积分方法与定积分的应用.ppt

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1、1,積分方法與定積分的應用,複習不定積分和微分的關係定積分和面積的關係積分法則實際的應用,2,1.複習不定積分和微分的關係,我們先複習有關不定積分(Indefinite Integral)的定義。不定積分又稱為反微分(Antiderivative),其定義如下:定義1:若函數 F 在區間 I 的一次微分(若x為左或右端點,則F(x)為左微分或右微分),則稱F為f在區間I的反微分(Antiderivative)。,3,例1:求 在 的反微分。解:為 在 一個的反微分。例2:求 在 的所有反微分。解:我們只要找出 在 的任一反微分F(x),則所有反微分可用F(x)+C 來表示,其中C為任意實數。取

2、 則 即為所求。,4,任兩函數的微分相同,則此任兩函數之間只差一常數,故我們用一稱為萊布尼茲符號(Leibnizs Notaion)的方式來表達反微分的一般形式。意即若,則代表f(x)的所有反微分,其中C為積分常數(Integral Constant)。亦稱為f(x)的不定積分(Indefinite Integral),其中 稱為積分符號(Integral Sign),f(x)則稱為積分函數(Integrand)。,5,由於微分為線性運算,意即若a,b為常數,則故不定積分亦為線性運算(定理1)。定理1:若a,b為常數,則已知,故令a=r+1,可得 所以只要r-1,則,6,例3:求 的不定積分。

3、解:,例4:利用定理1求 解:由於 皆為常數,故 可用常數C來表示積分常數。,7,定理2:令g為可微分函數,r為不等於-1的實數,則,例5:求 解:令,則,利用定理2,8,例6:求解:令g(x)=sin x,則 利用定理2,9,令定理2中的，則，定理2可改寫為,所以用變數變換的方法可使得計算方便許多。,10,例7.求,解：令 則,11,例8:求 解:令，則,例9:求解:定理2不適用此題,12,2.定積分和面積的關係(Areas and The Definite Integrals),一個底為，高為 b 的矩形，其面積我們 定義為，但對於一個不規則的圖形，我們又將如何定義其面積呢？首先考慮直線

4、下由 到 所涵蓋的面積，其中。,13,圖1,14,將上圖 到 的線段 等分，則,直線 下由 到 的,面積 大於 而小於,15,以此類推，直線 下由,到,的面積 大於,而小於,16,意即對於，滿足,17,令，則,直觀來看，若 到 的線段分割越細，意即 越大時，對於面積 的估計亦應越精確，所以我們令，由上式可得,18,此結果正好符合梯形的面積，因此上述將一個圖形分割成許多小塊並利用矩形對各小塊圖形的面積分別做上估計和下估計，再利用極限的觀念求得此圖形的面積，似乎不失為定義面積的好辦法，以下我們再看另一例子。,19,例10.求拋物線 下由 到 所涵蓋的面積，其中。解：如下圖(圖2)所示：,20,將

5、到 的線段 等分，並另 代表拋物線 下由 到 所涵蓋的面積，則,21,拋物線 下由 到 所涵蓋的,面積 滿足,22,為方便起見，令，則上式推演得,23,令，則得,由於我們所碰到的大多數情況為求連續函數下的面積，故我們給以下的定義。,24,定義2：設函數 在閉區間 為連續，將 等分成長度為 的閉區間，則函數 從 到 的定積分(Definite Integral)定義為,其中 從 中任意挑出。,將定義2的條件放寬，只要求 為定 義在閉區間 的函數。,25,令 代表 的任一分割，亦即取,為閉區間 上任一點,則稱,為黎曼和(Rieman Sum)。,定義,26,若 存在，則稱函數 在,閉區間 為可積分

6、(integrable)，且稱此極限值,為 從 到 的定積分(Definite Integral)。,定理3：可積分定理(Integrability Theorem)若函數 在 具有上下限(bounded)，且除了有限的幾個點外，在其餘的點皆連續，則函數 在 為可積分。特別地，若函數 在為連續，則函數 在 為可積分。,27,微積分基本定理(the Fundamental theorem of Calaulus)若由定義2直接求連續函數 f 在閉區間 的定義似乎顯得有點笨拙，我們 希望能找出方便的計算方法。我們先避開定義2，而直接利用直觀 的方式定義並計算定積分，最後再看看 是否能夠跟定義2中的

7、,符合。,28,以下只考慮連續函數的積分。定積分：先考慮 的情況,29,上圖斜線部分的面積A為涵蓋在曲線 下由x=a到x=b的面積，我們用 來表示。若ab，則定義,我們看看函數 微分後，是何種情況？,30,上圖在斜線部分的區域 f(x)的最大值為，最小值為，所以,31,上式兩邊同除以,可得,32,若，則,33,所以，,若 f(x)有0的部分，則 的定義方法為將 分成 0和0兩部分。,，若，若,意即,34,由於 和 皆為連續函數，意即定積分存在，定義,則,(因為 0時，則=0；反之，,若 0時，則=0),35,由不定積分求定積分：,設，而已知,但,令,由上述運算式可知為何反微分又稱為不定積分的原

8、因。將以上結果用到定義2可得,36,定理4：微積分基本定理(The Fundamental Theorem of Calculus),若函數 在閉區間a,b為連續，則,其中函數 為 的任一不定積分。,證明：按照定義2將a,b n等分成 長度為 的閉區間,37,因為 為可微分函數，所以 亦為連續函數。由微分均值定理可知存在，滿足,所以,為方便起見我們用 來表示，,意即,38,其中a稱為積分下限,b稱為積分上限。根據定理1及定理 4,我們有如下的定理5:若c,d為常數,則,例11:利用定理4求拋物線 下 由 到 涵蓋的面積，其中。,解:面積,此結果合例題10的結果吻合。,39,例12：求定積分,解

9、：,解：為函數 的一個不定積分，,例13：計算,故由定理4可得,解：由於 為偶函數，所以,例14：計算,40,3.積分法則(The Integration Rules),利用Chain Rule我們可得積分代換法，即定理6：積分代換法(The Subsititution Rule)若函數 和 的一次微分函數 為 連續，則,其中，為常數。證明：設，則,故,41,在運用上設，則,例15：求解：令 所以,42,例16：求解：令，則 利用定理6，得,43,例17：求解：令，則,44,例18：求解：令，則 由定理6可知,45,例19：求解：由於，故可令，再利用 積分代換法可得,46,例20：求,解：令，

10、則,47,將定理6用在定積分上，則得如下的定理。定理7：定積分代換法(The Subsititution Rule for Definite Integrals)若函數 的一次微分函數 在閉區 間a,b為連續，且函數 在函數 的值域為連續，則,其中,48,例21：求解：令，則,49,例22：計算,解：令 則,50,例23：計算,解：令，則,51,另一種運用微分定理而得的積分技巧為部份積分法(Integration by Parts)定理8：部份積分法(Integration by Parts)若函數 和 的一次微分函數 和 為連續，則,52,證明：因為 所以,在運用上，當 不易積分時，將之轉為

11、較易積分的 而得到我們所要的結果。,53,例24：求解：令 則 利用部份積分法可得,54,例25:求。解:令。利用部份積分法可得,55,例26:求解:令 再次利用部份積分法將 求出。令 所以,56,例27:求解:令,57,將定理8用在定積分上，則得如下的定理。定理9：定積分部份積分法(Integration by Parts for definite Integrals)若函數,的一次微分函數,在閉區間a,b為連續，則,58,例28：計算解：設 得,59,例29:求。解:令,60,4.實際的應用,例30:磁浮火車沿著直線行駛,從測量速度的儀器上讀出磁浮火車在時間t的速度為假設開始時磁浮火車位於

12、座標線上的原點,求磁浮火車的位置函數。解:令s(t)表示磁浮火車在座標線上的位置,則,且s(0)=0。先求 的不定積分,再利用起始條件求得積分常數值。將t=0代入上式,得0=s(0)=C,故得磁浮火車的位置函數為,61,例31:Investors Digest目前每週的發行量為3000份。此周刊的主編計劃未來3年的發行量以每週 的速率成長,其中時間t週為從現在算起。根據主編的計劃,從現在算起的第125週,此周刊每週的發行量為何?解:令S(t)表示從現在算起第t週的發行量,則 且S(0)=3000。將S(0)=3000代入上式,得3000=S(0)=C。故得從現在算起的第125週,此周刊的發行量

13、為每週 份。,62,例32:Universal Instruments 公司行銷部門的研究報告指出,若其所生產的新型家用電腦 Galaxy 上市後,其每月的電腦銷售額會以的速率成長。求此新型家用電腦 Galaxy 上市t月後的總銷售量,又此新型家用電腦 Galaxy 上市1年後的總銷售量為何?解:令N(t)表示新型家用電腦 Galaxy 上市t月後的總銷售量,則所以,63,由於0=N(0)=30,000+C,故得C=30,000,意即家用電腦 Galaxy 上市1年後的總銷售量為 部電腦,64,例34:Staedtler Office Equipment 的管理階層決定其每天所生產的電動削鉛筆

14、機的邊際成本函數為其中 的單位為(美金/電動削鉛筆機),而x代表所生產的電動削鉛筆機數量。已知固定成本為$100,求每天(a)製造前500個電動削鉛筆機的總成本(b)製造第201個至第400個電動削鉛筆機的總成本。,65,解:(a)總成本C(x)為 的反微分。利用微積分基本定理,可得故每天製造前500個電動削鉛筆機的總成本為C(500)=1500+C(0)=1500+100=1600美金。,66,(b)每天製造第201個至第400個電動削鉛筆機的總成本為=525 美金,67,例35:為 Elektra Electronics 公司所做的效率報告顯示,從早上八點算起t小時後,平均每個工人組裝 S

15、pace Commander walkie-talkie 的速率為 從早上開始工作1小時內,平均每個工人可組裝多少個 Space Commander walkie-talkie?,解:令N(t)代表,從早上開始工作t小時內,平均每個工人可組裝 Space Commander walkie-talkie 的數量,則,68,所以從早上開始工作1小時內,平均每個工人可組裝 Space Commander walkie-talkie 的數量為,=20個,69,例36:某城市消耗電力的速率以指數的方式成長,其中指數值k=0.04。若目前消耗電力的速率為每年40百萬千瓦-小時(kWh),則未來三年應生產多

16、少電力才能滿足最低需求?解:令R(t)代表,從現在算起t年的電力消耗速率,則其中R(t)的單位為每年百萬kWh。,70,再令C(t)代表,從現在算起t年內的總消耗電力,則因此未來三年應生產=127.5百萬kWh的電力才能滿足最低需求。,71,例37:某油井從開始生產原油後,估計t年後的生產速率為每年千桶,求t年後所生產的原油總量。解:令T(t)代表此油井t年後所生產的原油總量(以千桶為單位),則利用部分積分法,令則。,72,由於0=T(0)=10000+C,所以C=10000。此油井t年後所生產的原油總量為 千桶。,73,例38:某超級市場的市場調查部門決定每週販賣x條某種牙膏的邊際價格為若每

17、支牙膏的價格為$2.35時,每週的需求量為50支,請問每週的的價格-需求曲線為何?又當每支牙膏的價格為$1.89時的每週需求量為多少?,解:,74,故可推演得C=1.44,每週的的價格-需求曲線為,當價格為$1.89時的每週需求量大約為120支,75,例39:某公司每月製造x個電視機,其邊際純利(Marginal Profit)為此公司目前每月製造1,500台電視機,若將產量增加到每月1,600台,則每月的純利會增加多少(單位:美金$)?,解:,若此公司將電視機產量由每月1,500台增加到1,600台,其每月純利增加$1000。,76,例40:某娛樂公司記錄其所安裝的電玩遊戲。C(t)和R(t)分別為某電玩遊戲t年後的總成本和總營業額,若單位為$1000。且定滿足 的t稱為此電玩遊戲的生命週期。(a)求此電玩遊戲最近的生命週期。(b)求此電玩遊戲在最近的生命週期內的總毛利。,77,解:(a),此電玩遊戲最近的生命週期大約為3 年。,(b),此電玩遊戲在最近的生命週期內的總毛利大約為$7984。,