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1、第五章 二次型,一、二次型及其标准形的概念二、二次型的表示方法三、二次型的矩阵及秩四、化二次型为标准形五、惯性定理六、正(负)定二次型的概念七、正(负)定二次型的判别,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,例如,为二次型的标准形.,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,2用矩阵表示,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,解,例,四、化二次型为标准形,2.正交线性替换法,1.配方法例,3.初等变换法,设,四、化二次型为标准形,对于二次型，我们讨
2、论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形,说明,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,解,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例2,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为,解,例3,二、小结,将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗
3、日配方法反而比较简单需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩,五、惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,六、正(负)定二次型的判概念,1.正定二次型与正定矩阵P2152.负定二次型与负定矩阵P220,七、正(负)定二次型的判别,正定矩阵具有以下一些简单性质,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,解,2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(2)顺次主子式判别法；,(3)特征值判别法.,四、小结,1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系,3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导,
