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1、3 泰勒级数,设函数 f(z)在区域D内解析,而|z-z0|=r为D内以z0为中心的任何一个圆周,它与它的内部全含于D,把它记作K,又设z为K内任一点.,按柯西积分公式,有,且,由解析函数高阶导数公式,上式可写成,在K内成立,即 f(z)可在K内用幂级数表达.,q与积分变量z无关,且0q1.,K含于D,f(z)在D内解析,在K上连续,在K上有界,因此在K上存在正实数 M 使|f(z)|M.,因此,下面的公式在K内成立:,称为f(z)在z0的泰勒展开式,它右端的级数称为 f(z)在z0处的泰勒级数.,圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内.所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则 f(z
2、)在z0的泰勒展开式在圆域|z-z0|d 内成立.,定理(泰勒展开定理)设 f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,d为z0到D的边界上各点的最短距离,则当|z-z0|d 时,注：如果 f(z)在z0解析,则使 f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f(z)的距z0最近一个奇点a 的距离,即R=|a-z0|.,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.,利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数:,把 f(z)在z0展开成幂级数,这被称作直接展开法,例如,求 ez 在 z=0处的泰勒展开式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,
3、2,.)，故有,因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为+.,同样,可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:,除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法.例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:,解 由于函数有一奇点z=-1,而在|z|1内处处解析,所以 可在|z|1内展开成z的幂级数.,因为,例1 把函数 展开成z的幂级数.,例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.,解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,
4、-1是它的奇点,所以可在|z|1展开为z的幂级数.,推论1：,注：,推论2：,推论3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点.(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛),例如：,推论4：,例如：,而如果把函数中的x换成z,在复平面内来看函数,1-z2+z4-,它有两个奇点i,而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上,所以这个级数的收敛半径只能等于1.因此,即使我们只关心z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制.,4 洛朗级数,一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f(z),可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数.如果 f(z)在z0处不解析,则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示.但是这
5、种情况在实际问题中却经常遇到.因此,在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.,讨论下列形式的级数:,可将其分为两部分考虑:,只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和.正幂项是一幂级数,设其收敛半径为 R2：,这是z 的幂级数,设收敛半径为R：,对负幂项,如果令z=(z-z0)-1,就得到：,则当|z-z0|R1时,即|z|R,因此,只有在R1|z-z0|R2的圆环域,原级数才收敛.,例如级数,在收敛圆环域内也具有.例如,可以证明,上述级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导.,幂级数在收敛圆内的许多性质,级数,现在反问,在圆环域内解析的函数
6、是否一定能够展开成幂级数?先看下例.,其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数:,定理 设 f(z)在圆环域 R1|z-z0|R2内解析,则,C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.,证 设z为圆环域内的任一点,在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2,K2的半径R大于K1的半径r,且使z在K1与K2之间.,由柯西积分公式得,因此有,如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C,则根据闭路变形原理,这两个式子可用一个式子来表示:,称为函数f(z)在以z0为中心的圆环域:R1|z-z0|R2内的洛朗(Laurent)展开式,它右端的级数称为 f(z)在此圆环域内的
7、洛朗级数.,一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是 f(z)的洛朗级数.,根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式.,解：函数 f(z)在圆环域 i)0|z|1;ii)1|z|2;iii)2|z|+内是处处解析的,应把 f(z)在 这些区域内展开成洛朗级数.,先把 f(z)用部分分式表示:,ii)在1|z|2内：,iii)在2|z|+内:,例2 把函数,解 因有,函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例
8、).我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆.所谓洛朗展开式的唯一性,是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的.,例如在 z=i 和z=-i处展开函数 为洛朗级数。,在复平面内有两个奇点:z=0与z=-i,分别在以i为中心的圆周:|z-i|=1与|z-i|=2上.,因此,f(z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个:1)在|z-i|1中的泰勒展开式;2)在1|z-i|2中的洛朗展开式;3)在2|z-i|+中的洛朗展开式;,在复平面内有一个奇点:z=0在以-i为中心的圆周:|z+i|=1上.,因此,f(z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个:1)在0|z+i|1中的洛朗展开式;2)在1|z+i|+中的洛朗展开式。,特别的，当洛朗级数的系数公式,（即可利用Laurent系数计算积分）,其中C为圆环域R1|z-z0|R2内的任何一条简单闭曲线,f(z)在此圆环域内解析.,例,解：,例4,解：,故c-1=-2,
