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1、,10.1 微分方程的基本概念,Basic concept of differential equations,三、微分方程的解,一、问题的提出,二、微分方程的定义,微,积,分,电,子,教,案,解,由题意得：,一、问题的提出,两端同时积分：,1、微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,常微分方程,偏常微分方程,二、微分方程的定义,未知函数是一元函数的微分方程,未知函数是多元函数时，出现偏导数，即含有偏导数的微分方程，,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,2、微分方程的阶:微分方程中所含的未知函数的导数的最高阶阶数称为微分方程的阶.,如前
2、例,分别为一阶、二阶、一阶,思考：,3、微分方程的解:将某个函数代入微分方程，能使方程恒等。则称此函数为微分方程的解。,均为解，有何区别？,例2 验证下列函数都是微分方程y-2y+y=0的解.,y=Cex;,y=xex;,y=C1ex+C2xex.,解:,y=Cex,y=Cex,y=Cex,代入原方程,左边=Cex-2Cex+Cex=0=右边,y=Cex是原方程的解.,同理.,y=C1ex+C2xex,解,解的线性组合也是解,C，C1，C2均为常数,4、微分方程的解的分类：,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立的(即不能合并了)任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解:确定了
3、通解中任意常数数值的解.,通解：通用的解，含有任意常数；特解：特殊的解，不含有任意常数,既不为通解，也不为特解，称为个解,例2 验证下列函数都是微分方程y-2y+y=0的解.,y=Cex;,y=xex;,y=C1ex+C2xex.,为特解,为通解,特解可以从通解中通过某个条件求出常数得到特解,称为定解条件，也称为初始条件,一般地，n阶微分方程就有n个定解条件,求特解步骤：先求通解，然后代入定解条件，确定通解中任意常数的值，可得特解。,微分方程,微分方程的通解,定解条件,如例1,求解得：,微分方程的特解,解,所求特解为,练习：,满足微分方程，故是其解。,中不含任意常数,故为微分方程的特解.,10
4、.2 一阶微分方程,Basic concept of differential equations,三、齐次方程,一、一阶微分方程的形式,四、一阶线性微分方程,微,积,分,电,子,教,案,二、可分离变量的微分方程,即f（x，y）是可分离变量的,一阶微分方程的形式,一般形式：,常见形式：正规型 微分型,一、可分离变量的微分方程,学习微分方程重点就是了解这个方程是什么类型？这种类型怎么解？,一般形式,解法分离变量，直接积分。,解法：1、分离变量。将变量x的函数和微分与变量y的函数和微分分离在等式两边,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,得：,例2 求微分方程,解,分离变量,两端积分,2、然
5、后积分。,两端积分得：,结论1:通解既可用显函数表示,也可用隐函数表示.,与例1的区别：一个显函数解，一个隐函数解,结论2：解微分方程中形如，可以直接写为而不必再加绝对值。,结论3：解微分方程时若积分后，出现对数,积分常数常写成lnc形式，以便于合并化简,可简写为：,两端积分,若求在 y(0)=1 条件下的特解，怎样求？,例5:已知某商品需求量Q,对价格p的弹性，且该商品的最大需求量为200，求需求函数Q。,解：由题意得：,方程（1）可化为：,两端积分得：,将 Q(0)=200代入，可得 C=200,故所求需求函数,例6：设 在 连续，且满足，求,解：原方程对x求导：,即：,分离变量得：,两端积分得：,由原方程可知：f(0)=0 代入通解 c=2,故,作业：P384 1(1，3)6 7,注意:积分方程求导后化为微分方程;注意隐条件.,练习：求下列微分方程的通解,1、(1+x2)dy-dx=0,、,练习：求下列微分方程的通解,解:1、分离变量,得：,、,1、(1+x2)dy-dx=0,积分得：y-arctanx=C,原方程的通解为：,2、分离变量，得,两边积分得：lny=-lnx+lnC,即 lnxy=lnC xy=C,y=arctanx+C,
