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1、1,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,2,一、三重积分的概念,采用,引例：设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质，,密度函数为,求分布在 内的物质的质量 M.,可得,“分割，近似，求和，取极限”,3,定义:设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割,及任意取点,下列“乘积和式”的极限,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下也常写作,4,性质,中值定理:设 在有界闭域 上连续,使得,其中V为 的体积.,三重积分的性质与二重积分相似,例如,计算方法,则存在,一点,5,1、直角坐标系中将三重积分化为三次积分,二、三重积分的计算,如图，,在直角坐标系下,6,化三重积分为三次积分,
2、7,其中为三个坐标面及平面,例1.计算三重积分,所围成的闭区域.,解:,8,解,9,10,解,如图，,11,12,解,13,解,14,原式,15,3、利用柱面坐标计算三重积分,规定：,16,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,17,如图，柱面坐标系中的体积元素为,18,其中为由柱面,例1.计算三重积分,所围成半圆柱体.,解:在柱面坐标系下,及平面,19,例2.计算三重积分,解:在柱面坐标系下,20,解,知交线为,21,22,解,所围成的立体如图，,23,所围成立体的投影区域如图，,24,25,26,4、利用球面坐标计算三重积分,27,规定：,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球 面；,半平面,28,球面坐标与直角坐标的关系为,如图，,29,球面坐标系中的体积元素为,如图，,30,例1.计算三重积分,其中为,解:在球面坐标系下,所围立体.,锥面,与球面,31,32,33,34,例3.求半径为R 的球面与半顶角为 的,内接锥面所围成的立体的体积.,解:在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,35,
