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1、,第八章,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第四节,空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标 x,y,z表示成参数 t 的函数:,称它为空间曲线的 参数方程.,例如,圆柱螺旋线,的参数方程为,上升高度,称为螺距.,例1.将下列曲线化为参数方程表示:,解:(1),根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为,故所求为,得所求为,例2.求空间曲线:,绕 z 轴旋转,时的旋转
2、曲面方程.,解:,点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点,则,这就是旋转曲面满足的参数方程.,例如,直线,绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为,消去 t 和,得旋转曲面方程为,绕 z 轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为,又如,xOz 面上的半圆周,说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如,三、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线C的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C在xOy 面上的投影曲线 C为,消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲线方程,消去y 得C在zOx 面上的投影曲线方程,例如,在xOy 面上的投影曲线方程为,又如,所围的立体在 xOy 面上的投影区域为:,上半球面,和锥面,在 x
3、Oy 面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xOy 面上的投影曲线所围之域.,内容小结,空间曲线,三元方程组,或参数方程,求投影曲线,(如,圆柱螺线),思考与练习,P36 题 1，2，7（展示空间图形）,P36 题1,(2),(1),答案:,(3),P36 题2(1),思考:,交线情况如何?,交线情况如何?,P36 题2(2),P37 题 7,P36 3，4，5，6,8,作业,第五节,备用题,求曲线,绕 z 轴旋转的曲面,的交线在 xOy 平面的投影曲线方程.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xOy 面的投影柱面方程为,此曲线在 xOy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,与平面,
