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1、第八章 多元函数微分法及其应用,重积分与线面积分的基础,8.1 多元函数的基本概念,引言：微积分是研究“变量问题”的数学工具，实际问题中常常碰到多变量的函数问题，如,1、圆柱体体积：V=R2H;,2、欧姆定律描述电路中的电压V与线路的电阻R及电流I的关系：,V=I R,3、一定质量的理想气体，其体积与压力均与气体所受的温度有关，其关系式为：pV=RT。,（1）点的邻域(去心邻域),一、平面点集的基本知识,（2）区域,例如，,即为开集,连通的开集称为开区域,例如，,例如，,开区域和闭区域统称为区域,有界闭区域；,无界开区域,例如，,（3）n维空间,n维空间的记号为,说明：,n维空间中两点间距离公
2、式,n维空间中邻域、区域等概念,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,邻域：,设两点为,二、二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,定义域D；值域z|z=f(x,y),(x,y)D自变量x,y；因变量z。,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,D:全平面。,D:y-x0,x0,x2+y21.,D:x2+y21.,二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,多元函数的极限与连续,一、多元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限
3、,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例2 求证,证,当 时，,原结论成立,例3 求极限,解,其中,例4 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,确定极限不存在的方法：,利用点函数的形式有,注意P101 累次极限,二、多元函数的连续性,定义8.2,函数不连续的点称为间断点。,间断点：,例如：,解,取,故函数在(0,0)处连续.,当 时,例6 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,例,解,闭区域上连续函数的性质(有界性),在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区
4、域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,（3）一致连续性定理,在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,例如:,分别在半平面 x0；x2+y22；(x,y)(0,0)内连续。,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的任意性）,四、小结,多元函数的定义,思考题,思考题解答,不能.,例,取,但是 不存在.,原因为若取,
