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1、12充分条件与必要条件,1知识与技能理解充分条件、必要条件、充要条件的概念2过程与方法会具体判断所给条件是哪一种条件,本节重点：充分条件、必要条件、充要条件的判定本节难点：判定所给条件是充分条件、必要条件，还是充要条件本节内容比较抽象，在学习中应注意以下几个方面：1学习本节内容要多从分析实例入手理解概念，利用集合的观点加深理解,2(1)从不同角度，运用从特殊到一般的思维方法，归纳出条件与结论的推出关系，建立充分条件、必要条件的概念(2)要判断充分条件、必要条件，就是利用已有知识，借助代数推理的方法，判断p是否推出q，q是否推出p.,1从逻辑关系上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、
2、既不充分也不必要条件的判定：,2.从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判定：首先建立与p、q相应的集合，即p：Ax|p(x)，q：Bx|q(x).,3.一般地，关于充要条件的判断主要有以下几种方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断(2)等价法：“pq”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立这里要注意“原命题逆否命题”、“否命题逆命题”只是等价形式之一，对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若pq，则p是q的充分条件；若p
3、q，则p是q的必要条件；若pq，则p是q的充要条件,4充要条件的传递性若AB，BC，CD，则AD，即A是D的充分条件，利用这一结论可研究多个命题之间的充要关系5充要条件的证明证明p是q的充要条件，既要证明命题“pq”为真，又要证明命题“qp”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性,注意：(1)在分析p与q的关系时，要考查“pq”和“qp”两个方面后，才能下结论，比如仅有“pq”成立时，则既可能p是q的充分不必要条件，也可能p是q的充要条件(2)在分析p与q的关系时，要分清p与q的前后顺序及判断对应的方向,1当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p成立可推出q成立，记
4、作，读作.2如果pq，则p叫做q的 条件3如果qp，则p叫做q的 条件4如果既有pq成立，又有qp成立，记作，则p叫做q的 条件5如果pq，那么p与q互为条件,pq,p推出q,充分,必要,pq,充要,充要,答案A,点评1.判断p是q的什么条件其实质是判断“若p则q”及其逆命题“若q则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题、逆命题均为假，则p是q的既不充分也不必要条件2判断p是q的什么条件，应掌握几种常用的判断方法(1)定义法；(2)集合法；(3)等价转化法；(4)传递法有时借助数轴、韦恩图、集合等知识形象、直观的
5、特点或举反例，赋特殊值对判断各条件之间的推断关系常常起到事半功倍的效果,(2010上海文，16)“x2k(kZ)”是“tanx1”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A,例2设a，b，c为ABC的三边，求证：x22axb20与x22cxb20有公共根的充要条件是A90.分析由题目可获取以下主要信息：a，b，c为ABC的三边求证两方程有公共根的充要条件是A90.解答本题可先证明充分性，再证明必要性,证明充分性：A90，a2b2c2，于是方程x22axb20可化为x22axa2c20，即x22ax(ac)(ac)0，x(ac)x(ac)0，该方程有两个
6、根x1(ac)，x2(ac)，同样，另一方程x22cxb20也可化为x22cx(a2c2)0，即x22cx(ac)(ac)0，,x(ca)x(ca)0，该方程有两个根x3(ac)，x4(ca)，可以发现x1x3，这两个方程有公共根必要性：设是两方程的公共根，由得：(ac)或0(舍去)，将(ac)代入并整理可得：a2b2c2，A90.,点评(1)证明“p是q的充要条件”时，要分别从“pq”和“qp”两个方面验证，即要分别证明充分性和必要性两个方面，但是，在表述中要注意充分性与必要性对应的关系(2)要分清命题中的条件和结论，防止充分性和必要性弄颠倒，由条件结论是证充分性，由结论条件是证必要性(3)
7、如证“p是q的充要条件”时，充分性是指“pq”成立，必要性是指“qp”成立而证“p成立的充要条件是q”时，充分性是指“qp”成立，必要性是指“pq”成立,已知数列an的前n项和Snpnq(p0且p1)，求证数列an为等比数列的充要条件为q1.分析充分性：由q1推出an是等比数列，必要性：由an是等比数列推出q1.,证明充分性：当q1时，a1p1，当n2时，anSnSn1pn1(p1)，当n1时也成立p0且p1，即数列an为等比数列必要性：当n1时，a1S1pq.,当n2时，anSnSn1pn1(p1)p0且p1，,例3设命题甲为：0 x5，命题乙为：|x2|3，那么甲是乙的()A充分不必要条件
8、B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析解不等式|x2|3得1x5，0 x51x5但1x5/0 x5，甲是乙的充分不必要条件，故选A.,点评一般情况下，若条件甲为xA，条件乙为xB.当且仅当AB时，甲为乙的充分条件；当且仅当BA时，甲为乙的必要条件；当且仅当AB时，甲为乙的充要条件；当且仅当AB时，甲为乙的充分不必要条件；当且仅当AB时，甲为乙的必要不充分条件,设集合Mx|x2，Px|x3，那么“xM或xP”是“xMP”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件,答案B解析先分别写出适合条件的“xM或xP”和“xMP”的x的范围，再根据充要条件的有
9、关概念进行判断由已知可得xM或xP即xR，xMP即2x3，2x3xR，但xR/2x3，“xM或xP”是“xMP”的必要不充分条件，故应选B.,例4已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？,解析根据题意得关系图，如图所示(1)由图知：qs，srq，s是q的充要条件(2)rq，qsr，r是q的充要条件(3)qsrp，p是q的必要条件点评将已知r、p、q、s的关系作一个“”图(如图所示)，这在解决较多个条件的问题时经常用到，要细心体会,已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的
10、必要条件，问(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p、q、r、s中哪几对互为充要条件？,解析作出“”图，如图所示可知：pq，rq，qs，sr.(1)pqsr，且rq，q能否推出p未知，p是r的充分条件(2)srq，qs，s是q的充要条件(3)共有三对充要条件，qs；sr；rq.,例5已知方程x22(m2)xm210有两个大于2的根，试求实数m的取值范围,例5已知方程x22(m2)xm210有两个大于2的根，试求实数m的取值范围,求关于x的方程ax22x10至少有一个负的实根的充要条件,解析a0时适合当a0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a0；若方程有两个负的实根，
11、综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a1；反之，若a1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax22x10至少有一个负的实根的充要条件是a1.,点评a0的情况不要忽视；若令f(x)ax22x1，由于f(0)10，从而排除了方程有一个负根，另一个根为零的情况,一、选择题1(2010广东理，5)“m”是“一元二次方程x2xm0有实数解”的()A充分非必要条件 B充分必要条件C必要非充分条件 D非充分非必要条件答案A,2已知集合M、N，则MNN的充要条件是()AMNBMNCMN DMN答案D解析由NMMNN成立；由MNNNM成立,3使不等式2x25x30成立的一个充分非必要条件是()Ax0
12、 Bx0Cx1,3,5 Dx 或x3答案C解析x1、3、5时，2x25x30成立，而2x25x30成立，x不一定等于1、3、5.,4设xR，则x2的一个必要不充分条件是()Ax1 Bx3 Dx2x1，但x1/x2，选A.,二、填空题5命题p：x1、x2是方程x25x60的两根，命题q：x1x25，那么命题p是命题q的_条件答案充分不必要条件解析x1，x2是方程x25x60的两根，x1x25.当x11，x24时，x1x25，而1，4不是方程x25x60的两根,6(a1)(b2)0的_条件是a1.答案充分不必要解析a1时，(a1)(b2)0成立，当(a1)(b2)0时，可能有a1，b2.,三、解答题7求证：关于x的方程x2mx10有两个负实根的充要条件是m2.证明(1)充分性：m2，m240，方程x2mx10有实根，设x2mx10的两根为x1，x2，由韦达定理知：x1x210，x1、x2同号，又x1x2m2，x1，x2同为负根,
