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1、一、微分的定义(Definition of Differential),二、微分的几何意义(The Geometric Meaning of Differential),四、微分在近似计算中的应用Application of Differential in Approximation,第四节 微分及其计算Differential of a Function and the Rules for Differentiation,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 The Differential Formulas of the Basic Elementary Funtiond and th
2、e Rules for Differentiation,返回,一、微分的定义(Definition of Differential),问题的提出,一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由 变到（如图），问此薄片的面积改变了多少？,一般地,如果函数y=f(x)满足一定条件,则函数的增量 可表示为,其中A是不依赖于 的常数,因此 是 的线性函数,且它与 之差,是比 高阶的无穷小,所以,当,且 很小时,我们就可以近似地用 来代替,定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义，及 在这区间内，如果函数的增量可表示为其中A是不依赖于 的常数，而 是比 高阶的无穷小，那么称y=f(x)在点 是可微的，而
3、叫做函数y=f(x)在点 相应于自变量增量 的微分，记作dy，即,Definition Let y=f(x)be a function defined on some interval I,I,I,if the increment of the dependent variable y=f()f()can be expressed as y=Ax,where A is a constant which is independent of x,then we say that f(x)is differentiable at,and Ax is called the differential o
4、f y=f(x)at corresponding to the increment Ax of the independent varable,denoted by dy,i.e.dy=Ax.,由定义知:,定理：y=f(x)在 可微的充分必要条件是f(x)在 处 可导，且当f(x)在点 可微时，其微分一定是,(1)必要性,证明,Theorem:A function is derivable at x0 if and only if it is differentiable at x0.,(2)充分性,例1,解,例2,解,返回,M,N,）,几何意义:(如图),二、微分的几何意义The Geome
5、tric Meaning of Differential,返回,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则The Differential Formulas of the Basic Elementary Funtiond and the Rules for Differentiation,函数的微分的表达式,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式The Differential Formulas of the Basic Elementary Functions,2.函数和、差、积、商的微分法则(The Differential Rules of the Sum,
6、Difference,Product,Quotient of Functions),复合函数的微分法则The Differential Rules of Composite function,与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下:,设 及 都可导,则复合函数 的微分为,上式说明无论是u自变量还是中间变量其微分形式不变,这一性质称为微分形式不变性.,例3,解,例4,解,例5,解 应用积的微分法则,得,例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,解(1)我们知道,可见,即,一般地,有,(C为任意常数),(2),即,(C为任意常数),返回,四、微分在近似计算中的应用Application of Differential in Approximation,1 函数的近似计算,这个式子也可以写为,或,(4),(5),(6),解,例8,下面我们来推导一些常用的近似公式,(7),应用(7)式可以推得一下几个在工程上常用的近似公式:,证明:,其它几个近似公式可用类似方法证明,这里从略了,例9,解,这里x=0.05,其值较小,利用近似公式,便得:,如果直接开方,可得,将两个结果比较一下,可以看出,用1.025作为 的近似值,其误差不超过0.001,这样的误差在一般应用上已经够精确了.,
