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1、2023/10/20,同济高等数学课件,二、无界函数的反常积分,第四节,常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,一、无穷限的反常积分,反常积分,(广义积分),反常积分,第五章,2023/10/20,同济高等数学课件,一、无穷限的反常积分,引例.曲线,和直线,及 x 轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,2023/10/20,同济高等数学课件,定义1.设,若,存在,则称此极限为 f(x)的无穷限反常积分,记作,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散.,类似地,若,则定义,2023/10/20,同济高等数学课件,则定义,(c 为任意取定的常数),只要有一
2、个极限不存在,就称,发散.,无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.,并非不定型,说明:上述定义中若出现,它表明该反常积分发散.,2023/10/20,同济高等数学课件,引入记号,则有类似牛 莱公式的计算表达式:,2023/10/20,同济高等数学课件,例1.计算反常积分,解:,思考:,分析:,原积分发散!,注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.,2023/10/20,同济高等数学课件,例2.证明第一类 p 积分,证:当 p=1 时有,当 p 1 时有,当 p 1 时收敛;p1,时发散.,因此,当 p 1 时,反常积分收敛,其值为,当 p1 时,反常积
3、分发散.,2023/10/20,同济高等数学课件,例3.计算反常积分,解:,2023/10/20,同济高等数学课件,二、无界函数的反常积分,引例:曲线,所围成的,与 x 轴,y 轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,2023/10/20,同济高等数学课件,定义2.设,而在点 a 的右邻域内无界,存在,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散.,类似地,若,而在 b 的左邻域内无界,若极限,数 f(x)在 a,b 上的反常积分,则定义,则称此极限为函,记作,2023/10/20,同济高等数学课件,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明:,而在点 c
4、的,无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称,邻域内无界,为瑕点(奇点).,例如,间断点,而不是反常积分.,则本质上是常义积分,则定义,2023/10/20,同济高等数学课件,注意:若瑕点,计算表达式:,则也有类似牛 莱公式的,若 b 为瑕点,则,若 a 为瑕点,则,若 a,b 都为瑕点,则,则,可相消吗?,2023/10/20,同济高等数学课件,下述解法是否正确:,积分收敛,例4.计算反常积分,解:显然瑕点为 a,所以,原式,例5.讨论反常积分,的收敛性.,解:,所以反常积分,发散.,2023/10/20,同济高等数学课件,例6.证明反常积分,证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q
5、1,时发散.,当 q1 时,所以当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为,当 q 1 时,该广义积分发散.,2023/10/20,同济高等数学课件,例7.,解：,求,的无穷间断点,故 I 为反常,积分.,2023/10/20,同济高等数学课件,内容小结,1.反常积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,2.两个重要的反常积分,2023/10/20,同济高等数学课件,说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互,相转化.,例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.,2023/10/20,同济高等数学课件,(3)有时需考虑主值意义下的反常积分.,P260 题 1(1),(2),(7),(8),常积分收敛.,注意:主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反,思考与练习,其定义为,2023/10/20,同济高等数学课件,P260 1(4),(5),(6),(9),(10);2;3,第五节,提示:P260 题2,求其最大值.,作业,2023/10/20,同济高等数学课件,备用题 试证,并求其值.,解:,令,2023/10/20,同济高等数学课件,
