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1、跨 越 断 层 走 出 误 区,数学课程标准解读：“十个核心词”的实践研究曹培英,引言,义务教育数学课程标准（2011年版）,最大的改变：1.“双基”“四基”数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验 意味着：我国数学教育优良传统得到肯定 理解记忆；回归“结果”与“过程”并重的理念“但求曾经拥有，不求天长地久”,铺垫变式,引言,义务教育数学课程标准（2011年版）,最大的改变：2.“六个核心词”“十个核心词”小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词)即便是小学数学的知识也并非都能实际应用 例如：量角 又如：人的一生中 使用三角形面积公式的可能性0.5%患上各种程度糖尿病的可能性50%所
2、以，联系日常生活的目的主要是帮助建构知识的意义，促进理解；还必须为进一步学习着想,实乃“屠龙之技”,引言,义务教育数学课程标准（2011年版）,最大的改变：2.“六个核心词”“十个核心词”小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词)小学数学(1978)：计算能力，初步的逻辑思维与空间观念，解决简单实际问题(四个核心词)义务教育数学(2001)：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力 义务教育数学(2011)：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识,一、数感,数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建
3、立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。已有研究认为数感是“直觉”、“敏感”、“能力”其实，如同球员的球感，歌手的乐感类似 简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉和理解。教学数数、数的基数意义与序数意义、数序与数的大小比较都有助于形成数感。看不到新概念背后的实在之物，就容易,（割裂历史）,一、数感,认知偏差：全新概念，从头摸索 实践误区：先估再数，看谁估的准教学100以内数的认识：估豆子教学1000以内数的认识：估纸加强应用，培养现实的数感教学整万数的认识：估人民币,（割裂历史）,一、数感,认知偏差：全新概念，从头摸索 实践误区：先估再数，看谁估的准加强应用，培养
4、现实的数感 问题所在：数感、量感不分 以特殊的量为载体 有效案例：,首先，数感是数出来的！,一、数感,简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉与理解。有没有不依赖量的数感？请看读数的例子：,30600，30060，30006三万零六百 三万零六十 三万零六,3000006000,三十亿零六千,6789由()个千，()个百，()个十和()个一组成.6789=()1000()100()10(),9,6789读作()千()百()十()；,8,7,6,9,9,8,8,7,7,6,6,其次，读数可以也应该读出数感！,分数也能读出数感，如“2/3什么意思？”“2/3的意思就是三分之二”,3,2,一、数感,回溯
5、以往相关教学策略：1.在数概念教学中培养数感,个,十,百,千,如:借助几何直观引入计数单位,一、数感,(1)看图写数。(数概念直观化的练习),(),(),(),(2)你知道全校做早操，操场上有多少人吗?大约1000人,想一想,()个这样学校的学生集中在一起,约一万人.（数概念生活化的练习）(3)读一读，填一填.（数概念形式化的练习）如前面的填空练习,甲湖水面高度记作0米，甲湖水底高度记作()米；乙湖是堰塞湖，水底高度记作()米，水面高度记作()米。,-20,+20,+80,“多样化”旨在“各取所需”，适应不同学生！,233,233,233,2.在计算教学中发展数感,如小数乘法计算法则推导：0.
6、153？,0.15 3 45,1,1,一、数感,小时行6公里，1小时行？,1小时行,2/3小时行6km,即3份中的2份是6,先求1份是多少,分数除法计算法则推导：,数感可以算出来、估出来。小学数学历来重视数感培养，从“自发”走向了“自觉”,3份是9,再求3份是多少,0.,一、数感,3.在解决实际问题中激活数感一个典型案例：,72151080（米）,1080稍大于1000；1080超过2000的一半，都是真正的数感，与量无关,一、数感,总而言之数感：最朴实的数学素养，就是关于数的感觉与理解。数感可以：数出来读出来算出来估出来用出来,符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；
7、知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。符号：指具有某种代表意义的记号、标识；它是意义的载体，精神的外化呈现。数学的符号：“标识”的内容是特殊的；它的“作用”更具特殊性。,二、符号意识,培养符号意识误区的主要表现：生活中的符号混同数学符号 社会已经先于学校培养了孩子的符号意识规律的表征混同符号意识 其他学科先于数学发展了学生的符号表征一概让学生自创符号 自创之后更应了解为什么全人类沿用这些符号？,二、符号意识,红 绿 红 绿 红 绿 1 2 1 2 1 2,只是记号,对于小学数学来说：首先是让学生亲近符号，接
8、受、理解符号！怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？,二、符号意识,一是数字符号，如：,1,怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？,二、符号意识,一是数字符号，,二是运算符号，如：,数学符号：被感知的直观形式与内在思想，高度和谐、统一。,“再也没有比平行而又等长的短线段更确切的相等符号了”列科尔德 诸如此类，举不胜举。可见：数学符号如同“象形文字”，简洁、生动、形象、传神。符号本身就具有促进理解，帮助记忆的教学功能。任何教学艺术、任何语言描绘，都相形见绌！,怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？,二、符号意识,三是关系符号，如：,一是数字符号，,二是运算符号，,对于小学数学来说：首先是让学生亲
9、近符号，接受、理解符号！其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。“优势”在于简洁吗？,二、符号意识,(a+b)c=ac+bc,“优势”不仅在于“简洁”、还在于“准确”、“无歧义”更在于由特殊到一般,对于小学数学来说：首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。“使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性”你想一个整数，把它乘2加7，再把结果乘3减21。告诉我计算结果，我立即能判断出你想的整数是多少？设：所想的数为x，则 2x7,二、符号意识,则（)321 6x2121 6x,不引进符号与字母，就没有今天的数学！如：,原来的描述 物体的形状、大小、位置关系留在
10、脑中的表象。现在的描述 空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。,三、空间观念,实际事物,（侧重“界定”，“是什么”）：（侧重“表现”，“怎么样”）：,三、空间观念,实际事物,星河街,会展路,三、空间观念,实际事物,三、空间观念,实际事物,空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。,三、空间观念,空间知觉（表象的基础）空间观念（表象的形成）空间想象
11、（表象的改造）三种水平既递进发展，又交错共存,实物指认,图形指认,剖面指认,空间观念发展规律,例如：指认圆柱高,三、空间观念,小学生空间观念发展的若干特点(1)从感知强成分到感知弱成分 强弱具有相对性,特殊性 如：形状；边的长短是强成分；关系；角的大小是弱成分。,三、空间观念,小学生空间观念发展的若干特点(1)从感知强成份到感知弱成份 强弱具有相对性,特殊性 如：形状；边的长短是强成分；关系；角的大小是弱成分。,三、空间观念,小学生空间观念发展的若干特点,(2)从认识单一要素到认识多要素及其关系,垂直、平行概念中的“要素”相交成直角的两条直线互相垂直同一平面内不相交的两条直线互相平行,以双杠为
12、例：先讨论平行：再讨论垂直：,平行 同一平面,垂直,同一平面两个平面(异面垂直),1,3,2,1,22,44,1,4,2,三、空间观念,小学生空间观念发展的若干特点,(2)从认识单一要素到认识多要素及其关系,一个包装盒，如果从里面长3.8分米，宽2分米，容积34.2立方分米。小胖想用它来装一件长3.5分米，宽1.9分米,高4.8分米的礼物,是否装得下？3.51.94.831.92 关注长与长、宽与宽、高与高的关系 34.23.824.5 很少想象盒与礼物的实际大小,34.2,4.8,答：装得下。,三、空间观念,小学生空间观念发展的若干特点,(3)从熟悉标准图形到熟悉变式图形 图形的认识：标准图
13、形变式图形“标准”与“变式”是相对的,三、空间观念,小学生空间观念发展的若干特点,(4)从直观辨认图形到语言描述特征 例如：识别梯形说出梯形特征 梯子形状的图形只有一组对边平行的四边形 四边形平行（幼儿园）(小学高年级),三、空间观念,小学生空间观念发展的若干特点,(5)从使用日常语言到使用几何语言 如“高”：生活中的高几何图形的高 身高、树高平行四边形的高 三角形的高 圆柱的高 圆锥的高,(平行线间的距离)(点到直线的距离)(平行平面的距离)(点到平面的距离),三、空间观念,小学生空间观念发展的若干特点,(6)从形成二维空间观念到三维空间观念,三、空间观念,（1）观察：有序观察，选择对象，变
14、换角度（2）操作：学会画图，动手操作，自我释疑（3）变式：变化形状，变化位置，变化大小（4）辨析：同中见异，异中求同，精确分化（5）结合：形象与语言结合，数与形结合,怎样发展学生的空间观念？,三、空间观念,加强“画图”的重要意义：小学阶段，有时间铺垫，却少有作为；初中阶段，内容多，时间紧，凡作公理处理的几何命题，只能一带而过。能力强的学生，能自己在短时间内填补认知空隙；学习困难学生，认识不能一次完成，常常似懂非懂。因此，客观上加大了两极分化。,怎样发展学生的空间观念？,例如，画图：过两点画直线过两点画线段过直线外一点画已知直线的平行线过直线外一点画已知直线的垂线过直线外一点画已知直线的垂线段,
15、三、空间观念,怎样发展学生的空间观念？,感知两点确定一条直线两点之间线段最短平行公理垂线的唯一性垂直线段最短,三、空间观念,加强“操作”（动作直观）的重要意义：即使高年级，当空间想象受阻时，动手操作实验依然是行之有效的教学对策。如：把一个表面涂色的大正方体木块，切割成27个同样大小的小正方体木块。三面、两面、一面涂色的小正方体木块各有多少个？表面无色的有多少个？,怎样发展学生的空间观念？,8,；12,；6,2781261,三、空间观念,“操作”帮助空间想象的实例：一个表面涂色的长方体木块，长、宽、高都是整数厘米，把它切割成若干个棱长1厘米的小正方体木块。如果存在恰有五个面涂色的小正方体，那么这
16、样的小正方体最多有几个？如果其中只有两个面涂色的小正方体恰有4个，那么大长方体的长、宽、高各是多少厘米？,怎样发展学生的空间观念？,3,2,2,4,4,1,6,3,1,四、几何直观,几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。,案例1：团体操原来队伍每行10人,有5行。现在调整成每行增加 3人，增加2行，现在需要增加多少人？32？(103)(52)105,案例2：,如图，“”与“”，哪个面积大?,案例3：,1,四、几何直观,几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。希尔伯特：“在数学
17、中,象在任何科学研究中那样,有两种倾向。一种是抽象的倾向另一种是直观的倾向，即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的意义，也可以说领会它们生动的形象”。克莱因：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上,数学直观就是对概念、证明的直接把握。”有必要区分两种层次的几何直观：感性认识阶段、较低层次的几何直观：“直观感知”理性认识阶段、更高层次的几何直观：“直观洞察”,四、几何直观,案例4：两个数的和是16，这两个数的积最大是多少？周长相等的长方形，长、宽相等时面积最大。,用16厘米长铁丝围成长方形,在小学：“直观感知”是大量的，习以为常了；“直观洞察”是不多的，较少被关注。,四、几何直观
18、,四、几何直观,怎样培养几何直观 1.加强空间观念的建立 2.加强数形结合的运用 3.加强构造直观的训练 如：示意图线段图韦恩图面积图 4.重视数学的直观理解 5.重视数学的直观洞察,四、几何直观,几何直观具有局限性：,案例5：垂直与平行“直线的位置关系”,“关系”：,人际关系，如“师生关系”数量关系，如“8是4的2倍”,平面上两直线,(观察距离),相交,平行,重合,(没有交点),(一个交点),(无数交点),(不讨论),(观察角),画一画，两条直线有哪些位置关系,“先行组织者”,具有更高包容性的概念,四、几何直观,几何直观具有局限性：,案例5：垂直与平行“直线的位置关系”,课后，有学生争论：两
19、条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？,四、几何直观,几何直观具有局限性：,案例5：垂直与平行“直线的位置关系”,课后，有学生争论：两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？,夹角为0,平面上两直线,相交,平行,重合,(没有交点),(一个交点),(无数交点),间距为0,从量变到质变,(相当于一条直线，不讨论；到学习解析几何再讨论),还是“数形结合”更全面。,五、数据分析观念,数据分析观念包括：了解现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解统计过程 了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；了解按需选择 通过数据分析
20、体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。体验随机性 数据分析是统计的核心。,五、数据分析观念,知识技能层面的内涵（统计过程）,思想观点层面的内涵,价 值 观 层面的内涵,“整体观”：更多归纳，总体观察、把握,“相对观”：存在例外，只有“好”和“不好”(按需选择),“求实精神”：尊重事实，用数据说话,五、数据分析观念,1.什么是数据分析观念（内涵）2.怎样发展学生的数据分析观念（策略）已有经验的总结：让学生亲历统计活动的过程；让学生亲近数据、感悟数据。亟待突破的瓶颈：（1）开发统计活动资源（2）挖掘统计活动内涵,五、数据分析观念,2.
21、怎样发展学生的数据分析观念（1）开发统计活动资源,16141210 8 6 4 2 0,876543210,最喜欢的卡通形象,各类过往车辆,各项目游玩人数,虚拟场景，动态统计,五、数据分析观念,2.怎样发展学生的数据分析观念（1）开发统计活动资源,课外：小调查，小研究 分类统计个人每次数学测验的扣分,五、数据分析观念,2.怎样发展学生的数据分析观念（2）挖掘统计活动内涵,如统计“最喜欢的水果”：二年级，除了举手统计、选用画“正”或“四竖一横”做记录、讨论统计结果的用场，还能挖掘什么？1.感知总体调查与抽样调查 引入统计：要知道班上同学最喜欢哪种水果，你认为三位同学想到的调查方法，哪一种比较合适
22、？为什么？（1）小亚：问自己小组的5位同学；（2）小胖：问和自己最要好的4位男同学；（3）小巧：问全班同学。,五、数据分析观念,2.怎样发展学生的数据分析观念（2）挖掘统计活动内涵,如统计“最喜欢的水果”：二年级，除了举手统计、选用画“正”或“四竖一横”做记录、讨论统计结果的用场，还能挖掘什么？1.感知总体调查与抽样调查,2.接触不同的调查方法 逐一回答，画正字统计举手统计调查语、数、英三科，你最喜欢什么，举手统计好吗？如果你不喜欢数学，你敢不举手吗？是你们的真心话吗？学生对无记名问卷的真实性、第三方调查的公信力，也能有真切的初步感受。,五、数据分析观念,自行设计调查问卷：1.你平均每天看多长
23、时间的电视？2.你的视力怎样？,缘起：父子争论，看电视是否影响视力？,教师需指出：“样本”问题,“小课题研究”案例,五、数据分析观念,171.7,170.2,168.2,“读图”教学案例关于看图的一般步骤：先看标题（统计主题）再看横轴（统计项目）数据中蕴涵着信息图的直观性可能产生“误导”一格表示的数量越小条形的长短相差越大关于统计图的选择条形图与折线图可以混用,4,30,540,五、数据分析观念,关于统计图的选择 没有潜在变化规律的离散数量，是否不宜用折线图？一项测试，有5题，每题满分10分，下面是甲、乙两班各题平均得分的统计图。,合适的图，能让数据“开口说话”。关键在于：统计了什么，分析了什
24、么，想让大家看到什么，一切皆因需要。,六、运算能力,主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。1.小学生运算能力的结构：,算理理解,算法掌握,口算基础,运算策略,六、运算能力,1.小学生运算的能力结构 2.应传承的有效教学策略“理解记忆”“铺垫变式”3.近年来的若干教学误区“铺垫”：被遗弃的“精准性”教学技术计算教学的与时俱进出现了部分异化 如：缺乏价值的多种算法干扰了计算方法的主干 例：24 2“主干算法”2个4 加 2个20 过于渲染6(42)，8(32)，2424 无异于“作秀”！,幸好，强大的惯性使基本功未被
25、废掉 58 36 86；564 83；532 80；44；37；11,3,3,9,9,9,六、运算能力,4.合理选择算法正确计算本是“笔算”的内涵 如“3522”的笔算：2个35加20个35 简便运算：35223520352 割裂“笔算”与“简便运算”实在没有道理,又如569 5663,5605650450473528,56 63 168 336,贯穿到分数计算，如：,35 22 70 700,“递推”,“一半”,/7个“一半”,六、运算能力,4.合理选择算法正确计算本是“笔算”的内涵,5.合理选择算法也是“估算”的题中之义,2220=440,2218,2020=400,2018=360360
26、比积小能坐下,（积的范围）,440比积大,360,440,积接近400,比积少2个18 多2个20,六、运算能力,反例：12581258,1,例如：891.01,89,.89,4.合理选择算法正确计算本是“笔算”的内涵,5.合理选择算法也是“估算”的题中之义,6.传统“简便运算”适度保留，发挥训练功能,为什么同是中国孩子，香港、台湾的小学生不会有此“顽疾”？,6.传统“简便运算”适度保留，发挥训练功能,六、运算能力,7.加强“寻求合理简洁的运算途径解决问题”,解：(5048)(5047)56311924130 13031 13056答：,4.合理选择算法正确计算本是“笔算”的内涵,5.合理选择
27、算法也是“估算”的题中之义,七、推理能力,推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。,七、推理能力,推理举例 黑、灰、白三只兔子赛跑。黑兔说：“我不是最快的，但比白兔快。”请问，谁跑得最快?谁跑得最
28、慢?黑兔不是最快，白兔不是最快 灰兔最快（排除法）计算75？7310 7573210212 直角三角形的一个锐角是30，另一个锐角是多少？三角形内角和180 另一个锐角是180903060,七、推理能力,因为3618 所以3060018000,凭借经验和直觉合情推理,因为3618 所以30618个十 所以30600180个百,凭借数的概念演绎推理,因为长方形面积长宽 所以长方体体积长宽高,类比合情推理,180 18000,根据体积单位概念与计数演绎计算,案例2：,案例1：,八、模型思想,模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中
29、抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。单价数量总价 本金利率利息,y:xk(一定)；xyk(一定),八、模型思想,小胖每分走40米，小巧每分走60米，他们从相距1500 米两地同时出发相向而行，几分钟相遇？师徒共做1540个零件。徒弟做了16天,平均每天做40 个；师傅做了15天,平均每天做几个？买15个足球、16个篮球，足球每只60元，篮球每只40 元，一共应付多少元?如图,求两种蔬菜的面积(单位:米)。,abcds,1500(4060),(154
30、04016)15,601540161540,40 x60 x1500,401615x1540,设x分相遇，,设每天x个，,八、模型思想,小胖每分走40米，小巧每分走60米，他们从相距1500 米两地同时出发相向而行，几分钟相遇？师徒共做1540个零件。徒弟做了16天,平均每天做40 个；师傅做了15天,平均每天做几个？买15个篮球、16个足球，篮球每只40元，足球每只60 元，一共应付多少元?如图,求两种蔬菜的面积(单位:米)。,abcds,1500(4060),(15404016)15,601540161540,40 x60 x1500,401615x1540,设x分相遇，,设每天x个，,八
31、、模型思想,小胖每分走40米，小巧每分走60米，他们从相距1500 米的两地同时出发，相向而行，几分钟后相遇？,ab cd s,40 x60 x1500150040 x60 x150060 x40 x,(6040)x15001500 x60401500 x40601500 x6040,150040 x60 x60 x150040 x40 x150060 x,这样的一题多解有意义吗？你认为怎样列方程便于思考。水池同时打开进水管、出水管几小时后水池满？动态平衡的数学模型 只是“取材不当”,设x分钟后两人相遇。,九、应用意识,应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世
32、界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。,利用“左右的相对性”，解释“上下楼梯靠右走”的合理性。,九、应用意识,应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。,方巾边长的最小公倍数间隔时间的最小公倍数一圈用时的最小公倍数,九、应用意识,在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。,
33、突破应用题单列的教材体系，应用跟随知识，恢复了数学知识与应用的天然联系。,森林北路森林南路；互相垂直：2312,森林西路中山路；森林西路森林东路；中山路森林东路；樟树路玉兰路,九、应用意识,在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。,数据的采集；图表的应用；数据的分析；根据“样本”推断“总体”。统计知识的综合应用。,十、创新意识,创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。创新：最高阶的思维，有过各种训练项目 怎样培养？创设宽松、和谐的学习氛围提供刺激，激活学生的潜能,十、创新意识,案例1 下面阴影部分占整个长方形的()分之()。,案例2 下面露出的部分是整体的，请画出整体。,案例3推导三角形面积公式，有学生这样折纸：,什么样的刺激有可能激活学生的潜能呢？,谢谢！欢迎提问 共同探讨,跨 越 断 层 走 出 误 区,
