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1、第八节 多元函数的极值,二、极值存在的必要条件与充分条件,三、最大值与最小值问题,四、条件极值,一、问题的提出,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,一、问题的提出,实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,B题 节水洗衣机 我国淡水资源有限
2、，节约用水人人有责。洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水漂洗脱水加水漂洗脱水.加水漂洗脱水(称加水漂洗脱水为运行一轮)。请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮，每轮加水量等)，使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。选用合理的数据进行计算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果作出评价。,二元函数极值的定义,二、极值存在的必要条件与充分条件,例1,例,例,(1),(2),多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点(函数可导前
3、提下),问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,解,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,在实际问题中，如果根据具体情况可以断定函数的最大值或最小值在D的内点达到，且在D内函数只有唯一的驻点，则该驻点处的函数值就是函数的最大值或最小值,三、最大值与最小值问题,解,由,解,解,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,条件极值：对自变量有附加条件的极值,四、条件极值,引入辅助函数,为某一常数.,解出,引入辅助函数,为某一常数.,可由,函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.,此求条件极值的方法称为Lagrange乘数法.,推广,多个自变量和多个约束条件的情形.,例如,求函数,下的极值.,在条件,解,调整目标函数为,目标函数为,约束条件为,解,则,解,多元函数的极值,拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,小结,习题88,思考题,思考题解答,解,调整目标函数为,引入拉格朗日函数,可得,即,
