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1、第二章 离散控制系统,张秦艳,主要内容,离散系统基本概念离散系统的差分方程描述Z变换及反变换 线性离散系统的Z传递函数描述离散系统的数学模型线性离散系统的性能分析,基本概念,离散系统采样过程量化过程采样控制系统,离散系统,离散系统：只要有一个以上的物理量是离散量的控制系统。,H,G,模拟量输入通道组成,工业装置,I/O接口电路,CPU,采样过程,把时间连续的信号变成一连串不连续的脉冲时间序列的过程称为采样过程或离散化过程。,续,f(t）是时间上连续且幅值上也连续的信号;f*(t)是时间上离散而幅值上连续的离散模拟信号，因它是一连串的脉冲信号，又称为采样信号。采样开关两次采样（闭合）的间隔时间T
2、，称为采样周期，采样开关闭合的时间，称为采样时间。0,T,2T各时间点为采样时刻。采用后的f*(t)可描述为,采样保持电路工作原理,A/D转换引起的不确定误差,孔径时间：A/D转换器完成一次A/D转换所需的时间。,续1,令 式中，为正弦模拟信号的幅值；f为信号频率。A/D转换起始时刻:;结束时刻;转换延迟所引起的误差是。,续2,可见，时，最大，孔径时间 一定，这时 就最大。则有取，则得 时转换的不确定电压误差为相对误差为,结论,一个10位的AD转换器，若要求:转换精度为 孔径时间 则允许转换的正弦波模拟信号的最大频率为,香农(Shannon)采样定理,其中 为信号所含的最高频率，为采样频率。工
3、程上，一般取，过程惯量越大，系数越大。,量化过程,所谓量化，就是采用一组数码(如二进制码)来逼近离散模拟信号的幅值，并将其转换为数字信号。,续,量化单位q是指量化后二进制数的最低位所对 应的模拟量的值。设 和 分别为转换信号 的最大值和最小值，则量化单位为 式中：i转换后二进制数的位数。例如，模拟信号 16V、=0V，取i=4，则q=1V,量化误差最大值=0.5V。,采样值和量化值的对应关系,D/A转换器,D/A转换器,.,通路1,通路n,模拟量输出通道,一个输出通路一个D/A转换器形式,共用D/A转换器形式,r(t),+,-,b(t),负反馈,测量元件,采样控制系统,计算机控制系统框图,系统
4、中传递的信息既有数字的也有模拟的，称之为采样控制系统，以区别传递信息全为数字量的离散时间系统。,离散系统的差分方程描述,差分方程用差分方程描述离散系统差分方程的解法,差分方程,差分方程：用t时刻变量差值来代替微分方程中的变量微分所得到的方程。当系统的微分方程为n阶时，则差分方程可写为一般形式：,式中,举例,线性非时变离散系统 非线性定常离散系统 线性时变离散系统,用差分方程描述离散系统,用差分方程描述离散系统的过程就是建立该离散系统数学模型的过程。建立数学模型一般有两种方法：系统模型化 系统辨识,本息支付问题,开始时借人资金c(0)，欠款支付利息的利率每期为100%,现打算每期付相同款项r，N
5、期还清本息。试建立欠款本息支付过程的数学模型，用以计算r 设c(k)为第k期时的欠款。根据要求，第一期欠款为,第二期欠款为。,第k期欠款为这样，已知c(0)、N及c(N)=0，可从上式求解出r。,例1、解法1,续1,将上式两边分别从k到(k+1)进行积分，可得,左右同除，得,设在 上 相当于在采样开关后记了一个一阶保持器，则,续2,有时为了强调是序列，而不是作为时间的变量则上式可改写为当 时，.#,解法2,令,则整理得,Z变换,Z变换的定义式Z变换性质Z反变换用Z变换解差分方程,z变换的定义式,已知令定义Z变换为,Z变换与拉氏变换对比,Z变换方法,级数求和法部分分式展开法留数计算法,级数求和法
6、,级数求和法是根据z变换的定义式求函数e(t)的z变换。,(1)单位脉冲函数,设，求z变换E(z)。因为 只有在t=0处值为1，其余均为零，所以有(4-28),(2)单位阶跃信号,设e(t)=1(t)，求z变换E(z)。(4-29)这是一个公比为 的等比级数，当 即时，级数收敛,则式(4-29)可写成闭合形式（4-30）,(3)单位理想脉冲序列,设，求z变换E(z)。（4-31）,(4)单位斜坡信号,设e(t)=t，求z变换E(z)。,由式(4-29),式(4-30)有(4-32),将式(4-32)两边对z求导数，并将和式与导数交换得,两边同乘(-Tz)得单位斜坡信号的z变换(4-33),(5
7、)指数函数,设,求z变换E(z)，为实常数。（4-34）这是一个公比为 的等比级数，当 时，级数收敛，可写乘闭合形式（4-35）,(6)正弦信号,设，求z变换E(z)因为 所以,求取z变换的部分分式法,设，求 的z变换。此时可将E(s)进行部分分式展开：,再求其拉氏反变换,再利用式(4-30)和式(4-35)得,(4-41),Z变换表,Z变换的主要运算定理,线性性质初值定理终值定理脉冲序列平移定理（延迟定理）像函数位移定理脉冲序列加权的Z变换定理像函数微分定理差分的Z变换定理求和的z变换定理,续,脉冲列的卷积定理,Z反变换,定义常用方法：综合除法:例4-7部分分式展开法:例4-5，例4-6留数
8、计算法,例4-7,已知,试求其z反变换。解,应用综合除法得,所以,例4-6,已知之变换 试利用部分分式法求其z反变换。,解 的特征方程式为 解得 为两重根。设 可得 为求，先将方程两边同乘，得,再将上式两边对z求导，得 所以 查表得 采样函数,用Z变换法解差分方程,步骤：举例：例4-11,差分方程,以z为变量的代数方程,查表,X(z),Z反变换,X(k),代入初始值，整理,用z变换法解下列差分方程：已知初始条件 求 解 对方程两边进行z变换 化简 代入初始条件,例4-11,所以 查z反变换表得,Z传递函数,脉冲传递函数 在零初始条件下，系统（或环节）输出离散信号的z变换式 与输入离散信号的z变
9、换式 之比。,求z传递函数的步骤,求 传递函数的步骤 系统 传递函数 的求取步骤如下：1）先求出系统连续部分的传递函数。2）对 进行拉氏反变换，求出连续系统脉冲响应函数。3）对 采样，求出离散系统脉冲响应函数4)求离散系统脉冲响应函数 的 变换，即求出传递函数,例4-13,设计算机控制系统的被控对象的传递函数是 试求连续部分的 传递函数。解 系统的连续部分应包括零阶保持器，因此传递函数为 求其z传递函数 根据 变换的线性定理和实位移（延迟）定理 有,由此可见，可简单地提到z变换符号之外，变换成 将 展开成部分分式，在查z变换表得,或者先求出 的连续脉冲响应函数。为此，先求,利用位移定理求出,所
10、以 求 的z反变换，并应用延迟定理，得,环节串联时的开环系统（相隔）4-4a,G1(s),G2(s),环节串联时的开环系统（相联）4-4b,G1(s),G2(s),例（P111）,设,对于图4-4a所示开环系统，其z传递函数 而图4-4b所示开环系统，其z传递函数 很明显,有零阶保持器的开环系统,G(z)的极点数及其分布情况之决定于GP(s)而和零阶保持器无关。,例4-18,设开环采样系统如图所示，采样周期，试比较 与。,所以,代入 得,用幂级数法求得,于是,作出c*(t)曲线如图所示,现在我们用拉氏变换法，求环节1(s+1)在理想脉冲序列 作用下的连续输出c(t)。因为 所以 而 对上式进行
11、拉氏反变换，并考虑到延迟定理有,作出c(t)曲线如图所示,脉冲传递函数的求取,1.由差分方程求取 用Z变换，补充例1d3012.由微分方程求取 先转化为差分方程，照1做,补充例2d3033.由G(s)求取 1)先转换为微分方程，照2做 2)G(s)g(t)G(z),补充例3d304,例1,已知某离散系统的差分方程为且，求解：对上式进行z变换将上两式代入原式有,以初始条件，代入上式有由上式有,例2,求数字PID调节器的脉冲传递函数已知PID调节器的微分方程为其传递函数为现将它离散化，并求取对应的脉冲传递函数便可将微分方程 写成如下的差分方程,对上式进行z变换有于是积分环节的脉冲传递函数可写成于是
12、PID调节器的积分部分的脉冲传递函数,微分部分e(t)在t=KT时刻的导数可近似用下列差分方程来代替对上式进行z变换，即可得微分部分的脉冲传递函数PID调节器的脉冲传递函数，根据线性定理可写成,例3,求系统连续部分的脉冲传递函数G(z)设被控对象的传递函数解：连续部分的传递函数,由z变换的线性定理和延迟定理，可得将代入前式有,离散系统闭环脉冲传递函数,推导 d306,d307,推导,对上式进行z变换有：,于是由闭环脉冲传递函数定义式有：,典型闭环离散系统方块图:表4-3,系统的环节相同，但采样开关的个数或位置不同，则系统的闭环脉冲传递函数(或C(z)将是不同的。如表中的插图1、3及插图 6、7
13、。表中图2,5和6所示系统的输出信号C(z)中不包含R(z)，因此，该系统得不出闭环传递函数，只能以C(z)表示。例4-17,P117表4-3,(一)S平面到Z平面的变换 1.S平面上的 在Z平面上的映射 图4-21 2.S域主副频带在Z域的映射关系(1)主频带在Z域的映射 图4-22(2)副频带在Z域的映射 图4-23 3.S左半平面在Z域的映射 图4-24 4.S右半平面在Z域的映射 图4-25(二)朱利-阿斯特隆姆稳定判据 例4-29(三)二阶离散系统的稳定判据 例4-32(四)离散系统稳定性的劳斯-霍尔维茨稳定判据 例4-33,线性离散系统的稳定性分析,图4-21,图4-22,图4-2
14、3,图4-24,图4-25,设线性定常离散系统的特征方程为:,第一行系数，用特征方程的高次幂系数到低次幂系数顺序排列；第二行系数，是将上行系数倒序排列而成；第三行系数，采用以下公式求得(4-150)即表中第三行系数为,显然，算至最后一个系数 必定为零，即 这样，每经过一次这样的运算，系数就少掉一个。第四行系数，是第三行系数的倒序排列，也即所有偶数行的系数都是上一奇数行系数的倒序排列。第五行系数的算法又类似于第三行，即采用如下公式(4-151),即 即最后一个系数为零，又少掉了一个系数。,朱利-阿斯特隆姆稳定判据：离散系统特征方程（4-149）的所有根都在Z平面单位圆内的充分必要条件为，朱利表中
15、所有奇数行第一列系数均大于零。即 如果有小于零的系数，其个数表明特征方程的根在Z平面单位圆外的个数,例4-29,离散系统的特征方程,试判别系统的稳定性。解 按前述方法构造朱利表 1-3+2.25 0.5-)-0.5 2.25-3 1 0.75-1.875 0.75 0.75-1.875 0.75 0,例4-32,二阶离散系统稳定的充分必要条件为：,设线性定常离散系统的结构如图，若取开环增益K=1，试比较T=1s和T=4s时系统的稳定性,解 在上例开环传递函数G(z)的公式中代入K=1，并考虑到闭环特征方程A(z)=1+G(z)=0,经整理得闭环特征方程,即或 T=1时，闭环系统的特征方程为,直
16、接解上式，得一对特征根为,所以可见，和 位于单位圆内，所以系统是稳定的。T=4时，闭环系统的特征方程为 直接解上式，得特征根为 显然，即 位于单位圆外，所以系统不稳定。由上例可见，当采样周期大到一定程度后，系统就可能出现不稳定,利用 变换后的特征方程，应用劳斯-霍尔维茨稳定判据即可判别线性离散定常系统的稳定性，其步骤如下：1）求出离散系统的闭环特征方程2）进行 变换，求出3）应用劳斯-霍尔维茨稳定判据，判别稳定性若系数 的符号不相同，则系统不稳定建立劳斯-霍尔维茨计算表,其中,若上述计算表中第一列各元素均为正，则所有特征根均在W平面的左半平面，闭环系统稳定。若上述计算表中第一列出现负数，则闭环系统不稳定，第一列元素符号变化的次数，表示右半平面上特征根的个数。,例4-33,用劳斯-霍尔维茨判据确定图中系统增益k的范围,解 已得闭环系统的特征方程，即,令 代入方程并整理得,建立劳斯-霍尔维茨计算表 2.736-0.104K 0.632K 1.264-0.528K 0 0.632K要使系统稳定，必须使该计算表中第一列各元素均为正，故有取三者的公共区，即0K2.39，则可保证系统稳定。由此所得结果与用Z域的直接朱利判据所得结果完全一致。,作业1,控制工程基础 k265（4）已知,，试求X(z).,(10）试判断下图所示系统的稳定性。,
