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1、,理 论 力 学,2023年10月16日,第一部分 静 力 学,第二章平面汇交力系与平面力偶系,力系分类：,平面力系,平面汇交力系平面力偶系平面任意力系,空间力系,空间汇交力系空间平行力系(空间力偶系)空间任意力系,第 2 章,第 2 章,第 3 章,第 4 章,第 5 章,专门问题,考虑摩擦时的平衡问题,第二章平面汇交力系与平面力偶系,本章主要内容,2-1平面汇交力系的合成与平衡 几何法2-2平面汇交力系的合成与平衡 解析法2-3平面力对点之矩的概念与计算2-4平面力偶理论,本章讨论平面汇交力系两个问题:,1、合成（简化）2、平衡,研究方法：,1、几何法（矢量法）2、解析法（投影法),静力学
2、/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法,一、合成,1、两个力的合成,用平行四边形法则即可,2、多个力的合成,以四个力的情况为例,力多边形；合力 为力多边形的封闭边。,作用线通过汇交点A。,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,设平面汇交力系由n个力（i=1,2,n）组成,记为。根据平行四边形法则，将各力依次两两合成（或由力多边形法则合成），可将汇交力系合成为一个合力（记为）。汇交力系合力的矢量表达式为,结论：汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力的矢量和确定，作用线通过汇交点。,3、n个力的合成,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,F1
3、,FR,FR2,FR1,F4,F3,F2,合力矢 与各分力矢的作图顺序无关,O,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,O,F2,F1,F4,F3,FR,利用力多边形法则注意问题：,各分力矢必须首尾相接合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端按力的比例尺准确地画各力的大小和方向,力多边形合成的结论,平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线通过汇交点，大小和方向由力多边形的封闭边表示,二、平衡,平衡的结论:,受平面汇交力系作用的刚体，平衡,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,平衡的几何条件：,力多边形自行封闭,几何法的优点：直观；缺点：求解需作图，精度不高。,静力学/第二章：平
4、面汇交力系与平面力偶系,2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,一、力在正交坐标轴上的投影,力在坐标轴上的投影是标量 注意投影的正负号 已知投影求力的大小和方向,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,二、力的解析表达式,设沿坐标轴方向的单位矢量为,注意分力与投影的区别与联系。,则力沿坐标轴方向的分力：,则有：,*分力是矢量，,投影是标量。,*当坐标轴非正交时，大小也不相等。,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,*当坐标轴非正交时，大小也不相等,注意分力与投影的区别与联系,即：,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,三、合力投影定理,定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投
5、影的代数和。,即：若,则,四、合成,由合力投影定理，合力的投影为：,合力的大小和方向为：,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,五、平衡,受平面汇交力系作用的刚体，平衡,而,所以,即：,受平面汇交力系作用的刚体，平衡,平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可解两个未知量。,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,用平衡方程解题的一般步骤：,1、确定研究对象，画出 研究对象的受力图2、建立坐标系3、列出平衡方程4、解出未知量,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,例1：图示结构，已知P=10 kN，AC=CB，AB与CD夹角如图，各杆自重不计。求：A处反力和CD杆受力。,解：取AB为研究对
6、象。受力如图,E,45 o,建立坐标如图,列平衡方程,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,由几何关系：,解出：,说明：FA的负号表示它的实际方向与图示的假设方向相反。,解题要求:(1)对象；（2）受力图（注意二力构件，三力平衡汇交）；(3)坐标；（4）平衡方程；（5）求解。,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,例2：图示A、B两轮的自重比为FGA/FGB=3，AB杆自重不计，摩擦不计。求：平衡时的 角。,解：1、取A轮为对象，受力如图。,取坐标系如图,30o,(1),静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,60o,2、取B轮为对象，受力如图。,取图示坐标系。,(2),又AB杆为二
7、力杆,(3),由式(1),(2),(3)可解出：,所以：,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,(1),2-3 平面力对点之矩的概念和计算,一、力对点的矩,力矩：是力使物体绕一点转动作用的度量。,定义：,o 力矩中心，简称矩心；h 力臂；正负号规定：逆时针为正；顺时针为负；平面内力对点的矩是标量；力矩的单位：N m，或 kN m。,力矩的几何表示：,Mo(F)=2 OAB面积,力矩的矢量表示：,大小：；,方向：满足右手法则,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,二、力矩的基本性质,1、力沿作用线移动时，力矩保持不变。,2、,力的作用线通过矩心,三、合力矩定理,定理：平面汇交力系的合力对
8、于平面内任一点的矩，等于所有分力对该点的矩的代数和。,即：若,则：,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,三、合力矩定理,证明：,设平面汇交力系如图示,在力的作用面内取一点O，到汇交点A的矢径记为,由合力,有,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,例3、已知,与 x 轴夹角为，作用点 A(x,y).求：。,解：,x,y,直接根据定义计算时，力臂的计算较麻烦。,利用合力矩定理求解。,所以：,力矩的解析公式,力沿坐标轴方向的投影为：,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,x,x,dx,h,例4：作用在梁AB分布载荷如图示，载荷集度q,梁长l。求：分布力的合力的大小及合力作线位置。,解：
9、,分布力的载荷集度 q 单位长度上的力，单位为：N/m,或 kN/m。,1)求合力的大小：,设合力为P，作用线距A点为 h。,建立x坐标如图。,取x处微段dx,设x处的载荷集度为q(x)。,q(x),静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,1)求合力的大小,取x处微段dx,设x处的载荷集度为q(x)。,则,所以,由几何关系，得,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,2)求合力作用线位置,用合力矩定理求合力作用线位置,所以：,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,合力的大小：,位置：,2-4 平面力偶理论,一、力偶和力偶矩,1、力偶的概念,力 偶:由大小相等,方向相反,作用线平行且不共
10、线的两个力所组成的力系.,用 表示。,力偶作用面,力偶臂,二力作用线之间的垂直距离 d.,二力作用线所决定的平面,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,力偶是一种基本力学量,力偶对刚体的作用，只有转动效应。力偶是一种特殊的力系。力和力偶是静力学中两个基本要素。,力 偶 实 例,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,2、力偶矩,力偶矩：是力偶对刚体产生转动 效应的度量。用 表示，简记为 M。,定义为：,正负号规定：逆时针为正；顺时针为负；力偶矩的单位：N m，或 kN m。力偶矩的几何表示：,其中，A点可以是 作用线上的任一点。,平面力偶对刚体的作用效应取决于力偶的力偶矩，即：力偶矩的大
11、小与力偶在作用面内的转向。,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,二、力偶的基本性质,性质1,由反向平行力的合成知：力偶的合力不存在。,因为力偶的合力不存在，所以力偶不能与一个力等效。,因此，力偶不能用一个力来平衡。,性质2,由二力平衡公理可知，力偶本身不平衡；下面将要介绍的力偶系的平衡可得此结论。,不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡。,力偶本身不平衡,力偶只能用力偶来平衡。,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,性质 3,证明：,在任一轴 x 上的投影：,力偶对其作用面内任一点的矩都相等，恒等于其力偶矩。力偶在其作用面内任一轴上的投影恒为零。,对任一点O的力矩为,静力学/第二章：
12、平面汇交力系与平面力偶系,三、同平面内力偶的等效定理,定理,作用在同一平面内的两个力偶，,等效,两力偶的力偶矩相等。,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,证明：,充分性,即：若两力偶的力偶矩相等，则它们等效。,设：,将力移至A、B点。,A,B,D,C,C,D,因为力偶矩相等，所以ABC,因此，CDAB，,分解 力，使得,同理：,F1,F1,，下面证明两力偶等效。,CD AB。,与ABD的面积相等。,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,因为两平行四边形全等，所以：,故，在力偶 上加上一对平衡力，就得到力偶 由加减平衡力系公理，两力偶等效。充分性证毕,必要性 即：若两力偶等效，则它们的
13、力偶矩相等。,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,由力偶等效定理可得两个推论：,推论1：,只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效应不变。,力偶可以在其作用面内任意移动和转动，而不改变力偶对刚体的作用效应。,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面内任意转动，其对刚体的作用效应不变。,*力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,推论2：,只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力偶中力和力偶臂的大小，而不改变力偶对刚体的作用效应。,注意：,此两推论只对同一个刚体成立，对变形体不成
14、立。,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,由此可知:,只有力偶矩(大小和转向)才是平面力偶作用的唯一度量。所以，力偶的表示可以简化：,有时在习题中，用M表示力偶矩的大小（不加正负号）用箭头表示力偶的转向。,力偶中力的大小，力偶臂的长短，都不是力偶的特征量。,或,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,1、平面力偶系的合成,(1).两力偶的合成,设同一平面内两力偶的力偶矩为M1 和 M2，则它们的合成结果为一合力偶，合力偶的力偶矩为：M=M1+M2,即：合力偶的力偶矩为两个分力偶的力偶矩的代数和。,四、平面力偶系的合成与平衡条件,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,证明：,取：AB
15、=d,合力偶的力偶矩为：,所以：,由推论：,合成：,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,(2).同平面内多个力偶的合成,同上述方法多个力偶的合成，有：,即：平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶的力偶矩为各个分力偶的力偶矩的代数和。,2、平面力偶系的平衡条件,定理：受平面力偶系作用的刚体平衡的充分必要条件：各力偶的力偶矩的代数和为零。,即：受平面力偶系作用的刚体，平衡,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,由平衡条件可知：力偶只能用力偶来平衡。,平面力偶系的平衡方程为：,此方程可解一个未知量。,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,注：,例5：结构受力如图,M,r均为已知,且 l
16、=2r.求:画出AB和BDC杆的受力图;并求A,C处的约束力.,解：,（2）取BDC杆，B 处受力的方位可,（1）取AB杆为研究对象;,AB杆为二力杆，受力如图。,以判定。,问题：能否确定C处受力的方位？,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,问题：能否确定C处受力的方位？,根据力偶只能用力偶来平衡，可以确定出C 处受力的方位如图。,（3）求A、C处约束反力,力偶臂EC为：,解出：,结果为正，说明力实际方向与所设方向相同。,H,45,45,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,图示系统平衡，是否与力偶只能用力偶来平衡矛盾?,讨论：,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,本章作业:,第1次 2-1,2-3,2-5,第2次 2-10 2-12 2-15,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,
