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1、力学总复习,第一部分质点运动学,一、基本概念,运动学方程：,速度：,速率,加速度：,其大小,注意,二、直线运动,匀速直线运动：,直线运动的第一类问题：已知 x(t)，求 v，a求解此类问题的基本思路是：先写出运动学方程 x=x(t)，再用求导得出速度和加速度。注意：有时运动学方程是隐含在题目中的，要自己去找出来。,直线运动的第二类问题：已知 a(t)，求 v(t)，x(t),当 a=常数时，积分结果就是前述匀变速直线运动的基本公式。当a 常数时，一定要自己积分得出结果。,例7.跳水运动员沿铅直方向入水，接触水面时速率为v0，入水后所受重力与浮力相抵消，仅受水阻力而减速。其加速度 a=-kv2，
2、k 为常数，求运动员入水后的速度 v 和入水深度 y 随时间的变化，及速度随深度的变化 v(y)。,再次积分得,三、抛射体运动,消去时间 t 得到轨道方程：,运动学方程：,射高与射程,代入运动学方程中得出射高 H 和水平射程 R 为：,当=45 时，水平射程最大,例2.一人扔石头的最大出手速率为 v0=25 m/s，他能否击中与他的手水平距离 L=50 m，高 H=13 m 的目标？在此距离上他能击中目标的最大高度？,解：设他以 角抛出石头，并将 v0=25,x=50 代入轨道方程有：,高度 y 随 而变，为求极值（y 的最大值）,令：,得：tg=1.2755 时，最大高度 ymax=12.2
3、9 m 因而无法击中H=13 m 的目标。,抛射体运动的另一种分解,四、圆周运动、曲线运动,第一项是由于速度方向变化而引起的向心加速度，第二顶是由于速度大小变化引起的切向加速度。,圆周运动的角量描述,匀速率圆周运动：,匀变速圆周运动：,角量与线量间的关系：,对一般的曲线运动，引入曲率圆后，质点的加速度可套用圆周运动的结论，即有：,其中 为曲率圆半径，在轨道不同地方其值不同。,五、相对运动,伽利略速度变换,绝对速度相对速度牵连速度。,伽利略加速度变换为不变量,在惯性系中绝对加速度相对加速度,例5、河水自西向东流动，速度为10 km/h,一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西30o,航速为2
4、0km/h。此时风向为正西，风速为10km/h（相对地面）。试求在船上测出的风速。,第二部份 质点动力学,一、牛顿第二定律的应用,1、恒力作用的情况：类情况中常有多个有关联的物体一起运动。解题步骤如下：分析各物体受力状况，选择隔离体，画受力图。分析各隔离体相对一惯性系运动的加速度，并建立坐标系。写出各隔离体运动方程分量式以及力和加速度之间的关系式。解方程组，并对计算结果作简短讨论。,建立坐标系x 轴水平向左，y 轴竖直向上。列出有关运动方程,求出：,2、变力作用的情形,当一质点受到变力作用时，其加速度也是随时变化的，这时要列出质点运动微分方程并用积分的方法求解。,例6、质量为m 的物体，从高空
5、由静止开始下落，设它受到的空气阻力 f=kv，k 为常数，求物体下落的速度和路程随时间的变化。,解：取y 轴竖直向下为正，设物体由原点开始下落到 y 处时，速度为 v，受重力和阻力作用，其运动微分方程为：,分离变量并作定积分，有,其中,为下落的收尾速度。求出：,再次积分得,例7、设子弹射出枪口后作水平直线飞行，受到空气阻力 f=kv2，若子弹出枪口时速率为 v0，求：（1）子弹此后速率，（2）当 v=0.5 v0 时，它飞行的距离。,解：（1）子弹在飞行过程中，水平方向上仅受空气阻力，因而运动微分方程为：,积分,得,积分,（2）运动方程改写成,3、非惯性系中的牛顿定律,(1)、加速直线运动的非
6、惯性系中的惯性力当物体相对一以加速度 a0 直线运动的非惯性系还有加速度 a 时，在此非惯性系中的牛顿运动定律为,其中,惯性力,(2)、匀速转动的非惯性系 惯性离心力,相遇时y1=y2，得出相遇时间：,取 y 轴垂直斜面向上，并以抛出红球时为计时起点，可写出运动学方程为：,列出运动方程组M：水平竖直m:沿斜面垂直斜面,求出：,例4、水桶绕自身的铅直轴以角速度旋转，当水与桶一起转动时，水面的形状如何？,其中Z0为中心水面高度。这是抛物线方程，由于轴对称性，水面为旋转抛物面。,或,积分,得,二、动量定理、动量守恒定律、质心运动定理,动量定理在碰撞及冲击问题中特别有用，此时的冲力变化很大，它随时间而
7、变化的关系难以确定，牛顿第二定律无法直接应用，但根据动量定理，冲力的冲量具有确定的量值，它等于冲击（碰撞）前后动量的变化。而且还可由冲量求出其平均冲力。,解：如图所示，设垒球飞来方向为x 轴方向，棒对球的冲量的大小为,棒对球的平均冲力,此力为垒球本身重量的倍数 F/(mg)=845/(0.149.8)=616,设I 与x 轴夹角为，给出,由质点系动量定理,若,则,当作用在质点系上的外力矢量和等零时，系统动量守恒。在应用动量守恒定律时，要注意以下几点：动量守恒定律只适用于惯性系。定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的动量之和。动量守恒可在某一方向上成立:,同乘以dt，有,积分得
8、：,又由图知,例2 一辆停在直轨道上质量为M 的平板车上站着两个人，当他们从车上沿同方向跳下后，车获得了一定的速度。设两个人的质量均为m，跳下时相对于车的水平分速度均为u。试比较两人同时跳下和两人依次跳下两种情况下，车所获得的速度的大小。解:人和车系统的动量的水平分量守恒。当两人同时跳下车时，设车后退的速率为 v1 有,对两人依次跳下的情况，第一人跳下时，以v2 表示车的速度，则动量守恒给出：,例3、火箭在外层空间飞行，空气阻力和重力不计，设在初始时刻火箭(包括燃料)的总质量为m0，初速v0，热气体相对火箭的喷射速度为u。随着燃料消耗，火箭质量不断减少，求当火箭质量为m 时的速度。,化简得,解
9、：将火箭和它在 dt 时间内喷出的气体取为系统，该系统动量守恒。在t 时刻，火箭动量为mv，经dt 时间后，其质量为m-dm，速度为v+dv，喷出的气体质量为dm，相对地面速度为v-u。,动量守恒：,积分,火箭的质量比 Nm0/m,得：,要提高火箭的速度，可采用提高喷气速度和质量比的办法。一般多采用多级火箭来提高速度。,系统质心的位矢：(m为总质量),系统中各质点的运动可能较复杂，但质心的运动却最简单。质点系所受外力的矢量和等于系统的总质量和质心加速度的乘积。质心运动定律。,质心运动定律,三、动能定理，功能原理，机械能守恒定律,1、变力的功：,2、质点动能定理：,解：物体运动时切线方向上仅有摩
10、擦力，因而,得出物体转动一周后的速率：,再由动能定理得出物体转动一周，摩擦力做功：,3、质点系动能定理,作用在质点系上所有外力做的功与内力做的功之和等于质点系总动能的增量。,一对内力所做功之和等于一个质点受的力与二质点间的相对位移的点乘。并与参照系无关。,质点系中一对内力作功：,解：取车和木箱为系统，其水平方向上外力为车轮与地面间的摩擦力，内力为木箱与车之间的一对内摩擦力。由动能定理有：,另一方面，若仅取木箱为质点，它相对地面向前滑了Lx 的距离，由动能定理有：,由上两式求出：,4、保守力的功，势能,质点在均匀力场或有心力场中运动时，场力对质点所做的功只与质点的始末位置有关，与质点经过的路径无
11、关。若质点沿任意一闭合路径绕一圈，则保守内力做功为零：,这说明存在一个仅由系统相对位置决定的函数相互作用势能：定义：,保守内力的功等于势能增量的负值。,重力势能,h 为质点到重力势能零点（可任选）的高度。,弹性势能：,势能零点选在弹簧原长处（x=0),或,势能零点选在x0处,引力势能:,引力势能零点选在r处,势能和保守力的关系：,1、积分关系,5、系统功能原理，机械能守恒定律,质点系在运动过程中，所有外力的功与非保守内力的功之总和等于系统机械能的增量。,由功能原理有,运动过程中，m与M间一对摩擦内力做功之和为：,求出车长,初始时,末态,弹开过程中，机械能守恒：,求出：,由此二式解出,小球能完成
12、圆周运动的条件是：时，T 0。代入上式得：,例质量为M的斜面放在光滑水平面上，斜面倾角为，另一质量为m的物体从斜面上高h处由静止开始下滑，求它滑到斜面底部时它们相对地面的速度和二者间的相对速度,解：设m滑到斜面底部时斜面向左的速率为v1，m沿斜面向下的相对速度为 v2。物体与斜面这一系统在水平方向上不受外力，因而系统在水平方向上的动量守恒,又因为在m下滑的过程中仅有重力作功，系统机械能守恒,其中 v2是m相对地面的速度，它应满足：,由以上三式可求出：,四、碰撞,1、对心碰撞：碰撞过程中系统不受外力，动量守恒,非弹性碰撞的恢复系数,完全弹性碰撞：e=1,碰撞前、后系统动能相等：,完全非弹性碰撞：
13、e=0，碰后两物体不分开。,解：子弹射入砂袋过程，二者动量守恒：,砂袋摆角最大时与小车有共同的水平速率v，且系统在水平方向上不受外力，动量守恒：,砂袋上摆过程中仅有重力做功，机械能守恒：,求出,例5、一皮球从距地面h 的高度处自由下落，与地面相撞，恢复系数为e。皮球经多次反弹后停下，求皮球所经过的总路程。,解：皮球第一次碰地后的反弹速率和反弹高度各为：,第二次碰后则为,第i 次碰后则为,因而皮球在停下前走过的总路程为：,得,求出,碰撞的恢复系数,2、非对心碰撞,设两个表面光滑的小球，初始时m2 静止，m1 以初速v10 与m2 斜碰。取相碰瞬间两球心的连线方向为y 轴，两球面切线方向为x 轴，
14、并设v10 与x 轴夹角为。,相碰时，两球的相互作用力仅在y 轴方向，因而碰后m2 一定沿y 轴方向运动。碰撞过程中动量守恒：,例3、两个质量均为1.4ms(ms 代表太阳质量）的星球，A星以速率v0=680 km/s 运动，B星原先静止。两星“相撞”后，A星偏转了135，求碰后两星的速度。,解：在万有引力作用下，两星的相互作用可作为弹性碰撞处理。有：,求出：,五、角动量定理，角动量守恒定律,质点对一参考点的角动量：,大小：,方向：满足右手螺旋法则。,力对一参考点的力矩：,大小：,方向：满足右手螺旋法则。,质点对参考点的角动量定理：,质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时
15、间的变化率,角动量守恒定律：,若质点所受的合外力矩,如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则质点对该固定点的角动量矢量保持不变,解：探测器飞行过程中只受到行星的引力，因而对O点的角动量守恒：,又由机械能守恒：,代入r=4R，求出,重力对竖直轴无力矩，张力过O点也对竖直轴无力矩，因而对竖直轴角动量守恒：,求出：,质点系的角动量定理、角动量守恒,质点系中内力总是成对出现的，因而对同一参考点而言，内力矩之和总为零。因而质点系对一参考点的角动量定理为：,质点系相对参考点O的角动量随时间的变化率等于所有外力对该点力矩的矢量和。,第三部份 刚体力学,一、刚体运动的描述,1、刚体的平动：刚体运动时，刚
16、体上任一条直线的位置始终保持彼此平行，称为平动。可任选刚体上一点的运动来代表。即刚体的平动满足质心运动定理：,2、刚体的定轴转动：刚体绕一固定直线（转轴Z）的转动，各质点都在垂直于转轴的平面上作圆周运动，因而角速度、角加速度都一样。,3、刚体的定点转动：刚体绕一固定点O的转动，在任一瞬时，刚体上都存在一条瞬时转轴Z，各质点都在垂直于瞬时转轴的平面上作圆周运动。瞬时转轴的方位，在空间中不断变化。,4、刚体的平面运动：刚体在运动过程中，各质点均在平面内运动。平面运动=质心平动+过质心轴的定轴转动,5、刚体的一般运动：刚体的一般运动=平动+定点转动。,二、刚体定轴转动动力学,1、定轴转动角动量定理，
17、转动定律，角动量守恒,角动量,转动惯量,I与质量大小、质量分布、及转轴位置有关。,转动定律：,薄板的正交轴定理：,X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。,角动量定理：,角动量守恒,当M=0 时，L=常量,例5 一质量为M，半径为R的定滑轮（当作圆盘）上面绕有细绳。绳的另一端挂一质量为m的物体而下垂忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时滑轮的角速度。,对物体m，由牛顿第二定律,滑轮和物体的运动学关系为,解：对定滑轮M，由转动定律，对于轴O，有,物体下落高度h时的速度,这时滑轮转动的角速度,以上三式联立，可得物体下落的加速度为,22,例题一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可绕一水平
18、光滑轴o在竖直平面内转动，o轴离A端的距离为 l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o轴转动，求棒转过角时的角加速度和角速度。,又因,解 各物体受力情况如图所示。,23,所以,完成积分得,讨论:(1)当=0时，=3g/2l，=0；(2)当=90时，=0，=(3g/l)1/2。例题一质量为m、半径为R的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴正以o的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？解 摩擦力是分布在整个盘面上的，计算摩擦力的力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的圆环积分。故摩擦力矩为,24,于是得,由=o+t=0得,又由2
19、-o2=2，所以停下来前转过的圈数为,二、刚体定轴转动的动能定理,1、力矩的功,外力Fi 使刚体转动一微小角度d 所作的元功：,刚体转过有限大角度时力矩的功,外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。,2、刚体定轴转动的动能定理：,一个包括有刚体在内的系统,如果只有保守内力作功,则这系统的机械能也同样守恒。在计算刚体的重力势能时，可将它的全部质量集中在质心。因此刚体的机械能为,式中,hc为刚体质心到零势面的高度。例题一质量为m、长为l的均匀细直棒可绕其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴o转动。开始时，棒静止在竖直位置，求棒转到与水平面成角时的角速度和角加速度。解 棒在转动的过程中，只有保守力(重
20、力)作功，故机械能守恒。取水平面为零势面，于是有,机械能守恒定律在刚体系统中的应用,29,由此得,讨论：本题也可先由M=I求出，再用=d/dt积分求出。,解：相撞过程系统对O轴的角动量守恒；撞前后动能相等，上摆过程机械能守恒：,求出,三、刚体平面运动动力学,1、刚体平面运动基本方程刚体平面运动=质心平动+绕过质心轴的定轴转动,质心平动基本方程,过质心轴的定轴转动基本方程,实际上，刚体质心的平动与一个质点的运动没有区别，因而可应用质点动力学的所有公式；同样，绕质心轴的定轴转动也可应用定轴转动的所有公式。,例2 长l 质量m的均匀直杆，在光滑的水平桌面上由竖直位置自然倒下。求当杆与竖直线的夹角为
21、时杆质心的速度和转动角速度。,y,c,A,从A点运动叠加可知,解出,解：开始阶段，由于质心初始速度向右，圆盘逆时针转动，圆盘必定是又滚又滑，所受摩擦力为滑动摩擦力。在摩擦力作用下无论是质心速度还是角速度均要随时间而衰减。有：,求出,圆盘开始作纯滚动后，滑动摩擦力变为零，将保持此质心速度和角速度一直运动下去。可求出：,可见，圆盘的实际运动取决于0、vc0和R的大小。,例4 质量m,半径R的球体，从高h 的斜面上由静止开始无滑动滚下，求它到底部时质心速度和转动角速度,解：纯滚动时摩擦力不作功，机械能守恒：,纯滚动条件：,对实心球体,求出,例5在光滑的桌面上有一质量为M、长2l的细杆，一质量为m的小
22、球沿桌面以速率v0垂直地撞击在细杆的一端。设碰撞是完全弹性的，求碰后球和杆的运动情况,解：设碰撞后小球和杆的质心速度分别为v1和vC，杆绕质心的角速度为，有动量守恒：,关于质心角动量守恒：,碰前后系统动能相等,求出,求出,第四部份 振动与波,一、简谐振动,简谐振动动力学方程,简谐振动运动学方程,其中A、为积分常数，由初始条件确定。,有一类习题要证明物体作简谐振动：先找出平衡位置，并设为坐标原点；再分析物体运动到X位置时的受力，写出运动微分方程，化简成上式。,振子运动的速度,串联弹簧的等效刚度,并联弹簧的等效刚度,简谐振动的旋转矢量表示法,因而可用旋转矢量来直观地表示简谐振动，尤其是在表示振动相
23、位、振动合成等时候。,A矢量绕o点以逆针旋转,A矢端在 x 轴上的投影作简谐振动:x=Acos(t+)且有对应关系：旋转矢量 简谐振动 长度 A=振幅 A 角速度=圆频率 初角位置=初相位 角位置t+=相位t+,例4 谐振子m 速度振幅vm,周期T,t=0 时位置在xm/2,x 0,且朝向平衡位置运动;求:(1)振动方程(2)劲度系数(3)物体运动到负最大位移处所需最少时间.,解:(1)振动方程一般式 x=Acos(t+)圆频率:=2/T,振幅:A=vm/=vmT/2初相位:由旋矢图,=/3,振动方程:x=(vmT/2)cos(2/T)t+/3(2)k=m 2=m(2/T)2(3)运动到负最大
24、位移处,经过的最小相位变化为:=2/3，所需最少时间为:t=/=T/3,简谐振动的能量,势能,总能量,考虑了弹簧质量时，弹簧振子运动仍是简谐振动。周期,简谐振动的合成,1、同方向同频率简谐振动的合成,合振动,其中,两个同方向同频率的简谐振动合成后仍是一同频率简谐振动，注意：A与A1，A2及2-1都有关。,解：合振动仍为简谐振动，合振幅,在OCP 中,合振动方程：,2、同方向不同频率的简谐振动合成，拍,若两分振动的振幅和初相位都相等，当两分振动的频率都很大，且相差甚微时，合振动为：,拍频率为两分振动频率之差：拍=1-2,3、相互垂直，同频率的简谐振动合成,设,消去时间参数 t 可得出质点运动轨迹
25、方程为XOY平面上的椭圆方程：,演示：相互垂直，不同频率简谐振动的合成,4,二、阻尼振动，受迫振动与共振,。欠阻尼情况：,受迫振动的动力学方程,上式在 0 时的解为,其中,当,振幅有极大值，称为位移共振：,时,速度共振条件为,共振时,三、平面简谐波方程,平面波在媒质中传播时，若波源及各质元都作同频率的简谐振动，且各质元振幅也相同（不考虑媒质的吸收时）。称之为平面简谐波。,设一平面简谐波沿x方向传播，波速为u，平面简谐波方程,波长、周期、波速的关系,平面简谐波方程的物理意义,波动微分方程,平面简谐波方程,就是该波动微分方程的一个解。,其中u是波速,完全由媒质本身的性质决定。,波的能量密度：,平均
26、能量密度：,平均能流密度矢量：单位时间内通过与波的传播方向垂直的单位面积的能量。又称为波的强度,四、入射波、反射波、透射波，半波损失,2.振幅关系,其中Z1=1u1,Z2=2u2,3.反射系数R与透射系数T,R+T=1(能量守恒),五、波的叠加、干涉、驻波,1、波的叠加原理,当几列波在媒质中某点相遇时，该点的振动是各个波单独存在时在该点引起振动的矢量和。相遇后每列波仍保持它们的原有特性，继续向前传播。-也称为波传播的独立性原理。,频率相同；振动方向相同；相位差恒定的两列波在空间相遇时，空间中有一些点，振动始终加强，而在另一些点处，振动始终减弱或完全抵消。称为波的干涉现象。,2、波的干涉,P质点
27、的,合振幅,波强,其中,例题 同媒质中同振幅的两相干波源S1、S2 相 距20米,S1 与S2的位相差为。波速为400米/秒，频率为 100 赫兹。设波的强度不随距离而变化，则 S1与S2 两点联线上因干涉而加强的点的位置距S1的距离分别是多少？,解：取坐标系如图所示。,x=1、3、5、7、9、11、13、15、17、19 米.,3、驻波沿x 轴正、反两方向传播的两列简谐波，若它们的振动频率和振幅都相同，初相差恒定，就会叠加形成驻波。,在,处,质点的始终静止；称为“波节”。即干涉相消处,驻波的相位：,相邻两波节内各点，各质点振动同相。而在一波节两侧，各质点振动相位相反。,驻波的能量：,各质点的
28、位移达到最大时,dEk为零，势能dEp不为零。波节处势能最大；在波腹处势能最小。势能集中在波节附近。各质点回到平衡位置时，此时势能dEp 都为零；而动能dEk达到最大，而且动能集中在波腹附近。,入射波和反射波叠加形成驻波,弦线上的驻波与简正模式,在两端拉紧、绳长为L 的弦上的波经两端反射后在弦上形成驻波，两端点均为波节。弦上驻波的波长必须满足下列条件：,因而波长和频率应为：,弦线上形成的驻波波长、频率均不连续。这些频率称为弦振动的本征频率，对应的振动方式称为简正模式最低的频率称为基频，其它整倍数频率为谐频。,解(1)入射波在B点的振动方程为,反射波在B点的振动方程,任取一点P，其坐标为x，P点
29、的振动比B点的振动相位落后,反射波的表达式,l=5,(2)驻波的表达式为,(3)驻波波节,波腹的坐标,六、多普勒效应,当波源与接收者之间有相对运动时，接收者所测量出来的波的频率与波源的频率不同。称为多普勒效应。,当接收者运动时测出的波速会变化；当波源运动时波长会变化：,当接收者向波源运动时，VR 取号，反之取号；当波源向接收者运动时，VS 取号，反之取号。,例2、一人站立不动，一声源S以V1的速度向右运动，同时一反射屏以V2的速度向左运动。求人听到的“拍频”是多少？已知声频为，声速为u,解：人听到的“拍频”是直接由声源S传到人耳的声频1和由反射屏反射回来的声频2之差。有：,为求2要分两步进行，
30、先将反射屏作为接收器，它接收到的频率为：,再将反射屏作为波源，人听到的反射波频率为：,因而人听到的“拍频”为：,第五部份流体力学,一、不可压缩流体的连续性方程（流量守恒）,二、理想流体定常流动的伯努利方程：,方程的应用,取一根从水面到小孔的流线，在水面那一端速度几乎是0（桶的面积比小孔大得多），水面到小孔的高度差为h,此流线两端的压强皆为p0（大气压），故由伯努利方程有:,求出流量：,3、皮托管测气体流速开口A迎向气流，是个速度vA=0的驻点；开口B在侧壁，其外流速vB差不多就是待测的流速v。可求得待测气体流速,4、虹吸管,补充1：一截面为5.0cm2的均匀虹吸管从容积很大的容器中把水吸出。虹吸管最高点高于水面1.0m，出口在水下0.60m处，求水在虹吸管内作定常流动时管内最高点的压强和虹吸管的体积流量。,
