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1、2023/10/20,同济高等数学课件,二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,第五节,函数的极值与,最大值最小值,第三章,2023/10/20,同济高等数学课件,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大值点,称 为函数的极大值;,(2),则称 为 的极小值点,称 为函数的极小值.,极大值点与极小值点统称为极值点.,一、函数的极值及其求法,2023/10/20,同济高等数学课件,注意:,为极大值点,为极小值点,不是极值点,2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1)函数的极值是函数的局部性质.,例如,为极大值点,是极大值,是极小值,为极小值点,函数,2023/
2、10/20,同济高等数学课件,定理 1(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),点击图中任意处动画播放暂停,2023/10/20,同济高等数学课件,例1.求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,令,得,3)列表判别,是极大值点，,其极大值为,是极小值点，,其极小值为,2023/10/20,同济高等数学课件,定理2(极值第二判别法),二阶导数,且,则 在点 取极大值;,则 在点 取极小值.,证:(1),存在,由第一判别法知,(2)类似可证.,2023/10/20,同济高等数学课件,例2.求函数,的极值.,解:1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故
3、为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,2023/10/20,同济高等数学课件,定理3(判别法的推广),则:,数,且,1)当 为偶数时,是极小点;,是极大点.,2)当 为奇数时,为极值点,且,不是极值点.,当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.,证:,利用 在 点的泰勒公式,可得,2023/10/20,同济高等数学课件,例如,例2中,极值的判别法(定理1 定理3)都是充分的.,说明:,当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.,例如:,为极大值,但不满足定理1,定理3 的条件.,2023/10/20,同济高等数学课件,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点
4、处达到.,求函数最值的方法:,(1)求 在 内的极值可疑点,(2)最大值,最小值,2023/10/20,同济高等数学课件,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值,则也是最大 值.,(小),对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点,是否为最大 值点或最小值点.,(小),2023/10/20,同济高等数学课件,例3.求函数,在闭区间,上的最大值和最小值.,解:显然,且,故函数在,取最小值 0;,2023/10/20,同济高等数学课件,因此也可通过,例3.求函数,说明:,求最值点.,与,最值点相同,由于,令,(自己练习),在闭区间,上
5、的最大值和最小值.,2023/10/20,同济高等数学课件,(k 为某常数),例4.铁路上 AB 段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20,AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运,为使货物从B 运到工,解:设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小值点,故 AD=15 km 时运费最省.,总运费,厂C 的运费最省,从而为最小值点,问D点应如何取?,km,公路,价之比为3:5,2023/10/20,同济高等数学课件,例5.把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面,的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解:由力学分析知矩形梁的
6、抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择.,2023/10/20,同济高等数学课件,用开始移动,例6.设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上,受力 F 作,解:克服摩擦的水平分力,正压力,即,令,则问题转化为求,的最大值问题.,设摩擦系数,2023/10/20,同济高等数学课件,令,解得,而,因而 F 取最小值.,解:,即,令,则问题转化为求,的最大值问题.,2023/10/20,同济高等数学课件,清楚(视角 最大)?,观察者的眼睛1.8 m,例7.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于,解:设观察者与墙的距离为 x
7、m,则,令,得驻点,根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.,问观察者在距墙多远处看图才最,2023/10/20,同济高等数学课件,存在一个取得最大利润的生产水平?如果存在,找出它来.,售出该产品 x 千件的收入是,例8.设某工厂生产某产品 x 千件的成本是,解:售出 x 千件产品的利润为,问是否,故在 x2=3.414千件处达到最大利润,而在 x1=0.586千件处发生局部最大亏损.,2023/10/20,同济高等数学课件,说明：在经济学中,称为边际成本,称为边际收入,称为边际利润,由此例分析过程可见,在给出最大利润的生产水平上,
8、即边际收入边际成本,（见右图）,即,收益最大,亏损最大,2023/10/20,同济高等数学课件,内容小结,1.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使导数为0 或不存在的点,(2)第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3)第二充分条件,为极大值,为极小值,(4)判别法的推广,定理3,定理3,2023/10/20,同济高等数学课件,最值点应在极值点和边界点上找;,应用题可根据问题的实际意义判别.,思考与练习,2.连续函数的最值,1.设,则在点 a 处().,的导数存在,取得极大值;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:利用极限的保号性,2023/10/20,同济高等数
9、学课件,2.设,(A)不可导;,(B)可导,且,(C)取得极大值;,(D)取得极小值.,D,提示:利用极限的保号性.,2023/10/20,同济高等数学课件,3.设,是方程,的一个解,若,且,(A)取得极大值;,(B)取得极小值;,(C)在某邻域内单调增加;,(D)在某邻域内单调减少.,提示:,A,2023/10/20,同济高等数学课件,作业,P162 1(5),(9);2;3;5;10;14;15,第六节,2023/10/20,同济高等数学课件,试问,为何值时,在,时取得极值,还是极小.,解:,由题意应有,又,备用题 1.,求出该极值,并指出它是极大,即,2023/10/20,同济高等数学课件,试求,解:,2.,故所求最大值为,第六节,
