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1、第四章 机械振动,力学是研究机械运动规律的学科。,质点运动,刚体转动,振动,波动,振动：任何一个物理量在某一量值附近随时间作 周期性变化都可以称为该物理量的振动。,4.1 简谐振动的描述,一 相关概念,实例:,心脏的跳动，钟摆，乐器，地震，电、磁场，电流等,机械振动：物体在一定位置作周期性往复机械运动，称为该物体的机械振动。,简谐振动：物体所受回复力与位移之间的关系满足,振动的最简形式：,谐振子-简谐运动物体的代表,研究机械振动的基本思想：,简谐振动：物体所受回复力与位移之间的关系满足：,其中,因此，简谐振动也可以定义为满足动力学方程（1）的运动，即为简谐振动。,1、,2、,可得,由,简谐振动
2、也可以定义为满足运动学方程（2）的运动，即为简谐振动。,三种定义方式：,证明某一物体的运动是简谐振动，可以从上述三方面之一给予证明。,例题4.1 证明匀速圆周运动在x轴上的分量是一简谐振动,证明：设物体以的角速度作匀速圆周运动 初始时刻的位置与x轴夹角为，则任意时刻t物体在x轴上的位移 为：,由简谐振动定义，得证。,例4.2 证明单摆的运动是简谐振动。,合力在切向方向分力：,于是：,证明：,由简谐振动定义，得证。,单摆：m可看作质点，细线质量和伸长可忽略，m在平衡值附近往复运动，且摆角很小。,证明：取平衡位置为原点，则原点位置受合力为零。,例4.3 证明在稳定平衡位置附近的微小振动是简谐振动,
3、力与势能的关系：,将势能函数在x=0附近作级数展开：,则,泰勒展开式一般形式：f(x）=f(x0)+f(x0)(x-x0)+f(x0)/2！(x-x0)2+,因此，一个作微振动的系统一般都可以看作为简谐振动的系统。,即：,两边对x求导，有,5）保守力与势能的关系：,有：,则：,矢量微分算符,二 描述简谐振动的特征物理量振幅、周期、相位,1.振幅：作谐振动物体离开平衡位置的最大距离A，称为谐振动的振幅。,从谐振动物体运动的线度而言，振幅表征了物体离开平衡位置的最大距离。,从谐振动物体运动的能量而言，振幅表征了物体振动的能量。,振幅由初始时刻谐振子的运动状态确定。,例：弹簧谐振子的能量：,即A表征
4、了谐振子的能量。,初始时刻：t=0,物体作一次完全振动所需的时间。频率：单位时间谐振动完成振动的次数。频率等于周期的倒数。,2.周期：,周期、频率反映振动的快慢。,是2 时间内所完成的完全振动次数，称为角频率。,周期由谐振子自身结构决定的，称为谐振子的固有周期。固有周期是由回复力中的k及谐振子的m，或动力学方程中的决定的。,频率为,例如，心脏的跳动80次/分,周期为,动物的心跳（次/分）,昆虫翅膀振动的频率（Hz）,雌性蚊子 355415 雄性蚊子 455600 苍 蝇 330 黄 蜂 220,3.相位、初相,相位表征任意时刻t，振子的运动状态。和时间一一对应。,初相表征初始时刻振子的运动状态
5、。,定义：相位,初相,(t+)=0,(t+)=+/2,(t+)=,(t+)=3/2,(t+)=2,x=Acos(t+),1）质点的振动状态完全由相位确定,x=A,=0,x=0,0,x=-A,=0,x=0,0,x=A,=0,正最大,平衡位置,负最大,平衡位置,正最大,(t+)在第1象限,x0,0,(t+)在第2象限,x0,0,(t+)在第3象限,x0,(t+)在第4象限,x0,0,2）振动的超前与落后,设有两个同频率的谐振动：x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2),0,振动x2超前x1(2-1),0,振动x2落后x1(2-1),=0,振动x2和x1同相,=,振动x2和x1反相,x1
6、=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2),x1=0.3cos(t)x2=0.4cos(t),x2 超前 x1,=0.4cos(t),x1 超前 x2,例如,又如 x=Acos(t+),=-Asin(t+)=Acos(t+/2),a=-2Acos(t+)=2Acos(t+),超前x/2；,a 超前/2；,a与 x反相。,4.振幅、初相与初始条件的关系,所在的象限：,总之，对于给定的振动系统，周期（频率）是由振动系统本身的性质决定的，而振幅和初相则由初始条件决定。,显然，它们都是谐振动。,运动学特性,动力学特性,x=Acos(t+),加速度：,速度：,m=A,am=2A,三 简谐振动的特征
7、,等幅振动，A不变；,周期振动，x(t)=x(t+T)。,1 解析法：x=Acos(t+),对弹簧振子：,顺便指出，弹簧的串联和并联公式与电阻的串联和并联公式是相反。例如:一根倔强系数为k的轻弹簧,减去一半后,倔强系数是多少?,四 简谐振动的表示方法,解：,+,x=Acos(t+),例题4.3 质点沿x轴作谐振动,周期T=s,t=0时，,求振动方程。,解：由 m1g=k x,得,t=0时,xo=-2cm,o=10cm/s,=2.06cm,例题4.4 弹簧挂m1=80g时伸长4.9cm。用此弹簧与m2=40g组成一弹簧振子。将m2从平衡位置向下拉2cm后，给予向上初速o=10cm/s并开始计时，
8、试求振动方程。,x=Acos(t+),=0.25,=14.04=0.24 rad,t=0时,xo=-2cm,o=10cm/s,应取：=0.24+=3.38(rad),振动方程为 x=Acos(t+)=2.06cos(20t+3.38)cm,A=2.06cm,=20,2 旋转矢量法,是直观地描述谐振动的一种数学方法.,在大学物理，电路分析等学科中有广泛应用。,1)旋转矢量法,负最大(),端点M在x轴上的投影点(p点)的位移：,x=Acos(t+),显然，p点作简谐振动。,(t+)相位,正最大(0),旋转矢量：,逆时针转动，匀速转动,旋转矢量 与谐振动的对应关系,2)振动的速度和加速度,3)旋转矢
9、量法优点,(2)t=0时，质点经过平衡位置，正向x轴正方向运动,则=,例题4.5 求下面几种情况简谐振动质点的初相。,(1)t=0时，xo=-A,=,。,3/2(或-/2)。,(3)t=0时，xo=A/2，质点正向x轴负方向运动,则=,(4)t=0时，质点正向x轴正方向运动,则=,/3。,5/4。,由,知,直接用下述公式求A、是困难的：,例题4.6 质点m=9kg 在力(N)的作用下沿x轴运动。当t=0，xo=0;t=1s,=2m/s,求运动方程。,解：,x=Acos(t+),质点受力：，故作简谐振动。,则：,t=1,最后得：,由：t=0，xo=0，,t=1s,=-20,所以=+/2。,已知:
10、t=0，xo=0;t=1s,=-2m/s,因T=12s,借助旋转矢量法,知=/2。,由 F=k x,得:,t=0时,xo=-0.1m,o=0,=0.1m,=,=200,例题4.7 弹簧在60N的拉力下伸长30cm。将m(4kg)从平衡位置下拉10cm后静止释放(t=0)。求：(1)振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm时所受弹簧的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置到运动到上方5cm处所需的最短时间。,解：,（1）,振动方程：,，lo=0.196m,弹簧对物体的拉力:F=,=29.2N,(3)物体从第一次越过平衡位置到运动到上方5cm处所需的最短时间。,A=10cm,平衡条件:,(2)物体在
11、平衡位置上方5cm时所受弹簧的拉力：,=,(lo-0.05),k,t=0时,xo=-0.1m,o=0,简谐振动证明：,合力,物体所受回复力与位移之间的关系满足：,相对平衡位置,弹簧伸长量,其他任意x：,合力：,平衡位置：,也即弹簧原长位置在本坐标系的坐标,弹簧伸长量:,得证,x=Acos(t+),解(1)x=0.12cos(,t)m,(2),-0.19(m/s),-1.03(m/s2),例题4.8 质点作简谐振动,T=2s,A=0.12m.t=0时，xo=0.06m,向x轴正方向运动，求：(1)振动方程；(2)t=0.5s时的速度和加速度；(3)x=-0.06m,且向x轴负向运动时的速度和加速
12、度;(4)从x=-0.06m,且向x轴负向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间。,=-0.33(m/s),=0.59(m/s2)。,相位：,(3)x=-0.06m,且向x轴负向运动时刻的速度和加速度;,(A=0.12m),旋转矢量转动的角速度：=,旋转矢量转动过程所用的时间：,即所需的最短时间为5/6S。,(4)从x=-0.06m,且向x轴负向运动时刻回到平衡位置所 需的最短时间：,旋转矢量转过的角度：,由于 A=B，所以坐标原点应在AB的中点。,解,周期T=8s，,课堂练习：质点作简谐振动,t=0时向右通过A点，经2s第一次通过B点，再经2s质点第二次通过B点，A=B，AB=10cm，求振动方程。,初相=5/4。,振幅：,振动方程：,3.曲线法,(t)m,t=0,x=Acos(t+),()cm,t=2,t=0,t=0,x=8cos()cm,t=1,t=0,练习：,t=1,m=A=,A=2.4,x=cos()m,2.4,t=0,t=0,曲线法：,1 结合旋转矢量法,2 选择特殊点,4 利用旋转矢量法作谐振动的 x-t 图:,用旋转矢量图画简谐运动的 图,简谐振动的三种定义方式：,t=0,简谐振动的表示方法：,1 解析法,2 旋转矢量法,3 曲线法,x=Acos(t+),
