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1、引言,在线性空间中,下面介绍欧氏空间的相关内容.,线性关系,只涉及向量的线性运算和向量间的,没有得到反映,而几何空间中向量的长度和夹角等度量概念,故有必要在一般的线性空间中引入度量,的概念.,第二节 欧式空间的基本概念,一、向量的内积与欧氏空间,1、内积和欧氏空间,定义 设 V 是一个实线性空间,两个向量 和 都指定了一个实数与之对应,如果对于 V 中任意,这个,实数记作，,且满足以下条件：,(1)对称性：=;,(4)非负性：0,等号成立的充分必要条件是,(2)齐次性：=k;,(3)加性：=+;,=0.,其中,和是V中任意向量,则称实数,k是任意实数,为和的内积,称定义了内积的实线性空间V为,
2、实内积空间或欧几里得空间,简称为欧氏空间.,欧氏空间定义中的条件(1)-(4)称为内积公理,其中的(2),(3)统称为内积的线性性质,关于欧氏空间的两点说明,齐次性的推广,且可以写成,=k+l,这里,是V 中任意向量,k和l 是任意实数.,再由内积的对称性可知：,=k+l.,(2)齐次性：=k;,例 1 在线性空间Rn中,对于向量=(a1,a2,.,an)T,是满足内积公理.,证明,从而Rn是一个欧氏空间.,=(b1,b2,bn)T,验证,=a1b1+a2b2+anbn=T,(1)=,T,=T,=(T)T,=.,(*),(2)设 kR,则,=,(k)T,=k(T),=k.,故(*)式满足内积公
3、理.,R3是一个欧氏空间.,a12+a22+.+an2,(4)=,0,且=0,=0.,a1=a2=.=an=0,从而Rn是一个欧氏空间.,特别地,=a1b1+a2b2+.+anbn=T,(3)设 Rn,则,=,=+.,(+)T=,(T+T),=T+T,例1 设f(x)和g(x)是连续空间Ca,b中任意两个函数，,定义,则Ca,b 是一个欧氏空间.,2.柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式,证明,且对任意实数 t,上式为 t 的二次函数,因此上式的判别式,如果向量和线性无关,显然有 0.,由内积的非负性可知:,且恒正.,t+0,综上所述，Cauchy-Schwarz 不等式成立.,
4、即,从而有,如果向量和线性相关,则向量和成比例.,不妨设向量=k(kR),故,证毕,对欧氏空间Rn来说,Cauchy-Schwarz 不等式是：,对欧氏空间Ca,b 来说,Cauchy-Schwarz不等式是：,其中=a1b1+a2b2+.+anbn=T,其中,二、向量的范数与夹角,1、向量的范数,定义 在欧氏空间V中,由范数的定义可知,称非负实数 为向量,的范数(或长度),记作|a|.,即,Cauchy-Schwarz 不等式可写成,对欧氏空间Rn来说,则,如果向量=(a1,a2,.,an)T,=a1b1+a2b2+anbn=T,2、范数的基本性质,证明,设,为欧氏空间V中的任意两个向量,则
5、向量的范数有下列基本性质：,k为任意实数,(2)齐次性|k|=|k|;,(3)三角不等式|+|+|.,(1)非负性|0,|=0 的充分必要条件是=0;,(1)与(2)的证明板书推导.,下面证明(3).,三角不等式的证明,两边同时开方可得,(3)三角不等式|+|+|.,证毕,故三角不等式成立.,|+|+|,3、向量的夹角,定义非零向量a与b的夹角为,规定:,零向量与任意向量成任意角.,则称向量a与b正交.,范数为 1 的向量称单位向量.,非零向量a的单位化(或规范化)向量,表示与a同向(即夹角为零)的单位向量.,若=0,由非零向量 a 得到单位向量,称为向量a的,单位化.,例2 求与a=(1,1
6、,1),b=(1,-2,1)同时正交的单位向量.,解,解得,故所求的单位向量为,则有,设非零向量 x=(x1,x2,x3)与a,b同时正交,4、距离,定义 对于欧氏空间V中的两个向量和,由向量的范数的基本性质可知距离有下列基本性质：,称范数,(2)非负性 d(,)0,且d(,)=0当且仅当=.,(3)三角不等式 d(,)d(,)+d(,).,(1)对称性 d(,)=d(,);,|-|为与的距离,记作d(,).,即,d(,)=|-|,定义 对于欧氏空间V中的一个向量组,三、标准正交基及其基本性质,1、正交向量组与正交单位向量组,如果向量组,且其中的向量两两正交,中不含零向量,则称它为,向量组或正
7、交规范向量组.,一个正交向量组.,如果一个正交向量组中的每个向量,都是单位向量,则称它是正交单位向量组或标准正交,例3 已知在欧氏空间 R3 中,向量组,1=(1,1,1)T,2=(1,0,-1)T,3=(1,-2,1)T,是一个正交向量组,请将该向量组化为正交单位向量组.,解,定理2 正交向量组必是线性无关向量组.,2、正交向量组的性质,证明,设 1,m 是一个正交向量组,则,设存在一组数 k1,km,使,k11+kmm=0,当 i=j 时,当 ij 时,k11+kmm=0,用i 与上式两边作内积,由于当ji时有,=0,故得：,ki=0,因为 0,所以 ki=0,(i=1,2,m),所以 1
8、,m 线性无关.,证毕,定义 在 n 维欧氏空间 V 中,3、正交基与标准正交基,单位向量组或称为 V 的标准正交基或规范正交基.,由 n 个向量组成的,正交向量组称为V 的正交基;,由n个向量组成的正交,定理3 设 1,n 是n维欧氏空间V的一个标准,设,和是V 的中任意两个向量,=x11+xnn,=y11+ynn,正交基,则,(1)xi=(i=1,2,n),(2)=x1y1+xn yn;,即,=1+n;,(3)|=,(4)d(,)=,证明,=x11+xnn,=y11+ynn,(1)xi=(i=1,2,n),=1+n,用 i 与=x11+xnn 两端作内积,得,=,(i=1,2,n),=xi
9、,=xi,所以=1+n.,(1),(2)=,=x1 y1+xn yn;,当(2)成立时,(3)和(4)是显然成立.,证毕,几何意义,标准正交基的几何解释,设 e1,en 是 n 维欧氏空间V的一个标准正交基,是V 的中任一向量,设=x1e1+xnen,则,=e1+en.,解,因为,故向量在此基下的坐标为：,例4 在欧氏空间R3中,求向量=(2,3,1)T在标准正交基,1=(0,1,0)T,下的坐标.,3,-1,2,=(3,-1,2)T.,四、Gram-Schmidt(格拉姆-施密特)正交化方法,问题 已知 1,n 为 n 维欧氏空间 V 的一个基,如何求 V 的一个标准正交基?,如果 1,n
10、为 n 维欧氏空间 V 的一个正交基,我们可以把每个 i 单位化得到n个单位向量e1,en,其中,由于=,所以 e1,en 就是 V 的一个标准正交基.,综上所述,再经过单位化就可以得到,V 的一个标准正交基.,只要找到V的一个正交基,当 i=j 时,当 ij 时,由欧氏空间 V 的基获得 V 的标准正交基的方法,设1,n为n维欧氏空间V的一个基,要求出V,即要找一组两两正交的单位向量,的一个标准正交基.,使1,n与1,n等价.,1,n,定理4 对于n维欧氏空间的任意一个基 1,2,n,都可以找到一个标准正交基 1,2,n,使得,Span(1,2,n)=Span(1,2,n).,证明,设1,2
11、,n是一个基,下面逐个地求出向量 1,2,n.,首先可取,一般地,假设已经求出 1,2,m,它们是单位,正交的,且具有性质,用数学归纳法证明.,下一步求 m+1.,所以 m+1 不能被 1,2,m 线性表示.,(i=1,2,m),Span(1,2,i)=Span(1,2,i).,因为 Span(1,2,m)=Span(1,2,m).,作向量,显然 m+10,且=0,(j=1,2,m),事实上,=,令,1,2,m,m+1 就是一个单位正交向量组,且,Span(1,2,n)=Span(1,2,n).,由归纳法原理可知,定理4的结论成立.,证毕,从而 m+1 与 j 正交.,令,第一步:先求出 V
12、的一个正交基 1,2,n.,则 1,2,n 就是 V 的一个正交基.,此方法称为Gram-Schmidt(格拉姆-施密特)正交化方法,第二步:再求V 的一个标准正交基 e1,en.,再令,所以 e1,en 就是 V 的一个标准正交基.,解,例5 设欧氏空间 R4的子空间 W 由向量组,1=(1,2,2,-1)T,2=(1,1,-5,3)T,3=(3,2,8,-7)T,生成,试利用 Gram-Schmidt 正交化方法求 W 的一个,因为,标准正交基.,故在向量组1,2,3 中存在三阶非零子式.,从而向量组1,2,3的秩为3.,故向量组1,2,3,线性无关,因此向量组 1,2,3 是W的基.,第
13、一步:先求出 W 的一个正交基 1,2,3.,令,=(1,2,2,-1)T,=(2,-1,-1,-2)T,1=(1,2,2,-1)T,2=(1,1,-5,3)T,3=(3,2,8,-7)T,1=(1,2,2,-1)T,2=(2,3,-3,2)T,3=(2,-1,-1,-2)T,第二步:再将W 的一个正交基 1,2,3 单位化,令,便得到 W 的标准,正交基 e1,e2,e3.,其中,则 e1,e2,e3 即为所求的标准正交基.,五、正交矩阵与正交变换,1.正交矩阵,定义 设 A为实方阵,(1)|A|=1,即正交矩阵的行列式为1或-1;,如果 ATA=I,就称A为正交矩阵.,2.正交矩阵的几个简
14、单性质,设 A,B 为同阶正交矩阵,则有,(2)A-1,AT及 A 的伴随矩阵 A*均为正交矩阵;,(3)AB 也是正交矩阵.,证明,仅证明(3).,(3)设A,B 为同阶正交矩阵,则AB 也是正交矩阵.,由 ATA=I,BTB=I,得,因此 AB 为正交阵.,证毕,定理5 实方阵 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的,证明,设实方阵 A 按列分块为A=(1,2,n),列(行)向量组为标准正交向量组.,则,ATA=I,即A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列向量组为标准,或,(i,j=1,2,n).,正交向量组.,再由 AT也是正交矩阵可知,此结论对,A 的行向量组也成立.,证毕,推论 A 为 n
15、 阶正交阵的充分必要条件是 A 的,列(行)向量组为 Rn 的一个规范正交基.,思考题,下列矩阵是正交矩阵吗？,由定理5可知以上方阵都是正交矩阵.,3.Rn上的正交变换,定义 设 P 为 n 阶正交矩阵,称 Rn 到 Rn 的线性变换,对于,x=(x1,x2,xn)TRn,y=P x 为 Rn上的正交变换.,例6 R2上的线性变换,将R2上的点 映射为R2上的点,问此变换,问此变换是否是正交变换？,解,将此变换改写成矩阵形式,所以此变换是正交变换.,是,此变换称为坐标旋转变换,即正交变换保持向量的内积不变;,4.正交变换的几个重要性质,定理6 设P为n 阶正交矩阵,则有,x1,x2是 Rn 中
16、的,任意向量,(1)=;,即正交变换保持向量的范数不变.,(2)|Px1|=|x1|;,即正交变换保持几何形状(长度和夹角)不变.,证明,因为=,=.,(Px1)T(P x2),=x1TPTP x2,而正交矩阵 P 满足 PTP=I，,所以=,x1Tx2,故(1)成立.,在(1)中令x1=x2,则有|Px1|2=|x1|2.,两边同时开方即可得(2)成立.,证毕,例 7 设 A 为三阶非零实方阵,且 aij=Aij.其中Aij,是 aij 的代数余子式,i,j=1,2,3.证明:|A|=1,且 A 是,正交矩阵.,由已知有 AAT=AA*,设这个非零元素位于第 i 行,则,由于 A 是非零实方阵,证明,两边取行列式得,|A|2=|A|3.,所以 A 至少有一个元素不为零,=|A|I,|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3,证毕,所以|A|=1,即 A 为正交矩阵.,=ai12+ai22+ai32,且 AAT=I,向量的内积与欧氏空间,主要内容,向量的范数与夹角,第二节 欧式空间的基本概念,标准正交基及其基本性质,Gram-Schmidt(格拉姆-施密特)正交化方法,正交矩阵与正交变换,
