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1、,$1-4函数的极限,2,播放,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,(limit of function),$1-4函数的极限,3,通过上面演示实验的观察:,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,(approaches infinitely),$1-4函数的极限,4,1、定义：,$1-4函数的极限,5,2、另两种情形:,$1-4函数的极限,6,注意：,（1）,$1-4函数的极限,7,证明,关键是对,$1-4函数的极限,8,3、几何解释:,(strip region),$1-4函数的极限,9,例1(补充）,证,只要,水平渐近线(horizontal asymptote).,$1-4函数的极
2、限,10,二、自变量趋向有限值时函数的极限,例如：,$1-4函数的极限,11,$1-4函数的极限,12,1、定义：,$1-4函数的极限,13,注意：,$1-4函数的极限,14,2、几何解释:,证明,从,(直接法或间接法).,$1-4函数的极限,15,例 Example 2(P44),证,例 Example 3(P45),证,要使,只要,$1-4函数的极限,16,例 Example 4(P45）,证,函数在点x=1处没有定义.,$1-4函数的极限,17,例 Example 5(P46),证,x,$1-4函数的极限,18,例 Example 6（补充）证明,证 Proof,于是,当,故,$1-4函
3、数的极限,19,例 Example 7（补充）证明,证 Proof,要使,只要,取,则当,故,$1-4函数的极限,20,3.单侧极限(one-sided limit):,例如,$1-4函数的极限,21,左极限(left limit),右极限(right limit),$1-4函数的极限,22,左右极限存在但不相等,例8（习题1-4，6）,证,注意：求分段点的极限必须用左右极限讨论.,$1-4函数的极限,23,三、函数极限的性质,1.有界性,2.唯一性,$1-4函数的极限,24,推论,3.不等式性质(character of inequality),定理(保序性),（$1-6,P59,Th 7）
4、,（补充）,$1-4函数的极限,25,定理1(保号性),证(Proof),类似可证A0的情形。,$1-4函数的极限,26,定理,定理2,（反证）,$1-4函数的极限,27,4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定义,定理,$1-4函数的极限,28,证,$1-4函数的极限,29,例如,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件(sufficient and necessary condition)是它的任何子列的极限都存在,且相等(equal).,$1-4函数的极限,30,证,$1-4函数的极限,31,二者不相等,$1-4函数的极限,32,四、小结 Brief summary,函数极
5、限的统一定义,(见下表),$1-4函数的极限,33,$1-4函数的极限,34,思考题 Consideration question,$1-4函数的极限,35,思考题解答 Solution to consideration question,左极限存在,右极限存在,不存在.,$1-4函数的极限,36,一、填空题:,练 习 题 Exercises,$1-4函数的极限,37,$1-4函数的极限,38,练习题答案 Answers to exercise,$1-4函数的极限,39,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,$1-4函数的极限,40,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,$1-4函数的极限,41,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,$1-4函数的极限,42,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,$1-4函数的极限,43,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,$1-4函数的极限,44,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,$1-4函数的极限,45,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,$1-4函数的极限,46,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,$1-4函数的极限,47,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,
