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1、第二章 数值积分法的系统仿真,仿真技术基础,2.1 概述,2.1 概述,连续系统仿真，从本质上：对原连续系统从时间、数值两个方面对原系统进行离散化并选择合适的数值计算方法来近似积分运算,在数值积分法的计算中，只计算了采样点的值，相当于是对系统模型进行了离散化处理，所以从本质说，数值积分法也是离散化方法，只不过它是从数值积分的角度出发，没有明确提出“离散”这个概念,2.1 概述,1.相似原理,其中u(t)为输入变量，y(t)为系统变量；令仿真时时间隔为h，离散化后的输入变量为,系统变量为,其中,表示,t=nh,设系统模型为,如果,即,（对所有n=0,1,2,）,则可认为两模型等价,2.1 概述,
2、2.1 概述,2.对仿真建模方法三个基本要求：,（1）稳定性：不改变原系统的稳定性 若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的 若原连续系统是不稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是不稳定的（2）准确性：有不同的准确性评价准则，最基本的准则是：,绝对误差准则：,相对误差准则：,其中 规定精度的误差量,2.1 概述,（3）快速性：若第n步计算所对应的系统时间间隔为,3.数值积分算法：,计算机由,计算,需要的时间为T n，若,T n=h n 称为实时仿真T n h n 称为超实时仿真 T n h n 称为亚实时仿真,对,，已知系统变量,的初始条件,求,随时间变化的过程,初值问题,2
3、.1 概述,计算过程：由初始点,的,2.2 数值积分法,2.2 数值积分法,2.2.1 欧拉法,节点间距 为步长，通常可采用等距节点，即取 hi=h(常数)。,2.2 数值积分法,要计算出解函数 y(x)在一系列节点 a=x0 x1 xn=b 处的近似值,1.欧拉公式：,向前差商近似导数,计算yn+1时,只用到前一步的结果yn,因此属于单步法,其实质如图所示,用折线来近似实际的曲线,2.2 数值积分法,Euler方法的几何体现,定义：若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度,2.2 数值积分法,定义：在假设 yi=y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差
4、 Ri=y(xi+1)yi+1 称为局部截断误差/*local truncation error*/。,欧拉法的局部截断误差：,定义：,欧拉法具有 1 阶精度,1.1 引言,（1）隐式欧拉法/*implicit Euler method*/,2.2 数值积分法,2.欧拉公式的改进：,用向后差商近似导数,由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解,隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有 1 阶精度,（3）中点欧拉公式/*midpoint form
5、ula*/,2.2 数值积分法,（2）梯形公式/*trapezoid formula 显、隐式两种算法的平均,中心差商近似导数,注：即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。,假设，则可以导出 即中点公式具有 2 阶精度。,2.2 数值积分法,比较：,简单,精度低,稳定性最好,精度低,计算量大,精度提高,计算量大,精度提高,显式,多一个初值,可能影响精度,2.2 数值积分法,3 改进的欧拉法/*modified Eulers method*/,此法亦称为预测-校正法/*predictor-corrector me
6、thod*/。可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。它的稳定性高于显式欧拉法。,收敛性/*Convergency*/,2.2 数值积分法,4 收敛性/*Convergency*/,定义：若某算法对于任意固定的 x=xi=x0+i h，当 h0(同时 i)时有 yi y(xi)，则称该算法是收敛的。,例：就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。,解：该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固定的 x=xi=i h，有,2.2 数值积分法,例1.,解:,由前进Euler公式,用,公式求初值问题,显然,取,2.2 数值积分法,得,0 1.0000 0
7、.1000 1.1000 0.2000 1.1918 0.3000 1.2774 0.4000 1.3582 0.5000 1.4351 0.6000 1.5090 0.7000 1.5803 0.8000 1.6498 0.9000 1.7178 1.0000 1.7848,2.2 数值积分法,用Euler公式的预测校正系统求解例1,例2,解:,由预测校正公式,有,2.2 数值积分法,依此类推,得,0 1.0000 0.1000 1.0918 0.2000 1.1763 0.3000 1.2546 0.4000 1.3278 0.5000 1.3964 0.6000 1.4609 0.700
8、0 1.5216 0.8000 1.5786 0.9000 1.6321 1.0000 1.6819,考虑改进Euler法,2.2 数值积分法,2.2.2 Runge-Kutta法,-(1),梯形公式具有2阶精度,2.2 数值积分法,改进Euler法是由梯形公式和Euler公式复合而成,同样可以证明,改进Euler法也具有2阶精度,形如(1)式的求解公式称为二阶Runge-Kutta法,对于Simpson求解公式：,这是隐式多步法,选取适当的显化方法,可得类似(1)的高阶Runge-Kutta方法,以下使用中值定理进行推导,对于常微分方程的初值问题,2.2 数值积分法,一、Runge-Kutt
9、a方法的导出,的解,即,2.2 数值积分法,-(3),引入记号,就可得到相应的Runge-Kutta方法,-(4),即(4)式,2.2 数值积分法,二、低阶Runge-Kutta方法,如下图,即,则(4)式化为,即Euler方法,Euler方法也称为一阶Runge-Kutta方法,由于,-(5),2.2 数值积分法,(由(5)式),令,则(4)式化为,2.2 数值积分法,-(6),和(1)式一致,即改进Euler公式,也称为二阶Runge-Kutta法,2.2 数值积分法,三、高阶Runge-Kutta方法,未知,2.2 数值积分法,令,令,参照Simpson求解公式,2.2 数值积分法,取,
10、则（4）式化为,-(7),(7)式称为三阶Runge-Kutta方法,2.2 数值积分法,2.2 数值积分法,2.2 数值积分法,因此,-(8),-(9),比较(7)、(8)两式,可知,因而三阶R-K方法（7）具有3阶精度,2.2 数值积分法,类似于(7)式,还可构造四阶(经典)Runge=Kutta方法,-(10),因而方法(10)有4阶精度,2.2 数值积分法,例1.使用高阶R-K方法计算初值问题,解:,(1)使用三阶R-K方法(7),RK.m,2.2 数值积分法,其余结果如下:,(2)如果使用四阶R-K方法(10),n x n k1 k2 k3 y n 1.0000 0.1000 1.0
11、000 1.1025 1.2555 1.1111 2.0000 0.2000 1.2345 1.3755 1.5945 1.2499 3.0000 0.3000 1.5624 1.7637 2.0922 1.4284 4.0000 0.4000 2.0404 2.3423 2.8658 1.6664 5.0000 0.5000 2.7768 3.2587 4.1634 1.9993,2.2 数值积分法,其余结果如下:,n x n k1 k2 k3 k4 y n 1.0000 0.1000 1.0000 1.1025 1.1133 1.2351 1.1111 2.0000 0.2000 1.23
12、46 1.3756 1.3921 1.5633 1.2500 3.0000 0.3000 1.5625 1.7639 1.7908 2.0423 1.4286 4.0000 0.4000 2.0408 2.3428 2.3892 2.7805 1.6667 5.0000 0.5000 2.7777 3.2600 3.3476 4.0057 2.0000,2.1 概述,2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介,2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介,一、常微分方程组的数值解法,下列包含多个一阶常微分方程的初值问题,称为常微分方程组的初值问题,-(1),(1)式具有n个未知函数,
13、做如下假设,则(1)式化为矩阵形式,-(2),2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介,只要将以前所介绍的各种求解方法中的函数转化为函数向量,即可得到相应的常微分方程组的数值解法,这里只介绍求解微分方程组的计算机实现,x,Y=ODE45(F,xspan,Y0),首先编制微分方程组的函数文件：,function z=F(x,Y)z=F(x,Y);,然后使用求解命令ode45,F为微分方程组的文件名,xspan为需求值的节点向量,Y0为函数向量的初值,x为自变量，Y为函数值矩阵,2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介,例1.,求解微分方程组,解:,首先编制微分方程组的m文件,fu
14、nction z=fun(x,y)z(1)=x-y(1)+2*y(2);z(2)=2*x-3*y(1)-5*y(2);z=z;,再编写求解程序,2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介,2.2 数值积分法,xspan=0:0.1:2;y0=0,1.5;x,y=ode45(fun,xspan,y0)plot(x,y),运行后得,二、高阶常微分方程的数值解法简介,例2.求下列高阶微分方程的数值解,解:,显然,假设,则,2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介,即高阶问题化为微分方程组的初值问题,Gaojiefangcheng.mgaojie.m,function z=gaojie(
15、x,y)z=y(2);y(3);y(1)*y(2)+3*y(3);,2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介,x y 0 0 0.1000 0.0945 0.2000 0.1754 0.3000 0.2381 0.4000 0.2765 0.5000 0.2822 0.6000 0.2436 0.7000 0.1451 0.8000-0.0342 0.9000-0.3230 1.0000-0.7586,function gaojiefangcheng()xspan=0:0.1:1;y0=0,1,-1;x,y=ode45(gaojie,xspan,y0);x,y(:,1)plot(x,y
16、(:,1)xlabel(x)ylabel(y),2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介,2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介,2.4 阿达姆斯法,2.4 阿达姆斯法,基本思想：在计算yn+1时，充分利用前面求出的若干点值（yn,yn-1,yn-2,yn-3,）的信息，以期提高计算精度。设一阶常微分方程y(t)=ft,y(t),其初始条件为：y(t)|t=0=y(0)=y0将方程两端从tn到tn+1求积，得：,2.4 阿达姆斯法,根据导数ft,y(t)在tn,tn-1,tn-2,tn-3时的值，构造一个三次插值多项式（t），用于替代f t,y(t)其中：,2.4 阿达姆斯法
17、,具有以下特性：,积分式可近似写为：,2.4 阿达姆斯法,作变换：t=t n+xh；由于：t-t n-3=t-t n+t n t n-3=h(x+3),t t n-2=h(x+2),t t n-1=h(x+1)，可以得出：,2.4 阿达姆斯法,进一步可得：四阶阿达姆斯显式公式，也称外推公式。若用ft,y(t)在tn+1,tn,tn-1,tn-2时的值作插值多项式，可得：四阶阿达姆斯隐式公式，也称内推公式。,2.4 阿达姆斯法,根据插值理论，可以得出它们的截断误差分别为：显式公式：隐式公式：截断误差均为步长h的5次方幂，具有4阶精度，与4阶龙格-库塔法相同。k阶阿达姆斯公式的一般形式为：显式：隐
18、式：,2.4 阿达姆斯法,阿达姆斯系数表,隐式 显式,2.4 阿达姆斯法,阿达姆斯公式的特点：对于显式公式，每次只需计算一次右端函数；对于隐式公式，每次只需计算二次右端函数；且均与阶数无关，因而计算效率较高。不能自启动，计算过程中改变步长困难。阿达姆斯预报-校正公式：原理：显式预报，隐式校正。4阶预报-校正公式如下：,2.5 误差分析、收敛性和稳定性,2.5 误差分析、收敛性和稳定性,误差分析,整体截断误差：从初始值开始,由某个近似数值计算方法经n+1步准确计算（不含舍入误差）的解,微分方程的真解 与 之差。舍入误差：从初始值开始,由某个近似数值计算方法经n+1步计算，得出的实际值 与该计算方
19、法的真解 之差。数值积分法求解常微分方程的初值问题时，数值解 与真解 的误差由整体截断误差和舍入误差两部分组成，即,2.5 误差分析、收敛性和稳定性,2.5.2 收敛性,定义:一种数值积分格式,若对于任意固定的t n=t0+nh,当h0（同时n）时，由它在假定不作舍入误差的情况下求得的y n y(t n)，则称这种积分格式是收敛的。对于一般的单步法，数值积分格式为：定理：假定单步法（如上式）具有p阶精度，且增量函数(t,y,h)关于y满足李普希兹条件:非负常数又设初始值y0 是准确的，则整体截断误差：y(t n)-yn=O(h p),2.5 误差分析、收敛性和稳定性,结论:(1)整体截断误差比
20、局部截断误差低一阶；(2)单步法是否收敛，判断其增量函数关于y是否满足李普希兹条件。例：假定微分方程的右端函数关于y满足李普希兹条件，验证四阶龙格-库塔法收敛。,2.5 误差分析、收敛性和稳定性,2.5 误差分析、收敛性和稳定性,2.5.2 稳定性,2.5 误差分析、收敛性和稳定性,对于模型方程欧拉公式Z变换 特征方程欧拉公式的稳定条件：特征方程的根处于单位圆内，即设原微分方程的特征根=+j,2.5 误差分析、收敛性和稳定性,稳定区域若原微分方程是稳定的，计算公式的稳定还要依赖于原微分方程的特征根和步长h。设原微分方程的时间常数为T，即步长 h 2T。原微分方程是稳定的，采用欧拉公式计算是条件稳定。采用梯形公式是恒稳定的，采用RK-4是条件稳定的。,2.5 误差分析、收敛性和稳定性,2.5 误差分析、收敛性和稳定性,应用技巧：用两个显著不同的步长去计算，若所得数值结果基本相同，则该数值积分方法一般是稳定的；反之，很可能该数值积分方法不稳定。,
