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1、,第五章、大数定律和中心极限定理,5.1切比雪夫不等式和大数定律,5.2中心极限定理,5.1切比雪夫不等式和大数定律,1、切比雪夫不等式,2、大数定律,定理5.1 设随机变量 X 具有数学期望 E(X)和方差,D(X),则对于任意正数,不等式,一、切比雪夫(Chebyshev)不等式:,(2)可用切比雪夫不等式近似求某一事件的概率.,证明：仅就X为连续型随机变量的情况进行讨论。,设X的密度为f(x)，X的期望为E(X)=,例1、已知正常男性成人血液中,单位白细胞数,(单位:个/mL)平均是7300,均方差是700.,利用切比雪夫不等式估计单位白细胞数在,52009400之间的概率.,解 设 X
2、 表示成年男性血液中单位白细胞数,由,题意知 E(X)=7300,D(X)=700 2,由切比雪夫,不等式得,注 切比雪夫不等式虽然不能准确地求出某事件,的概率,只是给出一个估计值,但这在实际,问题的处理中仍然十分有用.,二、大数定律,一、基本概念:,a 是一个常数,若对于任意正数,有,设 Y1,Y2,Yn,是一个随机变量序列,1、定义5.1:,则称序列 Y1,Y2,Yn,依概率收敛于 a,2、依概率收敛的性质:,函数 g(x,y)在点(a,b)连续,则,二、常见的三个大数定理:,1.定理1（伯努利大数定理）设 为n重伯努利实验,中事件A发生的次数，p为每次发生的概率，则,对任意的0，有,伯努
3、利大数定律是将概率的统计定义用数学式,先给定的精度 的可能性愈来愈小,小到可以,表示出来,它表明随着 n 的增大,事件 A发生,忽略不计,这就是说频率是依概率收敛到该事,件发生的概率.,伯努利大数定律提供了用频率确定概率的理论,率难求,可以通过这个定律用事件的频率代替,依据.在处理实际问题的时候,如果事件的概,概率.例如,估计某产品的不合格率 p,可从,该种产品中随机抽取 n 件,当 n 很大时,这 n,件产品的不合格品的比例可作为不合格品率 p,的估计值.,具有相同的数学期望和方差:,2、定理5.2(切比雪夫定理的特殊情况):,设随机变量 X1,X2,Xn,相互独立,且,作前n个随机变量的算
4、术平均,则对于任意正数,有,证 由于,由切比雪夫不等式,得,由概率性质知,定理5.2表明,当 n 很大时,随机变量 X1,X2,Xn,当然这种接近是在概率意义下的接近.有定理5.2,作保证,当变量数学期望未知的时候,可以选择一,些与该变量独立且有相同数学期望的随机变量,用,它们的算术平均数作为数学期望的估计值,选取的,随机变量个数越多,估计程度就越好,这在实际问,题的处理中是十分有用的.,同一分布,具有数学期望,3、定理5.3(辛钦定理):,设随机变量 X1,X2,Xn,相互独立,服从,则对于任意正数,有,X1,X2,Xn 相互独立,服从同一分布且具有数,伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.在实际,问题的处理中辛钦定理十分有用也很重要.,事实上,由辛钦定理可知,如果随机变量,学期望,则前 n 个随机变量的算术平均值,依概率收敛于它们的数学期望.,
