元DMU看作只有一个总体输入和一个总体输出的生产过程。这样，就需要对m个输入和s个输出赋予恰当的权重然而在一般情况下，由于人们对输入、输出之间的信息结构了解甚少或它们之间的相互替代性比较复杂，以及尽量避免分析者主观意志的影响，一般不事先给定m个输入和s个输出的权重，而是将输入、输出权重看作是变量，然后在分析过程中根据某种原则来确定,效率评价指数,为了衡量任一决策单元DMU的综合输入输出（或投入产出）效果，对于输入权重V=（v1，v2，vm）
15、T输出权重U=（u1，u2，us）T，定义第j个决策单元DMUj的效率评价指数hj：从上述定义可知，hj值越大，表示决策单元DMUj能够用相对较少的输入得到相对较多的输出。在假设所有决策单元的效率评价指数均不超过1的条件下，当尽可能地变化u和v，通过使决策单元DMUj0的效率评价指数hj0最大，即可构造最优化模型，也称为C2R模型（分式规划模型）,j=1，2，n,C2R模型,j=1，2，n,uk0 k=1，2，sVi0 i=1，2，m,C2R模型,利用Charnes-Cooper变换，可以将分式规划化为一个等价的线性规划问题。令：t=1/（vTxj0），w=tv，=tu，则得到如下线性规划模型
16、：,j=1，2，n,WTxj00W0，0,DEA方法的基本步骤,明确问题明确系统评价的目标以及影响这些目标的因素，确定决策单元的边界和各因素之间的定性定量关系，并根据各种因素的性质将其分为可变的和不可变的，可控的和不可控的，主要的和次要的，以便选取合适的评价指标体系选择决策单元决策单元的选取应具有一定的代表性，并且满足如下特征：具有相同的目标和任务具有相同的外部环境具有相同的投入、产出指标,DEA方法的基本步骤,确定系统的评价指标体系DEA主要是利用各决策单元的输入、输出评价指标数据对决策单元进行相对有效性评价，因此，评价指标的选择是DEA分析中的重要环节之一。通常，可将各决策单元的效用型指标
17、，如资金利用率、利税率等作为系统的输出指标，将成本型指标，如劳动力、流动资金平均余额等作为系统的输入指标在确定评价指标时，要遵循针对性、真实性、简洁性、可操作性和一致性，并注意指标之间的配合与相互关系，避免因忽视了某一指标的约束性而造成其它指标值变得没有意义收集和整理数据资料评价各决策单元的相对有效性时，需要输入各决策单元的输入、输出指标值，这些指标值的正确性将直接影响各决策单元的相对有效性评价结果，因此，正确收集和整理各决策单元的输入、输出数据就成为DEA评价中的重要组成部分,DEA方法的基本步骤,求解DEA规划模型可采用求解线性规划的商业软件进行求解，也可采用各种专门的DEA软件进行求解。通过求解DEA规划模型，获得各决策单元的评价结果收集和整理数据资料利用DEA规划模型的求解结果，判断各决策单元的DEA有效性，找出非有效性决策单元的无效原因及其改进措施，形成评价结果报告，为上级管理者进行科学决策提出建议,
