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1、预备知识,一、区间与邻域概念,二、函数（两要素、4种特性、运算）,三、基本初等函数（16个）,四、初等函数：基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成且可有一个式子表达的函数,1.幂函数,2.指数函数,3.对数函数,4.三角函数,5.反三角函数,特：y=ex,特：y=lnx,特：y=C（常数）,请参考第1节内容,注：函数的特性:1、定义域-1，+12、值域：3、特性：单增、奇、有界,每个基本函数掌握要点：对应规律、定义域、值域、图象、特性,第2节 数列的极限,一、数列极限定义二、收敛数列的性质,第一章 函数与极限,一、数列极限定义,数列：,如果按照某一法则，对每一个,对应着一个确定的实数
2、，这些实数 按照下标n从小到大排列得到的一个序列就叫数列，记为.,可视 为一种定义域为正整数的函数；,数列的两种几何表示：,在直线上：,在平面上：,数列对应着数轴上一个点列.,播放,问题:,当 无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,通过上面演示实验的观察:,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻画它.,分析:,我们用这两个数差的绝对值来表示两点的距离；用绝对值可以任意小来描述“无限接近”。,|xn-a|要多小有多小,以下说法是等价的：,xn无限接近数值 a,点xn 与点a距离要多近有多近,？,即：要使|xn-a|，只需n？,数列与固定常数1的距离,如果数列没有
3、极限,就说数列是发散的.,注意：,数列极限定义:,几何解释:,.符号定义:,任意给定,存在,冰冷的美丽和火热的思考.,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1.,证:,所以,注意：,例2.已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时,就有,故,故也可取,N 与 有关,但不唯一.,不一定取最小的 N.,说明:,小 结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找相应的N；但不必要求最小的N.,例3.设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此,取,则当 n N 时,就有,故,的极限为 0.,二、收敛数列的性质,1.唯一性,【定理1】收敛的数列极限唯一.,证：,由定义,矛盾.,故收敛数列极
4、限唯一.,二、收敛数列的性质,2.有界性,【定理2】收敛的数列必定有界.,证：,由定义,注意：有界是数列收敛的必要条件.,逆否命题？,推论 无界数列必定发散.,此性质反过来不一定成立.,虽有界但不收敛.,二、收敛数列的性质,3.保号性,【定理3】如果 且(或)，那么存在正整数，当 时，都有(或).,证明：设,由数列极限的定义，对,存在正整数,当 时有,或,即,二、收敛数列的性质,3.保号性,【推论】如果数列 从某项起有(或)，且 那么(或),【定理3】如果 且(或)，那么存在正整数，当 时，都有(或).,证明：不妨设 时，,用反证法,若,由定理3知存在N2，当 时，,有,取,当 时,即有,故必
5、有,二、收敛数列的性质,4.与子列的关系,【子数列定义】在一个数列中任意抽取无限多项，并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的一个子数列，简称子列.,如数列的几个子列为：,一般地子列可写为：,*,例4,二、收敛数列的性质,4.与子列的关系,【定理4】每个收敛数列的子数列也收敛，且极限相同。,证略：,逆否命题？,证明：,即两个子列极限不同，,故原数列是发散的；,本次课小结,一、数列极限:,唯一性有界性,定义:几何意义:,二、收敛数列的性质,保号性与子列的关系,作业：,P30 1预习：3 函数的极限,*,证:设数列,是数列,的任一子数列.,若,则,当,时,有,现取正整数 K
6、,使,于是当,时,有,从而有,由此证明,*,二、数列的极限,二、数列的极限,二、数列的极限,二、数列的极限,二、数列的极限,二、数列的极限,二、数列的极限,二、数列的极限,二、数列的极限,二、数列的极限,二、数列的极限,二、数列的极限,二、数列的极限,内容回顾,一、基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.,二、函数的概念(注意函数的两个要素),三、函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性.,四、函数的分类,例如,趋势不定,收 敛,发 散,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,例,证：,1.割圆术:,如何求圆的周长？,如何用圆的半径来表示圆的周长？,数列的极限（问题的引入）：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,用正6n多边形的周长去逼近圆的周长,解决办法：,问题的引入：,庄子天下篇中记载：一尺之棰，日取其半，万世不竭。,短木棍初始长度为：1,2、截丈问题：,第n天剩的长度为：,得到了数列:,当n 越来越大时,棰越来越短,逐渐趋于0.,通过这两个例子我们可以看出，正n边形周长数列、剩余长度数列，它们的共同点是：在数列的项数n不断增大的过程中，数列的变化趋势都是逐渐向一个常数靠近（即趋于一个常数）。这类数列是我们感兴趣的。,
