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1、第七章,数值积分与微 分（上）,第七章目录,1 数值积分的基本概念 1.1构造数值求积公式的基本思想 1.2代数精度 1.3插值型求积公式2 牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式 2.1牛顿一柯特斯公式 2.2几种低价N-C求积公式的余项 2.3牛顿一柯特斯公式的稳定性和收敛性3 复化求积公式 3.1复化梯形公式 3.2复化Simpson公式与复化Cotes公式,第七章目录,4 变步长方法（逐次分半算法）4.1 梯形公式的逐次分半算法 4.2 Simpson公式的逐次分半算法5 龙贝格（Romberg）求积公式 5.1外推法 5.2 Romberg求积公式6 高斯（Gauss）型求积公
2、式7 数值微分,序(1),计算定积分 的值是经常遇到的一个问题，由微积分理论知道：只要求出f(x)的一个原函数F(x)，就可以利用牛顿莱布尼慈（Newton-Leibniz）公式出定积分值：,但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法时，往往会遇到下面情况：,1.函数f(x)没有具体的解析表达式，只有一些由实验 测试数据形成的表格或 图形。,序(2),3.f(x)的结构复杂，求原函数困难，即不定积分难求。,2.f(x)的原函数无法用初等函数表示出来，如：,由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算方法，进而建立起上机计算定积分的算法，此外，数值积分也是研究微分方程和积分方程的数值解法的
3、基础。,同样，对函数f(x)求导，也有类似的问题，需要研究数值微分方法。,1 数值积分的基本概念,1.1 构造数值求积公式的基本思想,定积分I=ab f(x)dx在几何上为x=a,x=b,y=0和y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。定积分计算之所以困难，就在于这个曲边梯形中有一条边y=f(x)是曲边，而不是规则图形。由积分中值定理，对连续函数f(x)，在区间a,b 内至少存在一点，使：,也就是说，曲边梯形的面积I 恰好等于底为（b-a），高为f()的规则图形矩形的面积（图7-1），f()为曲边梯形的平均高度，然而点的具体位置一般是不知道的，因此难以准确地求出f()的值。但是，由此可以得到这样的
4、启发，只要能对平均高度f()提供一种近似算法，便可以相应地得到一种数值求积公式。,构造数值求积公式的基本思想（续）,如，用两端点的函数值f(a)与f(b)取算术平均值作为平均高度f()的近似值，这样可导出求积公式：,更一般地，可以在区间a,b 上适当选取某些点xk(k=0,1,n)，然后用f(xk)的加权平均值近似地表示f()，这样得到一般的求积公式：,其中，点xk 称为求积节点，系数Ak 称为求积系数，Ak 仅仅与节点xk 的选取有关，而不依赖于被积函数f(x)的具体形式，即xk决定了，Ak也就相应的决定了。,构造数值求积公式的基本思想（续1）,回顾定积分的定义，积分值I 是和式的极限：,其
5、中xk是a,b 的每一个分割小区间的长度，它与f(x)无关，去掉极限，由此得到近似计算公式：,因此，式（7-1）可作为一般的求积公式，其特点是将积分问题归结为函数值的计算，从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需要求原函数的困难，适合于函数给出时计算积分，也非常便于设计算法。便于上机计算。求积公式（7-1）的截断误差为：,Rn也称为积分余项。,1.2 代数精度,数值积分是一种近似方法，但其中有的公式能对较多的函数准确成立，而有的公式只对较少的函数准确成立。为了反映数值积分公式在这方面的差别，引入代数精度的概念。,定义1,如果某个求积公式对所有次数不大于m的多项式都精确成立，而至少对一个m+1次多项式
6、不精确成，则称该公式具有m次代数精度。,一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应用，由定义1容易得到下面定理。,定理1,一个求积公式具有m次代数精度的充分必要条件是该求积公式对 1,x,x2,xm 精确成立，而对xm+1不精确成立。,代数精度(续1）,试验证梯形公式具有一次代数精度。,例1,同理可证明矩形公式的代数精度也是一次的,代数精度（续2）,上述过程表明，可以从代数精度的角度出发来构造求积公式。例如，对于求积公式（7-1），若事先选定一组求积节点xk(k=0,1,n,)，xk可以选为等距点，也可以选为非等距点，则可令公式对f(x)=1,x,xn 精确成立，即得：,这是关于A0、A
7、1、An的线性方程组，系数行列式为范德蒙行列式，其值不等于零，故方程组存在唯一的一组解。求解该方程组即可确定求积系数Ak，所得到的求积公式（7-1）至少具有n次代数精度。,代数精度举例,例2,确定求积公式,使其具有尽可能高的代数精度。,解求积公式中含有三个待定参数，可假定近似式（7-3）的代数精度为m=2，则当f(x)=1，x，x2时，式（7-3）应准确成立，即有：,代回去可得：,公式（7-4）不仅对特殊的次数不高于3次的多项式f(x)=1,x,x2,x3准确成立，而且对任意次数不高于3次的多项式,a0+a1x+a2x2+a2x3（f(x)=1,x,x2,x3的线性组合）也准确成立，事实上，令
8、R(f)表式（7-4）的截断误差：,检查（7-4）对 m=3 是否成立，为此，令 f(x)=x3 代入（7-4），此时左边。,再检查（7-4）对m=4是否成立，令f(x)=x4代入（7-4），此时:,因此近似式（7-4）的代数精度为m=3.,代数精度举例（续1）,由于对任意的常数,和函数f(x)，g(x)成立:,这表明，误差对f(x)=1,x,x2,x3准确成立，则对它们的任意线性组合a0+a1x+a2x2+a3x3也准确成立，所以通常检查一个求积公式是否具有m次代数精度，只需检查对f(x)=1,x,xm 是否准确成立即可。,上述方法称为待定系数法！,代数精度举例（续2）,待定系数法注释,注1
9、：由待定系数法确定的求积公式没有确切的误差估计式，只能从其所具有的代数精度去判定求积公式的准确程度。,注2：因此，希望由待定系数法确定的求积公式的代数精度越高越好，通常的方法是要确定n+1个待定系数。可设求积公式具有n次代数精度，去建立n+1个方程求解，否则的话，只设其具有0次代数精度，建立1个方程也可以求出n+1个待定参数.,上述方法称为待定系数法，在具有尽可能高的代数精度的要求下，利用它可以得出各种求积公式。,1.3 插值型求积公式,其中lk(x)为插值基函数。取f(x)Ln(x)，则有：,记：,则有：,设给定一组节点a x0 x1 xn-1xn b，且已知f(x)在这些节点上的函数值，则
10、可求 得f(x)的拉格朗日插值多项式：,插值型求积公式（续）,这种求积系数由式（7-5）所确定的求积公式称为插值型求积公式。,根据插值余项定理，插值型求积公式的求积余项为：,其中a,b 且与x有关。在插值中，因f(x)不知道，所以无法估计插值误差。而在这里，f(x)作为被积函数，式（7-6）却可以用于估计积分的误差。,插值型求积公式代数精度定理,关于插值型求积公式的代数精度，有如下定理。,具有n+1个节点的数值求积公式（7-1）是插值型求积公式的充分必要条件是该公式至少具有n次代数精度。,定理2,证：(充分性)设求积公式（7-1）至少具有n次代数精度，那么，由于插值基函数 li(x)(i=0,
11、1,n)均是次数为n的多项式，故式（7-1）对li(x)精确成立，即:,定理2（续）,(必要性)设求积公式（7-1）是插值型的，则对所有次数不大于n的多项式f(x)，按（7-6）其求积余项Rn=0，即公式是精确成立的。由定义1知求积公式至少具有n次代数精度。（证毕）,定理2说明，当求积公式（7-1）选定求积节点xk后，确定求积系数Ak有两条可供选择的途径：求解线性方程 组（7-2）或者计算积分（7-5）。由此得到的求积公式都是插值型的，其代数精度均不小于n次。,插值型求积公式举例,例3,考察求积公式：,具有几次代数精度。,此例说明三个节点的求积公式不一定具有二次数精度，其原因是此求积公式不是插
12、值型的。,2 牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式,本节介绍求积节点等距分布时的插值型求积公式，即牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式。,2.1 牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式,设将积分区间a,b 划分为n等分，步长h=(b-a)/n，求积节点取为xk=a+kh(k=0,1,n)，由此构造插值型求积公式，则其求积系数为:,牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式（续）,称之为n阶牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式简记为N-C公式，称为柯特斯系数。显然，柯特斯系数与被积函数f(x)和积分区间a,b 无关，且为多项式积分，其值可以事先求出备用。表7-1中
13、给了了部分柯特斯系数。,记：,柯特斯系数,表7-1,牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式（续1）,经计算或查表得到柯特斯系数后，便可以写出对应的牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式。,当n=1时，按公式（7-7）有：,得求积公式：,即为梯形公式,相应的求积公式：,称为辛卜生（Simpson）公式。,牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式（续2）,所以柯特斯公式是：,当n=4时，所得的公式称作柯特斯公式，它有五个节点，其系数：,柯特斯系数的性质,1、与积分区间无关：当n确定后，其系数和 都等于1，即：,2、对称性：,此特性由表7-1很容易看出，现就一般情况证明之。,3、柯特
14、斯系数并不永远都是正的。从表7-1可以看出当n=8时，出现了负系数，在实际计算中将使舍入误差增大，并且往往难以估计，从而牛顿一柯特斯公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此实际计算中不用高阶的牛顿一柯特斯公式。,柯特斯系数的性质（续）,2n阶Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代数精度。,一般地，由n次插值多项式导出的n次牛顿一柯特斯公式至少具有n次代数精度，更进一步有以下结论：,定理3,（证明见下屏）,N为偶时的牛柯公式的代数精度证明,上式中被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称，故积分值为0，即：,所以2n阶N-C公式至少具有2n+1次代数精度。,N-C公式应用举例,例4,验证辛卜生
15、（Simpson）公式:,具有三次代数精度。,解：由定理2,辛卜生公式至少具有二次代数精度,因此只需检查对f(x)=x3成立否。当f(x)=x3时：,所以I=S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多项式准确成立，用同样的方法可以验证对于f(x)=x4，辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三次。在几种低阶N-C公式中，感兴趣的是梯形公式（最简单，最基本）、辛卜生公式和柯特斯公式。,N-C公式应用举例（续）,例5,解：由梯形公式（7-9）得：,由辛卜生公式（7-10）得：,由柯特斯公式（7-11）得：,事实上，积分的精确值：,分别用梯型公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算积分：,与之相比
16、可以看到，柯特斯公式的结果最好，具有七位有效数字；辛卜生公式的结果次之，具有四位有效数字；而梯形公式的结果最差，只有两位有效数字。,2.2 几种低价N-C求积公式的余项,1.考察梯形公式，按余项公式（7-6），梯形公式（7-9）的余项为：,这里被积函数中的因子(xa)(xb)在区间a,b 上不变号（非正），故由积分中值定理，在a,b 内至少存在一点，使：,2.对于辛卜生公式，为得到其误差估计式，在a,b 区间上构造三次多项式H(x)，让H(x)满足插值条 件（带导数插值）：,（紧接下屏）,辛卜生公式误差估计式的 推导,而辛卜生公式至少具有三次代数精度，因此对上述三次多项式H(x)应准确成立，即
17、有：,其插值余项为：,因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分：,3.柯特斯公式（6-10）的余项为：,辛卜生公式误差估计式的 推导（续）,2.3 牛顿一柯特斯公式的稳定性和收敛性,根据定理2，牛顿一柯特斯公式（6-7）对f(x)=1精确成立，即：,由此可得：,下面来分析f(xk)的误差对数值求积结果的影响。设f(xk)有误差k，并设:,则由此引起的计算误差为：,牛顿一柯公式的稳定性和收敛性（续）,关于收敛性可以证明，并非对一切连续函数f(x)，都有：，,也就是说牛顿柯特斯公式的收敛性没有保证。因此，在实际计算中，一般不采用高阶(n 8)的牛顿柯特斯公式。,在实验计算中常用的就是以上三种
18、低阶的N-C公式，但若积分区间比较大，直接使用这些求积公式，则精度难以保证；若增加节点，就要使用高阶的N-C公式，然而前面已指出，当n 8时，由于N-C公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此不能采用高阶的公式，事实上，增加节点，从插值的角度出发，必然会提高插值多项式的次数，Runge现象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高阶N-C公式，为提高精度，当增加求积节点时，考虑对被积函数用分段低次多项式近似，由此导出复化求积公式。,3 复化求积公式,3.1 复化梯形公式,用分段线性插值函数近似被积函数，等于把积分区间分成若干小区间，在每个小区间上以梯形面积近似曲边梯形面积，即用梯形公式求小区间上积分的近
19、似值。如图7-2所示，这样求得的近似值显然比用梯形公式计算高。定积分存在定理表明，只要被积函数连续，当小区间长度趋于零时，小梯形面积之和趋于曲边梯形面积的准确值，即定积分的准确值。,复化梯形公式,它实际上就是用定积分定义计算积分，经等分区间，在每个小区间上以直线近似替代曲顶（线）然后求知，略掉无限细分区间（求极限）这一步而得到的近似值。,式（7-15）称为复化梯形公式。,复化梯形公式的截断误差,因为f(x)在a,b 连续，由介值定理，存在(a,b)，使得：,从而有：,这就是复化梯形公式的截断误差。,复化梯形公式的数值稳定性讨论,下面简单讨论复化梯形公式的数值稳定性。设计算函数值f(xk)时产生
20、误差为k(k=0,1,n)，则用式（7-15）计算结果的误差为：,因此，无论n为多大，复化梯形公式是数值稳定的。,3.2 复化Simpson公式和复化Cotes公式,如果用分段二次插值函数近似被积函数，即在小区间上用Simpson公式计算积分近似值，就导出复化Simpson公式。,整理后得到：,式（7-17）称为复化Simpson公式。,（紧接下屏）,复化Simpson公式的截断误差,如果f(x)C(4)a,b，由式（7-13）可得复化Simpson公式的截断误差为：,因为f(4)(x)连续，故存在(a,b)，使得：,式（7-18）表明，步长h越小，截断误差越小。与复化梯形公式的分析相类似，可
21、以证明，当n 时，用复化Simpson公式所求得的近似值收敛于积分值，而且算法具有数值稳定性。,复化Cotes公式,将区间a,b分成n 等分，分点为：,用Cotes公式得到复化Cotes公式：,复化Cotes公式的截断误差为：,复化求积公式举例,根据函数表,例6,解：（1）由复化梯形公式,n=8,h=1/8：,例6(续）,（2）由复化Simpson公式,n=4,h=1/4：,与准确值I=0.9460831比较，显然用复化Simpson公式计算精度较高。,事实上，由误差公式（7-16）与（7-18）有RT(f)=O(h2),RS(f)=O(h4)，故当h比较小时，用复化Simpson公式计算误差
22、较小。,由误差估计公式不仅可以计算所求近似值的误差，反之，亦可由给定的精度估计应取多大步长。,复化求积公式举例（续）,若用复化求积公式计算积分:,的近似值，要求计算结果有四位有效数字，n应取多大？,例7,解 因为当0 x1时有0.3e-1e-x1于是：,要求计算结果有四位有效数字，即要求误差不超过10-4/2。又因为:,因此若用复化梯形公式求积分，n应等于41才能达到精度。,由复化梯形公式误差估计式：,若用复化Simpson公式,由式（7-18）,即得n 1.6。故应取n=2。,即得n 3.2。故应取n=4。,a,b分成n 等分，分点为：,所以这里在0,1上实际上共有5个分点。,若用公式,注意
23、这里是将区间,例6、例7说明,例7的计算结果表明，为达到相同的精度，用复化Simpson公式所需的计算量比复化梯形公式少，这也说明了复化Simpson公式的精度较高，实际计算时多采用复化Simpson公式。,复化求积方法又称为定步长方法，要应用复化求积公式，必须根据预先给定的精度估计出合适的步长或n，进而确定对积分区间的等分数，如同例7一样。然而当被积函数稍复杂一些，要由误差估计式给出合适的步长，就要估计被积函数导数的上界值，而这一点是相当困难的。,（紧接下屏）,例6、例7说明（续）,要使截断误差不超过10-3/2，h应取多大？,如对例6，用复化梯形求积公式计算积分:,4 逐次分半算法(变步长
24、方法),用复化求积公式（定步长方法）必须要用误差估计式对于预先给定的精度给出步长h或n,但由于误差估计式中要估计高阶导数，而这一点往往很困难，因此实际计算时，常采用变步长方法：逐步缩小步长，每次将步长缩小一半，或者说逐次等分区间,反复利用复化求积公式，直到相邻两次计算结果相差不大为止或者满足给定精度为止。,4.1 梯形法的递推公式,因此计算梯形序列T2m可按：,梯形公式的逐次分半算法（续1）,梯形公式的逐次分半算法（续1）,4,设将区间a,bn等分，共有n+1个分点，,如果将积分区间再等分一次，则分点增为2n+1个，将等分前后两个积分值联系起来加以考察：,注意到每个子区间,经过等分只增加了一个
25、分点：,用复化梯形公式可求得,上的积分值为,注意，这里,代表等分前的步长。,梯形公式的逐次分半算法（续2）,此为复化梯形公式的递推公式,将每个子区间上的积分值相加得：,梯形公式的逐次分半算法（续3）,复化梯形公式的停止计算控制,f(m-1)与 f(m)是二阶导数 f(x)在a,b上2m-1个点与2m个点的算术平均数（每个小区间上取一个点），若f(x)在a,b 的二阶导数连续，则当m较大时：,以此作为停止计算的控制。,复化simpson的停止计算控制,4.2 Simpson公式的逐次分半法,（紧接下屏）,Simpson公式的逐次分半法（续）,梯形公式的逐次分半法举例,用自动选择步长的梯形公式计算
26、I，要求误差,例8,例8（续）,上例说明Tn收敛慢，求T128 要计算64个新增的函数值，而将T8与T4重新组合可构造S8。,例8说明,由T8与T4重新组合可构造S8，这一结果并不是偶然，因为有：,例8说明（续1）,我们将此误差估计加到T2m上构成新的近似值：,在复化梯形公式逐次分半算法中：,而在Simpson逐次分半算法中：,(紧接下屏！),即由Simpson序列可构造出收敛更快的Cotes序列。,例8说明（续2）,例8说明（续3）,并且我们的具体做法都是利用控制结束的误差式，构成新的，收敛更快的序列，而由前面的推导可知，下面这些公式具有如下规律性：,例8说明（续4）,类似地，也可以推导出：
27、,5 龙贝格（Romberg）求积公式,5.1 外推法,从上面例，我们看到复化梯形序列T2m收敛较慢，而利用梯形序列这些较粗略的近似值，重新进行线性组合得到的结果收敛更快，更准确。这种利用若干精略近似值推算更精确的近似值的方法，称为外推法。下面再举例说明：,李查逊（Richardson）外推法,从一个基本公式出发，利用加速收敛的技巧，可以构造出收敛速度更快的近似序列，下面的李查逊（Richardson）外推法就是这样一种方法。,设用某种数值方法求积分I的近似值，一般设近似值是步长的函数，记为I1(h)，若有相应的误差关系式：,李查逊（Richardson）外推法（续）,5.2 龙贝格（Romb
28、erg）求积公式,回到这里的积分问题我们可由变步长公式计算复化梯形T2m，得到梯形序列T2m，它收敛较慢，能否由它构造出新的，收敛更快的序列？将上述Richardson外推法应用到T2m，就可构造出计算简便，收敛却很快的数值积分公式。,T2k与积分之间有下面的误差关系式:,这个基本关系式中系数a1,a2,ak,均与h无关，称为Euler-Maclaurin公式，利用它可构造出收敛更快的序列（同前一样）即首先构成这里的具体的误差关系式：,龙贝格(Romberg)求积公式（续1）,龙贝格(Romberg)求积公式（续2）,复重上述外推过程可得（直接用Richardson结果）,这就是龙贝格（Rom
29、berg）求积公式，以 近似I，误差见上：,外推公式,实际计算时可列表计算：,外推公式（续）,Romberg方法举例,解根据例6中的函数表按式（7-9），（7-21）与（7-25）计算，得：,Romberg方法小结,事实上，由例9的计算过程可以看出，与准确值I=0.9460831比较，T2(0)已达到精度要求，此时需要计算4个点的函数值。要达到相同的精度，用复化Simpson公式需计算8个点的函数值，而用复化梯形公式则需计算167个点的函数值，所以Romberg算法优于复化梯形方法与复化Simpson方法。,且：对相同的步长（相同节点数）S2m比T2m精确度高，而R2m更准确节点相同（固定）可选取点增加精度Gauss型求积公式。,
