桥涵水文的数学基础.ppt

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1、第1章 桥涵水文的数学基础,1-1,1-2,第1章 桥涵水文的数学基础,本章内容1.1 水文现象的特性和分析方法*（补充材料）1.2 概率统计基础1.3 水文中常用的概率模型1.4 最小二乘法,1-3,第1章 桥涵水文的数学基础,分析原始水文资料的数学工具就是数理统计知识。确定设计洪水流量、设计通航水位、设计最高（低）潮水位、设计波浪高度等。,第一节 水文现象的特性和分析方法*（补充材料）,水文现象的特性：1.周期性；2.地区性；3.不重复性（随机性）。周期性：水文现象具有周期循环变化的性质。水文现象具有以年或者年际（若干年）为周期变化的规律。,1-4,第一节 水文现象的特性和分析方法*（补充

2、材料）,水文现象的特性：地区性：表示水文现象随地区而异，即每个地区都有 各自的 特殊性。南方同北方的水文现象差异很大。原因：影响水文现象的气候和下垫面（地质构造、岩性、地 貌、植被的综合体）条件不同。相互邻近流域的水文现象，在一定程度上具有相似性。原因：气候和下垫面条件有一定的相似性。水文现象有一定的地区分布规律性。如湿润地区河流的径流 年内分配较为均匀，而干旱地区的就很不均匀。,1-5,第一节 水文现象的特性和分析方法*（补充材料）,水文现象的特性：不重复性（随机性）：指水文现象无论什么时候都不会完全重 复出现。水文现象的主要分析/研究方法（1）成因分析法（2）地区归纳法（3）数理统计法,1

3、-6,第一节 水文现象的特性和分析方法*（补充材料）,水文现象的特性：不重复性（随机性）：指水文现象无论什么时候都不会完全重 复出现。水文现象的主要分析/研究方法（1）成因分析法 通过物理成因的分析，以探求水文现象必然性规律的方法。例如建立因果之间的函数关系。（2）地区归纳法 利用区域性规律确定水文参数的方法。（3）数理统计法 由水文现象的客观性质（偶然性和随机性）决定。通过统计分析以探求水文现象偶然性规律的方法。,1-7,1-8,地区归纳法,水文计算主要解决三方面的问题:确定各种水文特征值的数量大小；确定该特征值在时间上的分配过程；确定特征值的地区分布。,第一节 水文现象的特性和分析方法*（

4、补充材料）,1-10,第二节 概率统计基础,一、事件事件分为三类:必然事件、不可能事件和随机事件。例如，水文现象中年最大流量的出现是必然事件，但出现的具体时间和大小，则为随机事件。1.必然事件 在一定条件下必定发生的事件。2.不可能事件 在一定条件下必定不会发生的事件。3.随机事件 在一定条件下可能发生也可能不会发生的事件。,1-11,第二节 概率统计基础,一、事件随机事件随机事件具有统计规律。数理统计法是研究随机事件客观规律性的方法之一利用大量同类随机事件统计数据，推求随机事件所遵循的客观规律。,1-12,第二节 概率统计基础,1-13,第二节 概率统计基础,二、概率概率分类：事先概率和经验

5、概率两类。事先概率：事件发生前可以计算出来的概率。例如，投掷硬币“出现正面”的概率即属此类。经验概率：无法事先知道事件出现的可能情况，只能 通过多次实验求得的概率。例如，水文现象中水文特征值(如洪峰、流量、水位等)在数量上的出现机会，即属经验概率的范围。,1-14,第二节 概率统计基础,三、频率定义：在一系列重复的独立试验中，某一事件出现的 次数与试验总次数的比值。试验次数较少时，频率具有偶然性。试验次数愈多（n），频率愈接近概率。频率与概率之间的关系：概率是随机事件在客观上出现的可能程度。是事件固 有的性质，是理论值，是常数。频率是利用有限的试验结果推算得到的，是实测值。频率随试验次数不同而

6、不同。试验次数无限多时，频率趋向于概率。水文中常用频率取代概率。,1-15,第二节 概率统计基础,1-16,第二节 概率统计基础,1-17,第二节 概率统计基础,六、随机变量系列随机变量：随机事件在其发生过程中出现的种种结果，都是以数值来表示，这些数值就称为随机变量。随机变量有两种类型：连续型随机变量（水位、流量或降雨量等）离散型随机变量（掷骰子）随机变量系列：随机变量组成的一列数值。例如，1950年起至2002年止，某桥桥下通过的年最大流量共有53个数据，这53个数据组成年最大流量系列。系列的范围可以是有限的，也可以是无限的，水文资料一般都是无限系列。,1-18,第二节 概率统计基础,七、总

7、体与样本*（补充材料）1.总体 随机变量可能出现的全部变化数值的总集合，即随机变量系列的全体。容量无限总体 水文现象的总体按时间过程取值，包括过去、现在和将来的全部随机变量，属于容量无限的总体。容量有限总体 例如:掷骰子，其随机变量变化只有6个。,1-19,第二节 概率统计基础,七、总体与样本*（补充材料）2.样本 总体中的一部分随机变量。从总体中随意选取的样本叫随机样本。若样本具有足够的代表性，则在一定程度上反映总体的特征，因而可以借助样本的规律性推断总体的规律。由于水文现象的多年实测数值系列都是总体之中的样本，也不可能得到总体系列，所以水文现象只能从样本情况推论总体情况，并以此预示未来的水

8、文情势及选用合适的设计数据。,1-20,第三节 水文中常用的概率模型,概率分布：随机变量与其发生概率之间的变化关系，称为概率分布。频率分布：随机变量和其出现频率之间的对应关系，称为随机变量的频率分布。水文现象都是复杂随机事件，只能用频率近似代替概率，通常用频率分布近似地代表概率分布。,1-21,第三节 水文中常用的概率模型,一、统计参数统计参数的定义：随机变量的频率分布特征和频率分布曲线，能够用该系列的几个数值特征值来确定。这些具体数值常称为统计参数。统计参数（数值特征）的重要意义:需要用一些统计参数来表示一个已知的概率分布。对于一个未知分布，可以通过统计参数来估计它的 分布。在水文计算中，通

9、常根据样本系列的统计参数来推 求总体的规律。,第三节 水文中常用的概率模型,1-22,1-23,第三节 水文中常用的概率模型,第三节 水文中常用的概率模型,1-24,1-25,第三节 水文中常用的概率模型,1-26,第三节 水文中常用的概率模型,1-27,第三节 水文中常用的概率模型,一、统计参数1.4 均值、中值、众值的位置关系：曲线为对称形时（峰顶居中），表示系列的频率分布对称于均值（分布中心），称为正态分布，三者的位置重合。曲线为不对称时（峰顶偏离中心），表示系列的频率分布偏离均 值（分布中心），称为偏态分布。正偏态：峰顶偏左，横坐标的位置从小到大依次为：众值中值均值 负偏态：峰顶偏右，

10、横坐标的位置从小到大依次为：均值中值众值众值、中值、均值的大小可以表明密度曲线的位置，而且三者的差值 越大，表明曲线越偏，它们反映了频率分布的位置特征。不足：系列越分散，它们的代表性就越差。因此，除了频率分布的位置特征以外，还需要知道频率分布的分散或(集中)程度。,1-28,第三节 水文中常用的概率模型,一、统计参数2.均方差和变异系数（离异系数、离差系数、变差系数）均值只能反映系列的水平，却不能说明系列对其均值的离散程度。例如，有甲、乙两个系列：甲:10,50,90 乙:49,50,51 它们的均值都是50，但甲系列变动幅度大，而乙系列变动幅度却很小。这种变化特征，可以利用均方差和变差系数来

11、说明。,1-29,第三节 水文中常用的概率模型,（对总体）,（对样本）,当利用样本推算总体的均方差时，可采用下式：,第三节 水文中常用的概率模型,1-30,1-31,第三节 水文中常用的概率模型,（对总体）,（对样本）,当利用样本推算总体的变异系数时，可采用下式：,1-32,第三节 水文中常用的概率模型,一、统计参数2.均方差和变异系数（离异系数、离差系数、变差系数）变异系数无量纲；CV值较小时，表示系列的离散程度较小，即变量间的变化幅 度较小，频率分布比较集中；CV值较大时，表示系列的离散程度较大，即变量间的变化幅 度较大，频率分布比较分散。对于年最大流量系列，CV值的大小反映河流中流量的年

12、际变 化幅度。CV值越大，流量的变幅越大，年际分配越不均匀。,1-33,第三节 水文中常用的概率模型,一、统计参数3.偏差系数偏差系数Cs：表明系列分布对均值是对称的还是不对称的，反映频率分布对均值的偏斜程度，是代表系列分布情况的参数值。当利用样本推算总体的偏差系数时，可采用下式：,（对总体）,（对样本）,1-34,第三节 水文中常用的概率模型,一、统计参数3.偏差系数 Cs=0，系列呈正态分布；Cs 0，系列呈正偏态分布。Cs 0，系列呈负偏态分布。,1-35,第三节 水文中常用的概率模型,二、理论频率曲线理论频率曲线的定义：指用数学方程式表示的频率曲线。理论频率曲线是从数理统计的一些已知线

13、型中，选择与水文现象配合较好的线型，借用于水文实践中。水文上所谓的理论频率曲线，并非是根据水文现象本身 的规律从理论上推断出来的，只不过是为了区别于前述 经验频率曲线的一种习惯说法。,1-36,第三节 水文中常用的概率模型,二、理论频率曲线正态分布式中，：均值；：均方差。正态分布概率模型可用来描述混凝土的抗压强度、钢筋的抗拉强度。,1-37,第三节 水文中常用的概率模型,二、理论频率曲线2.皮尔逊III型分布根据我国多年使用经验，认为皮尔逊型曲线比较符合 我国多数地区水文现象的实际情况。1895年，英国生物统计学家皮尔逊为随机现象提出并建立了 一种概括性的曲线族，该曲线族包括十三种形式的曲线，

14、其 中第型曲线与水文现象相符合。,第三节 水文中常用的概率模型,二、理论频率曲线2.皮尔逊III型分布,1-38,式中，：平均值；：变异系数；：偏差系数。,第三节 水文中常用的概率模型,二、理论频率曲线2.皮尔逊III型分布此公式表明，当三个统计参数 确定时，皮尔逊III型曲线亦可以确定。皮尔逊III型曲线的特点：Cs0；曲线左端有限，右端以横坐标为渐近线无限延长；均值中值众值。,1-39,第三节 水文中常用的概率模型,二、理论频率曲线3.皮尔逊III型曲线的表格形式及应用 皮尔逊III型曲线可进一步简化整理为：式中，Qp：频率为p的洪水流量（m3/s）；：年最大洪峰流量的平均值；Cv：频率曲

15、线的变异系数；p：离均系数，根据频率p和偏差系数Cs，以表格的形式给出。,1-40,第三节 水文中常用的概率模型,二、理论频率曲线3.皮尔逊III型曲线的表格形式及应用平均流量变异系数Cv偏差系数CsQi为第i年的年最大洪峰流量。,1-41,第三节 水文中常用的概率模型,三、海森机率坐标频率曲线的绘制方法以频率p为横坐标，随机变量xi为纵坐标，在坐标格纸中绘点(p，xi)，并依据点分布的平均趋势目估绘线，即可得频率曲线。2.普通坐标在这种坐标格纸中，频率曲线两端曲率变化很大，呈“S”形，这对曲线的延长增加了难度。,1-42,第三节 水文中常用的概率模型,三、海森机率坐标3.海森机率坐标 纵坐标

16、均匀分格，横坐标的分格按所示数据：,1-43,第三节 水文中常用的概率模型,三、海森机率坐标3.海森机率坐标,1-44,1-45,第四节 最小二乘法,两组变量之间的关系：完全相关 存在一个函数关系完全无关(零相关)散乱无规律统计相关 年最大流量系列之间变量的统计相关，以直线相关居多，一般可以采用直线相关分析。,第四节 最小二乘法,第四节 最小二乘法,解方程组，得式中，,第四节 最小二乘法,在数理统计中，一般采用相关系数r来描述和判别两变量 之间的相关程度。相关系数r定义为：,相关系数：0|r|1；r=1为完全线性相关；r=0为零相关（线性无关）；r越大，相关程度越高。,第四节 最小二乘法,完全相关零相关,第四节 最小二乘法,统计相关,