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1、1,数学教学设计之四数学思想方法的渗透,2,中学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体，现行数学教材的编排是沿知识的纵向展开的，数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中，没有明确的揭示和总结。如何处理数学思想方法教学的问题？数学思想方法的构建有三个阶段：潜意识阶段、明朗和形成阶段、深化阶段。数学思想方法的教学应以贯彻渗透性原则为主线，结合落实反复性、系统性和明确性的原则它们相互联系，相辅相成，共同构成数学思想方法教学的指导思想。,提要,3,1 数学思想方法教学与能力的关系,思想方法 就是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果，它是从大量的思维活动中获得的产物，经
2、过反复提炼和实践，一再被证明为正确、可以反复被应用到新的思维活动中，并产生出新的结果。数学思想方法就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论（概念、定理、公式、法则等）的本质认识。,4,数学思想是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。数学方法是指从数学角度提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中所采用的各种方式、手段、途径等。数学思想和数学方法是紧密联系的，一般来说，
3、强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法。,5,1.1 数学思想方法的界定1.2 数学思想方法与能力的关系 数学思想方法是形成学生的良好的认知结构的纽带，是将知识转化为能力的桥梁。中学数学教学大纲中明确指出：数学基础知识是指数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想方法。,6,从心理发展规律看,从认知心理学角度看,从学习迁移看,（1）,（2）,（3）,数学思想方法教学的一系列问题，已成为数学现代教育研究中的一项重要课题。,7,（1）从心理发展规律看 进行数学思想方法教学，不仅有助于学生从形式思维向辩证思维过渡，而且是形成和发展学生辩证思维的重要途径。（
4、2）从认知心理学角度看 数学学习过程是一个数学认知结构的发展变化过程，（3）从学习迁移看 数学思想方法有利于学生学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以极大地提高学习质量和数学能力。,8,布鲁纳认为“学习基本原理的目的，就在于 促进记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”,9,2 数学思想方法的教学原理,中学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体。现行数学教材的编排一般是沿知识的纵方向展开的，这是一条明线。大量的数学思想方法只是蕴涵在数学知识的
5、体系之中，并没有明确的揭示和总结，而这又是教学的主线。,10,数学思想方法,明朗和形成阶段,深化阶段,数学思想方法,数学思想方法,潜意识阶段,11,反复性原则,系统性原则,渗透性原则,明确性原则,应以贯彻渗透性原则为主线，结合落实反复性、系统性和明确性的原则它们相互联系，相辅相成，共同构成数学思想方法教学的指导思想。,12,2.1渗透性原则在具体知识教学中，一般不直接点明所应用的数学思想方法，而是通过精心设计的学习情境与教学过程，着意引导学生领会蕴涵在其中的数学思想和方法，使他们在潜移默化中达到理解和掌握。数学思想方法的教学总是以具体数学知识为载体，在知识的教学过程中实现的。数学思想是对数学知
6、识和方法本质的认识，数学方法是解决数学问题、体现数学思想的手段和工具。数学思想方法具有高度的抽象性与概括性。如果说数学方法尚具有某种外在形式或模式，那么作为一类数学方法的概括的数学思想，却只表现为一种意识或观念，很难找到外在的固定形式。数学思想方法的形式绝不是一朝一夕可以实现的，必须要日积月累，长期渗透才能逐渐为学生所掌握。,13,公式、定理等的探究和推导过程,概念的形成过程,解题方法的思考过程,知识的小结过程,数学思想方法的渗透是在具体知识的教学过程中实现的！,14,2.2反复性原则（1）认识过程具有长期性和反复性的特征学生对数学思想方法的领会和掌握的规律：从个别到一般，从具体到抽象，从感性
7、到理性，从低级到高级。（2）个体差异的存在导致学生接受理解掌握的程度具有很大的不同步性.,15,2.3系统性原则数学思想方法只有形成具有一定结构的系统，才能更好地发挥其整体功能。数学思想方法有高低层次之别，对于某一种数学思想而言，它所概括的一类数学方法，所串联的具体数学知识，也必须形成自身的体系，才能为学生理解和掌握，这就是数学思想方法教学的系统性原理。,16,2.3系统性原则对于数学思想方法的系统性的研究，一般需要从两个方面进行：（1）研究在每一种具体数学知识的教学中可以进行哪些数学思想方法的教学。（2）研究一些重要的数学思想方法可以在那些知识点的教学中进行渗透。从而在纵横两个维度上整理出数
8、学思想方法的系统。,17,2.4明确性原则渗透性和明确性是数学思想方法教学辩证的两个方面。在反复渗透的教学过程中，利用适当时机，对某些数学思想方法进行概括、强化和提高，对它的内容、名称、规律、使用方法适度明确化，是掌握、运用数学思想方法并转化为能力的前提。贯彻数学思想明确化原则，是让学生理解数学思想的关键，是熟练掌握、灵活运用、转化为能力的前提，有利于学生掌握其中规律，使学生的认识能力产生飞跃。,18,函数、方程的思想,数形结合的思想,分类讨论的思想,化归与转化的思想,19,函数、方程的思想,就是用函数的观点、方法研究问题，将非函数问题转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决。通常是这
9、样进行的：,20,数形结合的思想,“数”就是方程、函数、不等式及表达式，代数中的一切内容；“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系。数形结合就是抓住数与形之间的内在联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉。,21,就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。,分类讨论的思想,22
10、,分类讨论的思想,外部特征,数学中的分类有现象分类和本质分类两种：（1）以分类对象的外延（外部特征、外部关系）为根据的；（2）按对象的内涵（本质特征、内部联系）进行分类的。,分类的方法,内部联系,23,引起分类讨论的主要原因有：由数学概念引起的分类讨论；由数学定理、性质、公式的限制条件引起的分类讨论；由数学式子的变形所需要的限制条件引起的分类讨论；由图形的位置和大小的不确定性而引起的分类讨论；对于含有参数的问题要对参数的允许值进行全面的分类讨论。,分类讨论的思想,24,化归与转化思想 在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。化归与转化的一般原则是化归目标
11、简单化原则；和谐统一性原则具体化原则；标准形式化原则；低层次化原则,化归与转化的思想,25,化归与转化的策略有：已知与未知的转化正面与反面的转化数与形的转化一般与特殊的转化复杂与简单元的转化,化归与转化的思想,超越方程代数化、三维空间平面化、复数问题实数化,26,化归与转化的思想 化归与转化的原则 化归与转化的策略,化归与转化的思想,27,3.2 中学数学中的基本数学方法,（1）数学中的几种常用求解方法：配方法、消去法、换元法、待定系数法、数学归纳法、坐标法、参数法、构造法、数学模型法等；（2）数学中的几种重要推理方法：综合法与分析法、完全归纳法与数学归纳法、演绎法、反证法与同一法；（3）数学
12、中的几种重要科学思维方法：观察与尝试、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、比较与分类、归纳与类比、直觉与顿悟等。,28,4 数学思想方法教学途径的探索,4.1渗透润物细无声，是数学思想方法教学的基础在基础知识的教学过程中，适时渗透数学思想方法，就是要注意知识的形成过程，特别是定理、性质、公式的推导过程和例题的求解的过程。（1）重视概念的形成过程（2）引导学生重视定理、公式的探索、发现、推导过程,29,4 数学思想方法教学途径的探索,4.1渗透润物细无声，是数学思想方法教学的基础4.2 提炼态度鲜明，是升华知识的关键数学思想方法的形成有一个过程，学生通过具体数学知识的学习，对于蕴含其中的某个数学
13、方法开始产生感性认识，经过多次反复，在不断感悟的基础上，逐渐概括成理性认识，因此在适当的时候，教师要帮助学生进行归纳、整理、提炼，并鲜明地指出思想方法的内涵，充实完善学生的认知结构，以增强学生运用数学思想方法的意识.,30,4 数学思想方法教学途径的探索,4.1渗透润物细无声，是数学思想方法教学的基础4.2 提炼态度鲜明，是升华知识的关键4.3 熟练瞻前顾后，是巩固思想方法的必经阶段当学生初步认识了基本数学思想方法后，教师应在基础知识的讲授和解题指导中，尽量体现这种思想方法，使学生逐步达到自觉、自如、熟练的程度.,31,4 数学思想方法教学途径的探索,4.1渗透润物细无声，是数学思想方法教学的
14、基础4.2 提炼态度鲜明，是升华知识的关键4.3 熟练瞻前顾后，是巩固思想方法的必经阶段4.4 深化耐心细致，是自觉运用思想方法的重要环节对数学思想方法的理解和运用，还须有一个深化的过程，使机械模仿行为升华充实到固有知识体系中，这一过程的实施可以利用课后小结，单元小结或总复习进行，也可以根据学生数学思想方法的成熟程度，适时开设专题讲座课，讲清其来龙去脉，内涵外延、作用功能等等.,32,例10“三线八角”的教学过程,问题1（1）请回顾一下角的概念。（2）对顶角、邻补角是怎样形成的？我们是怎样研究它们的性质的？设计意图：强调从结构特征、讨论问题的思想方法等角度，对已有知识进行复习回顾，为新知识的学
15、习提供借鉴。,33,先行组织者：两条直线相交形成四个角，它们的关系（性质）已经清楚（特例是垂直）。接下来可以研究一条直线与两条直线分别相交，可以得到哪些角，它们又有什么关系（性质）。意图：提出问题的方法、研究思路的引导。,34,问题2：画出一条直线与两条直线分别相交的图形。共得到几个角？你知道其中哪些角的关系？设计意图：培养学生画图的习惯；分析出需要研究的新问题（思维的逻辑性）。问题3：我们没有研究过的是哪些角的关系？如何把这些角分类？设计意图：引导学生学习根据一定标准分类的研究方法。,35,问题4：如图，直线AB，CD被直线EF所截。1与没有公共定点的 5，6，7，8的关系可以怎样描述？可分
16、为几类？设计意图：让学生自己描述这些角的结构特征，并分类。说明：本问题是本课的关键，可多给时间，教师可在确定分类标准上给予引导。,36,问题5：图中，（1）与1、8类似具有相同位置关系的角还有哪几对？（2）还有哪几对角的位置关系是问题4中没有包括的？设计意图：从图中识别同位角，及时巩固概念；引导学生观察图形，从分类角度认识内错角、同旁内角概念。可以安排让学生找出所有内错角、同旁内角的活动。教科书只叙述了事实，给了名字。数学思想方法没有明确要学生自己悟。,37,例题：主要是通过图形变式，让学生在逐渐复杂的图形中识别有关角。要帮助学生总结操作要点：两个角由哪条直线截另两条直线形成的关键是确定“所在公共直线”。要注意使用反例。,38,（1）问题的提出自然、水到渠成；（2）研究的思想方法位置关系的分类，分类标准角与三条直线的相对位置；（3）归纳概括概念的内涵，注意使用“等值语言”，如“同位”即“同一个方位”等；（4）用概念进行判断的步骤、注意事项等。,分析,39,课堂讨论,如何确定一次函数的图像与性质的教学目标？知识技能：作图、读图数学思考：如何探究一次函数的图像？问题解决：情感态度：,
