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1、2023/10/19,1,高 等 数 学 习 题 课,一阶微分方程的解法及应用,习题课,一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,第七章(1),三、课外练习题,2023/10/19,2,一、一阶微分方程求解,1.一阶标准类型方程求解,关键:辨别方程类型,掌握求解步骤,2.一阶非标准类型方程求解,变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,几个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,P315 题7,2023/10/19,3,例1 求下列方程的通解,提示:(1),故为分离变量方程:,通解,2023/10/19,4,方程两边同除以 x 即为齐次方程,令 y=u x,化为分,离变量方
2、程.,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.,化为,2023/10/19,5,方法 1 这是一个齐次方程.,*方法 2 化为微分形式,故这是一个全微分方程(下册内容).,2023/10/19,6,解 此方程为一个可分离变量的微分方程分离,因,变量，得,例2 求解方程,两边积分，得,即得原方程的通解,2023/10/19,7,解 原方程变形后为齐次方程,例3 求解方程，,作变换，,移项，得,则有,2023/10/19,8,两边积分，得,将 代入，有,即满足初始条件的解为,由初始条件，,即原方程的解为,2023/10/19,9,解 原方程变形为,即,例4 求微分方程 的通解,此是关于函
3、数 的一阶线性非齐次线性微,由求解公式得,分方程，,2023/10/19,10,2023/10/19,11,例5 求下列方程的通解:,提示:(1),令 u=x y,得,(分离变量方程),原方程化为,P315 题7,2023/10/19,12,令 y=u t,(齐次方程),令 t=x 1,则,可分离变量方程求解,化方程为,2023/10/19,13,练习题:,求以,为通解的微分方程.,提示:,消去 C 得,求下列微分方程的通解:,提示:令 u=x y,化成可分离变量方程:,P353 题1，2，3(1),(2),(3),(5),(10),P353 题2,P353 题3,2023/10/19,14,
4、提示:可化为关于 x 的一阶线性方程,提示:这是一阶线性方程,其中,2023/10/19,15,原方程化为,即,则,故原方程通解,提示:令,2023/10/19,16,分离变量，得,两边积分，得,例6 求解微分方程,解法1,作代换，,此方程为齐次方程，,则有,2023/10/19,17,故方程的通解为,即,由于,2023/10/19,18,*解法2,故方程的通解为,代回原变量，得,此方程为贝努利方程，此时令,方程变形为,则有,2023/10/19,19,例7,设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+),内满足以下条件:,(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;,(2)求出
5、F(x)的表达式.,解(1),所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:,03考研,2023/10/19,20,(2)由一阶线性微分方程解的公式得,于是,2023/10/19,21,例8 设河边点 O 的正对岸为点 A,河宽 OA=h,一鸭子从点 A 游向点,二、解微分方程应用问题,利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.,为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O,提示:如图所示建立坐标系.,设时刻t 鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)的游速大小为b,求鸭子游动的轨迹方程.,O,水流速度大小为 a,两岸,则,关键问题是正确建立数学模型,要点:,2023/10/19,22,定解条件,由
6、此得微分方程,即,鸭子的实际运动速度为,(求解过程参考P306例2),(齐次方程),2023/10/19,23,思考:能否根据草图列方程?,练习题:,P354 题 5,6,已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.,提示:设曲线上的动点为 M(x,y),令 X=0,得截距,由题意知微分方程为,即,定解条件为,此点处切线方程为,它的切线在纵,P353 题5,2023/10/19,24,已知某车间的容积为,的新鲜空气,问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空,的含量不超过 0.06%?,提示:设每分钟应输入,t 时刻车间空气中含,则在,内车间内,两端除以,并令,与原
7、有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出),得微分方程,(假定输入的新鲜空气,输入,的改变量为,P353 题5,2023/10/19,25,t=30 时,解定解问题,因此每分钟应至少输入 250,新鲜空气.,初始条件,得,k=?,2023/10/19,26,一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数,选用题 小船从河边点 出发驶向对岸(两岸为平行线)，设,船速为 船行方向始终与河岸垂直又设河宽为，河中任,为)，求小船的航行路线,解 如图建立坐标系统，并使水流方向与 的正向一,致设时刻 时，小船位于,处，则,2023/10/19,27,其初始条件为,先解得，再由初始条件得，即,代入到第一个方程中，即有,解得,2023/10/19,28,再由初始条件，得 即小船的航行曲线为,或消去参数，得,2023/10/19,29,三、课外练习题,1求下列方程的通解：,1)；,2)；,3)；,4)；,5),2023/10/19,30,2设 是连续函数，且满足,求,3已知光滑曲线 过原点和点，任取曲线上的点,，过 作两坐标轴的平行线 和 与 轴及,曲线所围成的面积等于 与 轴及曲线围成的面积的2倍,求,曲线的方程,
