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1、,常系数,第七节,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第七章,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,(r 为待定常数),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,特征方程,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(u(x)待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u=x,则得,因此原方程的通解为,特征方程,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原
2、方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,若特征方程含 k 重复根,若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:,例1.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2.求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,例3.,解:,质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始,求物体的运动规律,立坐标系如图,设 t=0 时物体的位置为,取其平衡位置为原点建,因此定解问题为,由第六节例1(P3
3、23)知,位移满足,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始条件得:,故所求特解:,方程通解:,1)无阻尼自由振动情况(n=0),解的特征:,简谐振动,A:振幅,:初相,周期:,固有频率,(仅由系统特性确定),方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼:n k,这时需分如下三种情况进行讨论:,2)有阻尼自由振动情况,大阻尼:n k,临界阻尼:n=k,解的特征,解的特征,解的特征,小阻尼自由振动解的特征:,由初始条件确定任意常数后变形,运动周期:,振幅:,衰减很快,随时间 t 的增大物体趋于平衡位置.,大阻尼解的特征:,(n k),1)无振荡现象;,此图参数:,2)对任何初始条件,即随时间 t 的增大物
4、体总趋于平衡位置.,临界阻尼解的特征:,(n=k),任意常数由初始条件定,最多只与 t 轴交于一点;,即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.,2)无振荡现象;,此图参数:,例4.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例5.,解:特征方程:,特征根:,原方程通解:,(不难看出,原方程有特解,例6.,解:特征方程:,即,其根为,方程通解:,例7.,解:特征方程:,特征根为,则方程通解:,内容小结,特征根:,(1)当,时,通解为,(2)当,时,通解为,(3)当,时,通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.,思考与练习,求方程,的通解.,答案:,通解为,通解为,通解为,作业 P340 1(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3,第八节,备用题,为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.,解:根据给定的特解知特征方程有根:,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,
