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1、关于实数完备性的6个基本定理,1.确界原理（定理1.1）；,2.单调有界定理（定理2.9）；,3.区间套定理（定理7.1）；,4.有限覆盖定理（定理7.3）,5.聚点定理（定理7.2）,6.柯西收敛准则（定理2.10）；,在实数系中这六个命题是相互等价的。,第七章习题课,在有理数系中这六个命题不成立。,1.确界原理,在实数系中，任意非空有上（下）界的数集必有上（下）确界。,2.单调有界定理；,在实数系中，单调有界数列必有极限。,即数列的单调有界定理在有理数域不成立。,3.区间套定理,若 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点,所以区间套定理在有理数系不成立。,反例：,4.有限覆盖定理,在实数系
2、中，闭区间a,b的任一开覆盖H，必可从H中选出有限个开区间覆盖a,b。,反例：,5.聚点定理,实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。,反例：,S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,因而在有理数域没有聚点。,5.1 致密性定理：,在实数系中，有界数列必含有收敛子列。,反例：,其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于e。,故xn在有理数域内没有收敛的子列。,6.柯西收敛准则,反例：,即柯西收敛准则在有理数域不成立。,几个概念：,区间套（闭区间套），,聚点（3个等价定义及其等价性的证明），,开覆盖（有限开覆盖）。,举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间结论不成立。,但不存在属于所有开区间
3、的公共点。,举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区间结论不成立。,但不能从中选出有限个开区间盖住（0，1）。,因为右端点始终为1，左端点有限个中必有一个最小者，,构成了开区间（0，1）的一个开覆盖，,定义 有界数列(点列)xn的最大聚点 与最小聚点A分别称为xn的上极限与下极限,记作,数列的上下极限概念,1.在（a，b）上的连续函数 f 为一致连续的充要条件是 f（a+0）与f（b-0）都存在。不适合无限开区间,f(x)一致连续的判定：,3.闭区间上连续的函数必一致连续。,5.若f(x)在有限区间I上无界，则f(x)在I上必不一致连续。,P168.1.,解答,P168.7.,证法1：,不妨设xn单调增加。,若xn无界或xn是常数列，,则xn一定没有聚点。,不合题意。,故xn必为有界数列且不是常数列。,从而xn一定有确界，,由单调有界定理的证明可知：,证法2：,由单调有界定理的证明可知：,故xn一定有界，从而有确界。,P172.2,证,有限区间I上一致连续的函数必有界。,若I为闭区间，则结论显然。,下面假设I为开区间（a,b）。,P172.3,证,P172.3 证法2,
