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1、第一节 微分中值定理,第三章 微分中值定理与导数的应用,一.罗尔中值定理,二.拉格朗日中值定理,三.柯西中值定理,一、费马(Fermat)引理,且,存在,即：可导的极值点处，导数为零,费马定理的几何解释,如何证明？,费 马Pierre de Fermat(16011665),费马，法国数学家.出身于一个商人家庭.他的祖父、父亲、叔父都从商.他的父亲是当地的第二执政官,经办着一个生意兴隆的皮革商店.费马毕业于法国奥尔良大学，以律师为职.曾任图卢兹议会会员,享有长袍贵族特权.精通 6 种语言.业余爱好数学并在数论、几何、概率论、微积分等领域内作出了创造性的工作.,费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡”
2、.,费马(Fermat)引理的证明,存在,证:设,则,二.罗尔中值定理,设,则至少存在一点,定理,实际上,切线与弦线 AB 平行.,罗尔定理的几何意义,最小值至少各一次.,证,该点是极值点，由费马定理可知：,注意:,1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.,例如,2)定理条件只是充分条件,证,所以函数在-1,3上满足罗尔定理的3个条件.,证,其中,证,由罗尔定理,至少存在一点,例4.证明方程,有且仅有一个小于1 的正实根.,证:1)存在性.,使,即方程有小于 1 的正根,2)唯一性.,假设另有,至少存在一点,但,矛盾.,三.拉格朗日中值定理,设,则至少存在一点,定理,几何意义,作辅助函数,显
3、然,且,证法1:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立.,切线与弦线 AB 平行,如何利用罗尔定理来证明？,证法2,则由已知条件可得：,故由罗尔定理,至少存在一点,推论 1,推论 2,故,从而,证,证1,证2,证,又,故,从而,即,证1,证2,则,又,且,故,即,证,四.柯西中值定理,设,则至少存在一点,在拉格朗日中值定理中,将曲线用参数方程表示,会出现什么结论？,柯西中值定理的几何意义:,使曲线在该点的切线与弦线平行,即它们的,斜率相等.,注意:,并不具备任意性,它们间的关系由曲线确定.,有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值定理了.,证法1:,且,使,即
4、,由罗尔定理知,至少存在一点,作辅助函数,故 由罗尔中值定理至少存在一点,使得,亦即,证法2,三个中值定理的关系,图形旋转,参数方程,例10.,证:结论可变形为,设,则,在 0,1 上满足柯西中值,定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使,即,例11,证,例12.试证至少存在一点,使,证法1：用柯西中值定理.,则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,试证至少存在一点,使,证法2：令,则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,大量,为此,我们称这类极限为“不定式”,我们知道:两个无穷小量或两个无穷,大量的商的极限,随着无穷小量或无穷
5、大,量的形式不同,极限值可能存在、也可能,不存在、可能是无穷小量、也可能是无穷,记为:,第二节 罗必达法则,罗必达法则,设在某一极限过程中,解释：,是指：,可选择适当区间来运用柯西中值定理.,运用罗必达法则时的注意事项,在运用罗必达法则时,但也不是无穷大,则不能说明,在.此时应重新另找其它方法进行计算.,罗必达法则只限于求,其它,类型的不定型应首先化成这两种形式才能用,罗必达法则.,在运用罗必达法则求极限过程中,极限存在并且不等于零的因子可以提出来,这样可使问题简化.,在运用罗必达法则求极限过程中,尽可能运用等价无穷小替代方法,它往往可使问题得到明显的简化.,如果在使用罗必达法则后,则条件,则
6、可继续使用罗必达法则.,此题不用罗必达法则,用等价无穷小替代也可.,此题不用罗必达法则,用消去零因子(X-2)也可.,不存在,故不能用罗必达法则求此极限.,实际上,小 心！,(不能用罗必达法则),解:,注意到,故原式,注:洛必达法则可与其他方法结合使用!,(等价无穷小替换),如果 n不是正整数,怎么办？,从而,由,用夹逼准则,存在正整数 k,使当 x 1 时,你还打算做下去吗?,这样做,分母中 x 的次数将越来越高,而分子不变,极限始终无法求出.,将原极限稍加变形:,变量替换,除 外,其中,其它类型不定式的极限,以下各类极限也为不定式的极限：,倒数法,只需讨论这两种极限,幂指类型不定式的极限通
7、过,转换为,下面的介绍的是利用倒数法或取对数法将其它的不定型转化为可以运用罗必达法则计算的例题.,倒数法.,用另一种形式颠倒行不行?,行,但繁些.,存在一个选择问题.,这种形式可以直接通分.,极限不等于零的因子,解:,运用取对数法.,解,解,这是数列的极限,罗必达,此题也可用重要极限的方法来求解.,(等价无穷小替换),幂指类型不定式的极限通过,转换为,公式 称为 的 n 阶泰勒公式.,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日型余项.,一、泰勒公式（拉格朗日型余项）:,阶的导数,时,有,其中,则当,第三节 泰勒（Taylor）公式,特例:,(1)当 n=0 时,泰勒公式变为,(2)当 n=1 时,泰勒
8、公式变为,得到拉格朗日中值定理,可见,误差,称为麦克劳林（Maclaurin）公式.,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,由此得近似公式,Taylor公式（Peano型余项):,其中,定性分析时，不需要余项的精确表达式,可用Peano型泰勒公式；定量分析时，需要余项的精确表达式，用lagrange型Talor公式。,泰勒公式的证明*,以直代曲,在微分应用中已知近似公式:,如果,x 的一次多项式,满足什么条件？,1.n 次近似多项式,的要求:,故,若,则,记,2.余项估计,令,(称为余项),则有,解1:用泰勒公式,解2:用拉格朗日中值定理,二、几个初等函数的麦克劳林公式
9、,其中,其中,类似可得,其中,其中,已知,其中,类似可得,常用函数的麦克劳林公式,所以,2.利用泰勒公式求极限,例2.求,解:,由于,用洛必塔法则不方便!,解,例3.,例4.求,解法1 利用中值定理求极限,原式,解法2 利用泰勒公式,令,则,原式,解法3 利用罗必塔法则,原式,3.利用泰勒公式证明不等式,例5.证明,证:,三、泰勒公式的应用,1.在近似计算中的应用,误差,M 为,在包含 0,x 的某区间上的上界.,需解问题的类型:,1)已知 x 和误差限,要求确定项数 n;,2)已知项数 n 和 x,计算近似值并估计误差;,3)已知项数 n 和误差限,确定公式中 x 的适用范围.,已知,例1.计算无理数 e 的近似值,使误差不超过,解:,令 x=1,得,由于,欲使,由计算可知当 n=9 时上式成立,因此,的麦克劳林公式为,说明:注意舍入误差对计算结果的影响.,本例,若每项四舍五入到小数点后 6 位,则,各项舍入误差之和不超过,总误差为,这时得到的近似值不能保证误差不超过,因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.,例2.用近似公式,计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005,试确定 x 的适用范围.,解:,近似公式的误差,令,解得,即当,时,由给定的近似公式计算的结果,能准确到 0.005.,
